第二章方程 組 與不等式 組 第7節(jié)一元二次方程及應(yīng)用 一元二次方程的概念及解法 一 2 降次 一元一次 配方 公式 因式分解 公式法 一元二次方程的根的判別式 4 關(guān)于x的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根的判別式為b2 4ac 也把它記成 b2 4ac 1 b2 4ac 0 方程有 的實數(shù)根 2 b2 4ac 0 方程有 的實數(shù)根 3 b2 4ac 0 方程 實數(shù)根 4 b2 4ac 0 方程有實數(shù)根 兩個不相等 兩個相等 沒有 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 p q 一元二次方程的應(yīng)用 7 一元二次方程是刻畫現(xiàn)實問題的有效數(shù)學(xué)模型 通過審題弄清具體問題中的數(shù)量關(guān)系 是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型 列一元二次方程 進(jìn)而解決實際問題的關(guān)鍵 基本類型有 1 增長 降低 率問題 2 幾何圖形面積問題 3 傳播問題 4 營銷中的利潤問題 一元二次方程的概念及解法 例1 1 若方程 m 1 xm2 1 mx 5 0是關(guān)于x的一元二次方程 則m 2 2015 青海 已知關(guān)于x的一元二次方程2x2 3mx 5 0的一個根是 1 則m 1 1 點(diǎn)撥 1 注意考慮m2 1 2且m 1 0 2 將x 1代入求m值 點(diǎn)撥 1 適合用因式分解法 2 適合用公式法 一元二次方程的根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系 B 1 點(diǎn)撥 1 理解題意 觀察方程特點(diǎn)可得m 2 0 3 m 0 0 2 由題意知 0 由根與系數(shù)的關(guān)系用k表示出x1 x2 x1x2 將等式變形后代入 求出k的值 注意 所求k值必須使 0 一元二次方程的應(yīng)用 例4 2015 長沙 現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的廣泛應(yīng)用 催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展 據(jù)調(diào)查 長沙市某家小型 大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè) 的快遞公司 今年三月份與五月份完成投遞的快遞總件數(shù)分別為10萬件和12 1萬件 現(xiàn)假定該公司每月投遞的快遞總件數(shù)的增長率相同 1 求該快遞公司投遞總件數(shù)的月平均增長率 2 如果平均每人每月最多可投遞0 6萬件 那么該公司現(xiàn)有的21名快遞投遞業(yè)務(wù)員能否完成今年6月份的快遞投遞任務(wù) 如果不能 請問至少需要增加幾名業(yè)務(wù)員 分析 設(shè)投遞總件數(shù)的月平均增長率為x 則五月份投遞的總件數(shù)可表示為10 1 x 2 據(jù)此列方程求解 解 1 設(shè)月平均增長率為x 由題意得10 1 1x 2 12 1 解得x1 0 1 x2 2 1 不合題意 舍去 則平均增長率為10 2 6月份任務(wù)為12 1 1 10 13 31 萬件 0 6 21 12 6 13 31 不能完成 需增加業(yè)務(wù)員 13 31 12 6 0 6 2 人 1 忽視一元二次方程二次項系數(shù)不為0 例5 關(guān)于x的一元二次方程 a 1 x2 2x 3 0有實數(shù)根 則整數(shù)a的最大值是 A 2B 1C 0D 1點(diǎn)撥 根據(jù)題意可得a 1 4 12 a 1 0 C 2 未根據(jù)具體問題判斷一元二次方程解的合理性 例6 如圖 某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段 再砌三面墻 