第三節(jié)用樣本估計(jì)總體第三節(jié)用樣本估計(jì)總體1作頻率分布直方圖的步驟作頻率分布直方圖的步驟(1)求極差求極差(即一組數(shù)據(jù)中即一組數(shù)據(jù)中_與與_的差的差)(2)決定決定_與組數(shù)與組數(shù)(3)將數(shù)據(jù)分組將數(shù)據(jù)分組(4)列頻率分布表列頻率分布表(5)畫頻率畫頻率_最大值最大值最小值最小值組距組距分布直方圖分布直方圖2頻率分布折線圖和總體密度曲線頻率分布折線圖和總體密度曲線(1)頻率分布折線圖：連結(jié)頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端頻率分布折線圖：連結(jié)頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的的_，就得到頻率分布折線圖，就得到頻率分布折線圖(2)總體密度曲線：隨著總體密度曲線：隨著_的增加，作圖時(shí)所的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加，分的組數(shù)增加，_減小，相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越減小，相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線曲線中點(diǎn)中點(diǎn)樣本容量樣本容量組距組距3莖葉圖莖葉圖統(tǒng)計(jì)中還有一種被用來表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖，莖是指中間統(tǒng)計(jì)中還有一種被用來表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長(zhǎng)出來的數(shù)的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長(zhǎng)出來的數(shù)4標(biāo)準(zhǔn)差和方差標(biāo)準(zhǔn)差和方差(1)標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種_平均距離平均距離1在一組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)多指什么？在一組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)多指什么？2如何利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)？如何利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)？【提示【提示】(1)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值(2)平均數(shù)：平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩平均數(shù)：平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和(3)眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高的矩形的中點(diǎn)的眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高的矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)橫坐標(biāo) 【答案【答案】A【答案【答案】B3(2011江蘇高考江蘇高考)某老師從星期一到星期五收到的信件數(shù)分別某老師從星期一到星期五收到的信件數(shù)分別為為10,6,8,5,6，則該組數(shù)據(jù)的方差，則該組數(shù)據(jù)的方差s2_.【答案【答案】3.24(2012汕尾調(diào)研汕尾調(diào)研)在如圖在如圖932所示的莖葉圖中，甲、乙兩所示的莖葉圖中，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別是組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別是_，_.【解析【解析】甲組數(shù)據(jù)為：甲組數(shù)據(jù)為：28,31,39,42,45,55,57,58,66，中位數(shù)為，中位數(shù)為45.乙組數(shù)據(jù)為：乙組數(shù)據(jù)為：29,34,35,42,46,48,53,55,67，中位數(shù)為，中位數(shù)為46.【答案【答案】4546 某市某市2012年年4月月1日日4月月30日對(duì)空氣污染指數(shù)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)日對(duì)空氣污染指數(shù)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)如下如下(主要污染物為可吸入顆粒物主要污染物為可吸入顆粒物)：61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.(1)完成頻率分布表；完成頻率分布表；(2)作出頻率分布直方圖；作出頻率分布直方圖；頻率分布直方圖的繪制及應(yīng)用頻率分布直方圖的繪制及應(yīng)用 (3)根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)，污染指數(shù)在根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)，污染指數(shù)在050之間時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；之間時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；在在51100之間時(shí)，為良；在之間時(shí)，為良；在101150之間時(shí)，為輕微污染；之間時(shí)，為輕微污染；在在151200之間時(shí)，為輕度污染之間時(shí)，為輕度污染請(qǐng)你依據(jù)所給數(shù)據(jù)和上述標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)該市的空氣質(zhì)量給出一個(gè)簡(jiǎn)請(qǐng)你依據(jù)所給數(shù)據(jù)和上述標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)該市的空氣質(zhì)量給出一個(gè)簡(jiǎn)短評(píng)價(jià)短評(píng)價(jià)【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】決定組距和組數(shù)，將數(shù)據(jù)分組，列出頻率分布決定組距和組數(shù)，將數(shù)據(jù)分組，列出頻率分布表作出頻率分布直方圖，根據(jù)分布表或直方圖分析空氣質(zhì)量的表作出頻率分布直方圖，根據(jù)分布表或直方圖分析空氣質(zhì)量的優(yōu)、良、輕微污染的頻率，對(duì)空氣質(zhì)量做出評(píng)價(jià)優(yōu)、良、輕微污染的頻率，對(duì)空氣質(zhì)量做出評(píng)價(jià)【嘗試解答【嘗試解答】(1)頻率分布表：頻率分布表：(2)頻率分布直方圖：頻率分布直方圖： (2011浙江高考浙江高考)某中學(xué)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)情況，在某中學(xué)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)情況，在3 000名學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生中隨機(jī)抽取200名，并統(tǒng)計(jì)這名，并統(tǒng)計(jì)這200名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)，得到了樣本的頻率分布直方圖考試成績(jī)，得到了樣本的頻率分布直方圖(如圖如圖933)根根據(jù)頻率分布直方圖推測(cè)，這據(jù)頻率分布直方圖推測(cè)，這3 000名學(xué)生在該次數(shù)學(xué)考試中成名學(xué)生在該次數(shù)學(xué)考試中成績(jī)小于績(jī)小于60分的學(xué)生數(shù)是分的學(xué)生數(shù)是_【解析【解析】由樣本頻率分布直方圖知，數(shù)學(xué)考試中成績(jī)小于由樣本頻率分布直方圖知，數(shù)學(xué)考試中成績(jī)小于60分的頻率為分的頻率為(0.0020.0060.012)100.2，估計(jì)總體中成績(jī)小于估計(jì)總體中成績(jī)小于60分的概率約為分的概率約為0.2，故所求成績(jī)小于故所求成績(jī)小于60分的學(xué)生數(shù)約為分的學(xué)生數(shù)約為3 0000.2600人人【答案【答案】600 某班甲、乙兩學(xué)生的高考備考成績(jī)?nèi)缦拢耗嘲嗉住⒁覂蓪W(xué)生的高考備考成績(jī)?nèi)缦拢杭祝杭祝?12 554 528 549 536 556 534 541 522 538乙：乙：515 558 521 543 532 559 536 548 527 531(1)用莖葉圖表示兩學(xué)生的成績(jī)；用莖葉圖表示兩學(xué)生的成績(jī)；(2)分別求兩學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)和平均分分別求兩學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)和平均分【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】解答本題可以百位，十位數(shù)字為莖，個(gè)位數(shù)字解答本題可以百位，十位數(shù)字為莖，個(gè)位數(shù)字為葉作莖葉圖，再利用莖葉圖求中位數(shù)及平均分為葉作莖葉圖，再利用莖葉圖求中位數(shù)及平均分莖葉圖的繪制及應(yīng)用莖葉圖的繪制及應(yīng)用 【嘗試解答【嘗試解答】(1)兩學(xué)生成績(jī)的莖葉圖如圖所示：兩學(xué)生成績(jī)的莖葉圖如圖所示：(2)將甲、乙兩學(xué)生的成績(jī)從小到大排列為：將甲、乙兩學(xué)生的成績(jī)從小到大排列為：甲：甲：512 522 528 534 536 538 541 549 554 556乙：乙：515 521 527 531 532 536 543 548 558 5591作樣本的莖葉圖時(shí)先要根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)確定莖、葉，再作樣本的莖葉圖時(shí)先要根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)確定莖、葉，再作莖葉圖作莖葉圖2作樣本的莖葉圖一般對(duì)稱作圖，數(shù)據(jù)排列由內(nèi)向外，作樣本的莖葉圖一般對(duì)稱作圖，數(shù)據(jù)排列由內(nèi)向外，從小到大排列，便于數(shù)據(jù)的處理從小到大排列，便于數(shù)據(jù)的處理3當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，它不但可以保留所有信息，而且可以隨時(shí)記錄，這對(duì)數(shù)據(jù)的記它不但可以保留所有信息，而且可以隨時(shí)記錄，這對(duì)數(shù)據(jù)的記錄和表示都非常方便錄和表示都非常方便 (2011北京高考北京高考)以下莖葉圖以下莖葉圖934記錄了甲、乙兩組各四名記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù)，乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在同學(xué)的植樹棵數(shù)，乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以圖中以X表示表示(1)如果如果X8，求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差；，求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差；(2)如果如果X9，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19的概率的概率(2011遼寧高考遼寧高考)某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃種植某種新作物，為此對(duì)這種某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃種植某種新作物，為此對(duì)這種作物的兩個(gè)品種作物的兩個(gè)品種(分別稱為品種甲和品種乙分別稱為品種甲和品種乙)進(jìn)行田間試驗(yàn)選取進(jìn)行田間試驗(yàn)選取兩大塊地，每大塊地分成兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共小塊地，在總共2n小塊地中，隨機(jī)選小塊地中，隨機(jī)選n小塊地種植品種甲，另外小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙小塊地種植品種乙(1)假設(shè)假設(shè)n2，求第一大塊地都種植品種甲的概率；，求第一大塊地都種植品種甲的概率；(2)試驗(yàn)時(shí)每大塊地分成試驗(yàn)時(shí)每大塊地分成8小塊，即小塊，即n8，試驗(yàn)結(jié)束后得到品種甲，試驗(yàn)結(jié)束后得到品種甲和品種乙在各小塊地上的每公頃產(chǎn)量和品種乙在各小塊地上的每公頃產(chǎn)量(單位：?jiǎn)挝唬簁g/hm2)如下表：如下表：從樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征從樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征 品種甲品種甲403397390404388400412406品種乙品種乙419403412418408423400413分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該種植哪一品種？根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該種植哪一品種？【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】(1)當(dāng)當(dāng)n2時(shí)，列舉出時(shí)，列舉出4小塊地的所有種植情況，小塊地的所有種植情況，求第一大塊地都種植甲的概率；求第一大塊地都種植甲的概率；(2)利用公式求出品種甲和乙的平均數(shù)和方差，分析平均數(shù)和利用公式求出品種甲和乙的平均數(shù)和方差，分析平均數(shù)和方差的大小關(guān)系，作出評(píng)價(jià)和選擇方差的大小關(guān)系，作出評(píng)價(jià)和選擇1平均數(shù)和方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)總體一種簡(jiǎn)平均數(shù)和方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)總體一種簡(jiǎn)明的闡述，一般可以通過比較甲、乙兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和明的闡述，一般可以通過比較甲、乙兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的差異，對(duì)甲、乙兩品種可以做出評(píng)價(jià)或選擇方差的差異，對(duì)甲、乙兩品種可以做出評(píng)價(jià)或選擇2樣本平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的中心，是平均水平，而樣本樣本平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的中心，是平均水平，而樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映的是數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度，進(jìn)行均值與方差的計(jì)方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映的是數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度，進(jìn)行均值與方差的計(jì)算，關(guān)鍵是正確運(yùn)用公式算，關(guān)鍵是正確運(yùn)用公式為備戰(zhàn)世界杯預(yù)選賽，我國男足甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)為備戰(zhàn)世界杯預(yù)選賽，我國男足甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員參加了某項(xiàng)體能訓(xùn)練，近期的五次測(cè)試成績(jī)得分情況如圖員參加了某項(xiàng)體能訓(xùn)練，近期的五次測(cè)試成績(jī)得分情況如圖935.(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；(2)根據(jù)圖和根據(jù)圖和(1)中算得的結(jié)果，對(duì)兩人的訓(xùn)練成績(jī)作出評(píng)價(jià)中算得的結(jié)果，對(duì)兩人的訓(xùn)練成績(jī)作出評(píng)價(jià)從近兩年高考看，用樣本估計(jì)總體能較好地考查數(shù)學(xué)應(yīng)從近兩年高考看，用樣本估計(jì)總體能較好地考查數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，是高考的熱點(diǎn)之一，主要考查頻率分布直方圖、莖葉用意識(shí)，是高考的熱點(diǎn)之一，主要考查頻率分布直方圖、莖葉圖、用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體數(shù)字特征，并出現(xiàn)統(tǒng)計(jì)與概率圖、用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體數(shù)字特征，并出現(xiàn)統(tǒng)計(jì)與概率相結(jié)合的命題趨向，應(yīng)引起足夠重視相結(jié)合的命題趨向，應(yīng)引起足夠重視規(guī)范解答之十九用樣本估計(jì)總體的實(shí)際應(yīng)用規(guī)范解答之十九用樣本估計(jì)總體的實(shí)際應(yīng)用 (12分分)(2011湖南高考湖南高考)某河流上的一座水力發(fā)電站，每某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量年六月份的發(fā)電量Y(單位：萬千瓦時(shí)單位：萬千瓦時(shí))與該河上游在六月份的與該河上游在六月份的降雨量降雨量X(單位：毫米單位：毫米)有關(guān)據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)有關(guān)據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)X70時(shí)，時(shí)，Y460；X每 增 加每 增 加 1 0 ， Y 增 加增 加 5 . 已 知 近已 知 近 2 0 年年 X 的 值 為 ：的 值 為 ：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的頻率分布表：完成如下的頻率分布表：近近20年六月份降雨量頻率分布表年六月份降雨量頻率分布表(2)假定今年六月份的降雨量與近假定今年六月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)年六月份降雨量的分布規(guī)律相同，并將頻率視為概率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)律相同，并將頻率視為概率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于電量低于490(萬千瓦時(shí)萬千瓦時(shí))或超過或超過530(萬千瓦時(shí)萬千瓦時(shí))的概率的概率【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)在所給數(shù)據(jù)中，降雨量為在所給數(shù)據(jù)中，降雨量為110毫米的有毫米的有3個(gè)，個(gè)，為為160毫米的有毫米的有7個(gè)，為個(gè)，為200毫米的有毫米的有3個(gè)故近個(gè)故近20年六月份降雨年六月份降雨量頻率分布表為量頻率分布表為 .4分分【解題程序【解題程序】第一步：處理數(shù)據(jù)，完成頻率分布表第一步：處理數(shù)據(jù)，完成頻率分布表第二步：建立降雨量第二步：建立降雨量X與發(fā)電量與發(fā)電量Y的函數(shù)模型的函數(shù)模型第三步：求出第三步：求出Y490或或Y530的概率的概率易錯(cuò)提示：易錯(cuò)提示：(1)不能準(zhǔn)確表示變量不能準(zhǔn)確表示變量X與變量與變量Y的關(guān)系的關(guān)系(2)把求把求“Y490或或Y530”的概率轉(zhuǎn)化為變量的概率轉(zhuǎn)化為變量“X的范圍的范圍”時(shí)出錯(cuò)或不會(huì)轉(zhuǎn)化時(shí)出錯(cuò)或不會(huì)轉(zhuǎn)化防范措施：防范措施：(1)準(zhǔn)確理解題意，根據(jù)題意準(zhǔn)確表示準(zhǔn)確理解題意，根據(jù)題意準(zhǔn)確表示X與與Y的的關(guān)系關(guān)系(2)抓住解決問題的關(guān)鍵，求解第抓住解決問題的關(guān)鍵，求解第(2)問的關(guān)鍵是把問的關(guān)鍵是把“Y的的范圍范圍”轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為“X的范圍的范圍”，要充分利用，要充分利用X與與Y的關(guān)系的關(guān)系1(2012寧波模擬寧波模擬)從某小學(xué)隨機(jī)抽取從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身名同學(xué)，將他們的身高高(單位：厘米單位：厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖如圖936)由由圖中數(shù)據(jù)可知圖中數(shù)據(jù)可知a_，若要從身高在，若要從身高在120,130)，130,140)，140,150三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項(xiàng)活動(dòng)，則從身高在人參加一項(xiàng)活動(dòng)，則從身高在140,150內(nèi)的學(xué)生中選取的人內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為數(shù)應(yīng)為_【答案【答案】0.03032(2011課標(biāo)全國卷課標(biāo)全國卷)某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品現(xiàn)用兩種新配方產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為分別稱為A配方和配方和B配方配方)做試做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)件這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果：值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果：A配方的頻數(shù)分布表配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值指標(biāo)值分組分組90,94)94,98)98,102)102,106)106,110)頻數(shù)頻數(shù)82042228B配方的頻數(shù)分布表配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值指標(biāo)值分組分組90,94)94,98)98,102)102,106) 106,110)頻數(shù)頻數(shù)412423210