空間向量的數(shù)量積運(yùn)算空間向量的數(shù)量積運(yùn)算空間向量的數(shù)量積運(yùn)算空間向量的數(shù)量積運(yùn)算空間向量的數(shù)量積運(yùn)算空間向量的數(shù)量積運(yùn)算S FWWW= |= |= |F F F| | | | |s s s| cos| cos| cos 根據(jù)功的計(jì)算根據(jù)功的計(jì)算根據(jù)功的計(jì)算根據(jù)功的計(jì)算根據(jù)功的計(jì)算根據(jù)功的計(jì)算, , ,我們定義了平面兩向量的我們定義了平面兩向量的我們定義了平面兩向量的我們定義了平面兩向量的我們定義了平面兩向量的我們定義了平面兩向量的數(shù)量積運(yùn)算數(shù)量積運(yùn)算數(shù)量積運(yùn)算數(shù)量積運(yùn)算數(shù)量積運(yùn)算數(shù)量積運(yùn)算. . .一旦定義出來(lái)一旦定義出來(lái)一旦定義出來(lái)一旦定義出來(lái)一旦定義出來(lái)一旦定義出來(lái), , ,我們我們我們我們我們我們發(fā)現(xiàn)這種運(yùn)發(fā)現(xiàn)這種運(yùn)發(fā)現(xiàn)這種運(yùn)發(fā)現(xiàn)這種運(yùn)發(fā)現(xiàn)這種運(yùn)發(fā)現(xiàn)這種運(yùn)算非常有用算非常有用算非常有用算非常有用算非常有用算非常有用, , ,它能解決有關(guān)它能解決有關(guān)它能解決有關(guān)它能解決有關(guān)它能解決有關(guān)它能解決有關(guān)長(zhǎng)度和角度長(zhǎng)度和角度長(zhǎng)度和角度長(zhǎng)度和角度長(zhǎng)度和角度長(zhǎng)度和角度問(wèn)題問(wèn)題問(wèn)題問(wèn)題問(wèn)題問(wèn)題. . .1)1)1)1)1)1)兩個(gè)向量的夾角的定義兩個(gè)向量的夾角的定義兩個(gè)向量的夾角的定義兩個(gè)向量的夾角的定義兩個(gè)向量的夾角的定義兩個(gè)向量的夾角的定義: : : : : :O O O O O OA A A A A AB B B B B Ba a b b ,a bb a 這樣規(guī)兩個(gè)夾(2)在(2)在的的定定下下，向向量量的的角角就就被被唯唯一一確確定定了了，并并且且2 2 2 2 2 2）兩個(gè)向量的數(shù)量積）兩個(gè)向量的數(shù)量積）兩個(gè)向量的數(shù)量積）兩個(gè)向量的數(shù)量積）兩個(gè)向量的數(shù)量積）兩個(gè)向量的數(shù)量積注注注注注注: : : : : :兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量?jī)蓚€(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量?jī)蓚€(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量?jī)蓚€(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量?jī)蓚€(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量?jī)蓚€(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量. . . . . . 規(guī)定規(guī)定規(guī)定規(guī)定規(guī)定規(guī)定: : : : : :零向量與任意向量的數(shù)量積等于零零向量與任意向量的數(shù)量積等于零零向量與任意向量的數(shù)量積等于零零向量與任意向量的數(shù)量積等于零零向量與任意向量的數(shù)量積等于零零向量與任意向量的數(shù)量積等于零. . . 、 仍仍是是 、 的 的模模。aba b注注注注注注: : : : : : 性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) 是證明兩向量垂直的依據(jù)；是證明兩向量垂直的依據(jù)；是證明兩向量垂直的依據(jù)；是證明兩向量垂直的依據(jù)；是證明兩向量垂直的依據(jù)；是證明兩向量垂直的依據(jù)；性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)是求向量的長(zhǎng)度（模）的依據(jù)；是求向量的長(zhǎng)度（模）的依據(jù)；是求向量的長(zhǎng)度（模）的依據(jù)；是求向量的長(zhǎng)度（模）的依據(jù)；是求向量的長(zhǎng)度（模）的依據(jù)；是求向量的長(zhǎng)度（模）的依據(jù)；(3)(3)(3)(3)(3)(3)空間兩個(gè)向量的數(shù)量積性質(zhì)空間兩個(gè)向量的數(shù)量積性質(zhì)空間兩個(gè)向量的數(shù)量積性質(zhì)空間兩個(gè)向量的數(shù)量積性質(zhì)空間兩個(gè)向量的數(shù)量積性質(zhì)空間兩個(gè)向量的數(shù)量積性質(zhì)(4)(4)(4)(4)(4)(4)空間向量的數(shù)量積滿(mǎn)足的運(yùn)算律空間向量的數(shù)量積滿(mǎn)足的運(yùn)算律空間向量的數(shù)量積滿(mǎn)足的運(yùn)算律空間向量的數(shù)量積滿(mǎn)足的運(yùn)算律空間向量的數(shù)量積滿(mǎn)足的運(yùn)算律空間向量的數(shù)量積滿(mǎn)足的運(yùn)算律注意：注意：注意：注意：注意：注意： 數(shù)量積不滿(mǎn)足結(jié)合律即數(shù)量積不滿(mǎn)足結(jié)合律即數(shù)量積不滿(mǎn)足結(jié)合律即數(shù)量積不滿(mǎn)足結(jié)合律即數(shù)量積不滿(mǎn)足結(jié)合律即數(shù)量積不滿(mǎn)足結(jié)合律即)()a bcab c （課堂練習(xí)課堂練習(xí)課堂練習(xí)課堂練習(xí)課堂練習(xí)課堂練習(xí)222222)()()( )3)()( )4)( )a bcab cpqp qpqpqpq 135 2變變：若若呢呢？