第二章 圓錐曲線與方程 2 2橢圓 2 2 1橢圓及其標準方程 自主預習學案 橢圓是一種美麗的曲線 它具有形狀美和科學美 神舟 六號載人飛船進入預定軌道繞地球飛行 其運行的軌道就是以地球中心為一個焦點的橢圓 本節(jié)我們將學習橢圓的定義及橢圓的方程 這樣我們能算出 神舟 六號繞地飛行的軌跡方程 1 橢圓的概念平面內(nèi)與兩個定點F1 F2的距離的 等于常數(shù) 大于 F1F2 的點的軌跡 或集合 叫做橢圓 這兩個定點叫做橢圓的 間的距離叫做橢圓的焦距 當常數(shù)等于 F1F2 時軌跡為 當常數(shù)小于 F1F2 時 軌跡 2 橢圓的標準方程當焦點在x軸上時 橢圓的標準方程為 當焦點在y軸上時 橢圓的標準方程為 和 焦點 兩焦點 線段 F1F2 不存在 1 設F1 F2為定點 F1F2 6 動點M滿足 MF1 MF2 10 則動點M的軌跡是 A 橢圓B 直線C 圓D 線段 解析 MF1 MF2 10 F1F2 6 由橢圓定義 動點M軌跡為橢圓 A 解析 PF1 PF2 2a 4 選A A 解析 由橢圓定義知 PF1 PF2 2a 10 PF2 10 PF1 10 6 4 4 解析 2c 2 c 1 故有m 4 1或4 m 1 m 5或m 3 故選C C 0 12 互動探究學案 命題方向1 橢圓的定義 典例1 A 規(guī)律總結(jié) 1 對橢圓定義的三點說明 1 橢圓是在平面內(nèi)定義的 所以 平面內(nèi) 這一條件不能忽視 2 定義中到兩定點的距離之和是常數(shù) 而不能是變量 3 常數(shù) 2a 必須大于兩定點間的距離 否則軌跡不是橢圓 這是判斷一曲線是否為橢圓的限制條件 2 橢圓定義的兩個應用 1 若 MF1 MF2 2a 2a F1F2 則動點M的軌跡是橢圓 2 若點M在橢圓上 則 MF1 MF2 2a 跟蹤練習1 已知圓A x 3 2 y2 100 圓A內(nèi)一定點B 3 0 圓P過B且與圓A內(nèi)切 求圓心P的軌跡方程 命題方向2 橢圓的標準方程 典例2 命題方向3 橢圓的焦點三角形 解析 由橢圓的定義 有 PF1 PF2 2a 而在 F1PF2中 由余弦定理得 典例3 橢圓的其他方程形式 思路分析 將橢圓的方程化為標準方程 運用題設中給出的條件求解 典例4 導師點睛 由橢圓的標準方程可以確定焦點坐標 或求參數(shù)的值 或取值范圍 在求解這類問題時 必須先確定焦點位置 從而可得a2 b2的值 當焦點不確定時 應注意分類討論 分別求值 另外 應注意當a2 b2時 方程表示圓 應排除這種情況 ABC的三邊a b c a b c 成等差數(shù)列 A C兩點的坐標分別是 1 0 1 0 求頂點B的軌跡 典例5 辨析 錯誤的原因是忽略了題設中的條件a b c 使變量x的范圍擴大 從而導致錯誤 另外一處錯誤是當點B在x軸上時 A B C三點不能構(gòu)成三角形 規(guī)律總結(jié) 要認真審題 弄清已知條件 注意是否存在隱含條件 不能擴大或縮小變量x或y的取值范圍 B A C 16