圍成一個矩形花園ABCD 圍墻MN最長可利用25m 現(xiàn)在已備足可以砌50m長的墻的材料 試設(shè)計一種砌法 使矩形花園的面積為300m2 解 設(shè)AB為xm 則BC為 50 2x m 根據(jù)題意可得x 50 2x 300 解得x1 10 x2 15 當(dāng)x 10時 BC 50 2 10 30 25 不合題意 舍去 當(dāng)x 15時 BC 50 2 15 20 25 符合題意 則x 15 故可以圍成AB為15m BC為20m的矩形 1 若關(guān)于x的一元二次方程ax2 bx 1 0 a 0 的解是x 1 則2015 a b的值是 A 2014B 2015C 2016D 20172 2014 宜賓 若關(guān)于x的一元二次方程的兩根為x1 1 x2 2 則這個方程是 A x2 3x 2 0B x2 3x 2 0C x2 2x 3 0D x2 3x 2 03 2015 濱州 用配方法解一元二次方程x2 6x 10 0時 下列變形正確的為 A x 3 2 1B x 3 2 1C x 3 2 19D x 3 2 19 C B D 4 2014 欽州 若x1 x2是一元二次方程x2 10 x 16 0的兩個根 則x1 x2的值是 A 10B 10C 16D 165 下列關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根的是 A x2 1 0B x2 x 1 0C x2 x 1 0D x2 x 1 06 2015 成都 關(guān)于x的一元二次方程kx2 2x 1 0有兩個不相等實數(shù)根 則k的取值范圍是 A k 1B k 1C k 0D k 1且k 0 A D D B 1 1 解 x1 1 x2 3 10 2014 麗水 如圖 某小區(qū)規(guī)劃在一個長30m 寬20m的長方形ABCD上修建三條同樣寬的通道 使其中兩條與AB平行 另一條與AD平行 其余部分種花草 要使每一塊花草的面積都為78m2 那么通道的寬應(yīng)設(shè)計成多少 設(shè)通道的寬為xm 由題意列得方程 11 2015 綏化 若關(guān)于x的一元二次方程ax2 2x 1 0無解 則a的取值范圍是 30 2x 20 x 6 78 a 1 12 2015 齊齊哈爾 ABC的兩邊長分別為2和3 第三邊的長是方程x2 8x 15 0的根 則 ABC的周長是 8 13 2014 瀘州 已知x1 x2是關(guān)于x的一元二次方程x2 2 m 1 x m2 5 0的兩個實數(shù)根 1 若 x1 1 x2 1 28 求m的值 2 已知等腰 ABC的一邊長為7 若x1 x2恰好是 ABC另外兩邊的邊長 求這個三角形的周長 解 1 由根與系數(shù)的關(guān)系得x1 x2 2 m 1 x1x2 m2 5 x1 1 x2 1 28 x1x2 x1 x2 1 28 m2 2m 24 0 m1 4 m2 6 由 0得m 2 m 6 2 當(dāng)?shù)走厼?時 則兩根相等 2 m 1 2 4 m2 5 0 m 2 代入原方程解得x1 x2 3 不能構(gòu)成三角形 當(dāng)腰為7時 代入原方程可求m1 4 m2 10 當(dāng)m 4時 原方程變?yōu)閤2 10 x 21 0 解得x1 3 x2 7 周長為17 當(dāng)m 10時 原方程變?yōu)閤2 22x 105 0 解得x1 7 x2 15 不能構(gòu)成三角形 綜上可知 三角形的周長為17 14 2014 巴中 某商店準(zhǔn)備進(jìn)一批季節(jié)性小家電 單價40元 經(jīng)市場預(yù)測 銷售定價為52元時 可售出180個 定價每增加1元 銷售量凈減少10個 定價每減少1元 銷售量凈增加10個 因受庫存的影響 每批次進(jìn)貨個數(shù)不得超過180個 商店若將準(zhǔn)備獲利2000元 則應(yīng)進(jìn)貨多少個 定價為多少元 解 設(shè)每個商品的定價為x元 則 x 40 180 10 x 52 2000 整理得x2 110 x 3000 0 解得x1 50 x2 60 當(dāng)x1 50時 進(jìn)貨180 10 x 52 200 個 不合題意 舍去 當(dāng)x 60時 進(jìn)貨180 10 x 52 100 個 則應(yīng)進(jìn)貨100個 定價為60元 1 2015 隨州 用配方法解一元二次方程x2 6x 4 0 下列變形正確的是 A x 6 2 4 36B x 6 2 4 36C x 3 2 4 9D x 3 2 4 92 2015 重慶 一元二次方程x2 2x 0的根是 A x1 0 x2 2B x1 1 x2 2C x1 1 x2 2D x1 0 x2 23 若關(guān)于x的方程x2 3x a 0有一個根為 1 則另一個根為 A 2B 2C 4D 3 D D A 4 2015 濱州 一元二次方程4x2 1 4x的根的情況是 A 沒有實數(shù)根B 只有一個實數(shù)根C 有兩個相等的實數(shù)根D 有兩個不相等的實數(shù)根5 2015 涼山州 關(guān)于x的一元二次方程 m 2 x2 2x 1 0有實數(shù)根 則m的取值范圍是 A m 3B m 3C m 3且m 2D m 3且m 26 2015 寧波 三角形兩邊長分別為3和6 第三邊是方程x2 13x 36 0的根 則三角形的周長為 A 13B 15C 18D 13或18 C D A B 2015 2 25 5 解 x1 0 x2 6 14 2015 河南 已知關(guān)于x的一元二次方程 x 3 x 2 m 1 求證 對于任意實數(shù)m 方程總有兩個不相等的實數(shù)根 2 若方程的一個根是1 求m的值及方程的另一個根 解 1 1 4 m 0 所以總有兩個不相等的實數(shù)根 2 m 2或m 2 另一個根為x 4 15 2015 東營 2013年 東營市某樓盤以每平方米6500元的均價對外銷售 因為樓盤滯銷 房地產(chǎn)開發(fā)商為了加快資金周轉(zhuǎn) 決定進(jìn)行降價促銷 經(jīng)過連續(xù)兩年下調(diào)后 2015年的均價為每平方米5265元 1 求平均每年下調(diào)的百分率 2 假設(shè)2016年的均價仍然下調(diào)相同的百分率 張強(qiáng)準(zhǔn)備購買一套100平方米的住房 他持有現(xiàn)金20萬元 可以在銀行貸款30萬元 張強(qiáng)的愿望能否實現(xiàn) 房價每平方米按照均價計算 解 1 設(shè)平均每年下調(diào)的百分率為x 根據(jù)題意得6500 1 x 2 5265 解得x1 0 1 10 x2 1 9 不合題意 舍去 則平均每年下調(diào)的百分率為10 2 如果下調(diào)的百分率相同 2016年的房價為5265 1 10 4738 5 元 平方米 則100平方米的住房的總房款為100 4738 5 473850 元 47 385 萬元 20 30 47 385 可以實現(xiàn) 16 一學(xué)校為了綠化校園環(huán)境 向某園林公司購買了一批樹苗 園林公司規(guī)定 如果購買樹苗不超過60棵 每棵售價120元 如果購買樹苗超過60棵 每增加1棵 所出售的這批樹苗每棵售價均降低0 5元 但每棵樹苗最低售價不得少于100元 該校最終向園林公司支付樹苗款8800元 請問該校共購買了多少棵樹苗 解 60棵樹苗售價為120 60 7200 元 7200 8800 該校購買樹苗超過60棵 設(shè)該校共購買樹苗x棵 由題意得x 120 0 5 x 60 8800 解得x1 220 x2 80 當(dāng)x 220時 120 0 5 220 60 40 100 不合題意 舍去 當(dāng)x 80時 120 0 5 80 60 110 100 x 80 則該校共購買了80棵樹苗 C D 19 2015 日照 如果m n是兩個不相等的實數(shù) 且滿足m2 m 3 n2 n 3 那么代數(shù)式2n2 mn 2m 2015 2026 20 已知關(guān)于x的一元二次方程x2 2k 1 x k2 2k 0有兩個實數(shù)根x1 x2 1 求實數(shù)k的取值范圍 2 是否存在實數(shù)k使得x1x2 x12 x22 0成立 若存在 請求出k的值 若不存在 請說明理由