a b A A AD D DF F FC C CB B BE E E1(2)(3)(4) 圖間邊條邊對(duì)線(xiàn)長(zhǎng)點(diǎn)別點(diǎn)計(jì)（）3. 如3. 如：已已知知空空四四形形的的每每和和角角都都等等于于1，1，、 分分是是、的的中中。算算：ABCDEFABADEF BAEF BDEF DCEF ACDCBDABCA解：解：解：解：解：解：ACABADAA 22222222|()|2()4352(0107.5)85ACABADAAABADAAAB ADAB AAAD AA |85AC 4435ABCDA B C DABADAABADBAADAA 0000、已已知知在在平平行行六六面面體體中中，=90 ,=60 ，=90 ,=60 ，AC求求對(duì)對(duì)角角線(xiàn)線(xiàn)的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度。ABCD3. 3. 3.已知線(xiàn)段已知線(xiàn)段已知線(xiàn)段已知線(xiàn)段已知線(xiàn)段已知線(xiàn)段ABABAB、BDBDBD在平面在平面在平面在平面在平面在平面 內(nèi)內(nèi)內(nèi)內(nèi)內(nèi)內(nèi),BD,BD,BDAB,AB,AB,線(xiàn)段線(xiàn)段線(xiàn)段線(xiàn)段線(xiàn)段線(xiàn)段AC AC AC , , ,如果如果如果如果如果如果ABABABa a a,BD,BD,BDb b b,AC,AC,ACc c c, , ,求求求求求求C C C、D D D間的距離間的距離間的距離間的距離間的距離間的距離. . . 222abc 第第第第第第3 3 3題題題題題題: : :12第第第第第第4 4 4題題題題題題: : :妙妙妙妙妙妙! ! !3.3.3.3.3.3.已知線(xiàn)段已知線(xiàn)段已知線(xiàn)段已知線(xiàn)段已知線(xiàn)段已知線(xiàn)段 、在平面、在平面、在平面、在平面、在平面、在平面 內(nèi)，線(xiàn)段內(nèi)，線(xiàn)段內(nèi)，線(xiàn)段內(nèi)，線(xiàn)段內(nèi)，線(xiàn)段內(nèi)，線(xiàn)段 如果，求、之間的距離如果，求、之間的距離如果，求、之間的距離如果，求、之間的距離如果，求、之間的距離如果，求、之間的距離. . . . . .ABBD BDAB AC ,ABaBDbACcCDcab CABD解：解：解：解：解：解：22222222|()|CDCAABBDCAABBDabc 222CDabca b a b , a b 另外另外另外另外另外另外, , , , , ,空間向量的運(yùn)用還經(jīng)常用來(lái)判定空間垂直關(guān)系空間向量的運(yùn)用還經(jīng)常用來(lái)判定空間垂直關(guān)系空間向量的運(yùn)用還經(jīng)常用來(lái)判定空間垂直關(guān)系空間向量的運(yùn)用還經(jīng)常用來(lái)判定空間垂直關(guān)系空間向量的運(yùn)用還經(jīng)常用來(lái)判定空間垂直關(guān)系空間向量的運(yùn)用還經(jīng)常用來(lái)判定空間垂直關(guān)系, , , , , , 證兩直線(xiàn)垂直線(xiàn)?？赊D(zhuǎn)化為證明以這兩條線(xiàn)段對(duì)應(yīng)的向量證兩直線(xiàn)垂直線(xiàn)常可轉(zhuǎn)化為證明以這兩條線(xiàn)段對(duì)應(yīng)的向量證兩直線(xiàn)垂直線(xiàn)?？赊D(zhuǎn)化為證明以這兩條線(xiàn)段對(duì)應(yīng)的向量證兩直線(xiàn)垂直線(xiàn)?？赊D(zhuǎn)化為證明以這兩條線(xiàn)段對(duì)應(yīng)的向量證兩直線(xiàn)垂直線(xiàn)常可轉(zhuǎn)化為證明以這兩條線(xiàn)段對(duì)應(yīng)的向量證兩直線(xiàn)垂直線(xiàn)?？赊D(zhuǎn)化為證明以這兩條線(xiàn)段對(duì)應(yīng)的向量 的數(shù)量積為零的數(shù)量積為零的數(shù)量積為零的數(shù)量積為零的數(shù)量積為零的數(shù)量積為零. . . . . . P O A la 證明：證明：證明：證明：證明：證明：如圖如圖如圖如圖如圖如圖, , ,已知已知已知已知已知已知: : :,POAOllOA射射影影且且求證：求證：求證：求證：求證：求證：lPA 在直線(xiàn)在直線(xiàn)在直線(xiàn)在直線(xiàn)在直線(xiàn)在直線(xiàn)l l l上取向量上取向量上取向量上取向量上取向量上取向量 , , ,只要只要只要只要只要只要證證證證證證a 0a PA ()0a PAaPOOAa POa OA ,aPAl 即即PA.PA.為為為為為為 P O A la 0,0a POa OA 逆命題成立嗎逆命題成立嗎逆命題成立嗎? ? ? P O A la 分析分析分析分析分析分析: : :同樣可用向量同樣可用向量同樣可用向量同樣可用向量同樣可用向量同樣可用向量, , ,證明思證明思證明思證明思證明思證明思路幾乎一樣路幾乎一樣路幾乎一樣路幾乎一樣路幾乎一樣路幾乎一樣, , ,只不過(guò)其中的加只不過(guò)其中的加只不過(guò)其中的加只不過(guò)其中的加只不過(guò)其中的加只不過(guò)其中的加法運(yùn)算用減法運(yùn)算來(lái)分析法運(yùn)算用減法運(yùn)算來(lái)分析法運(yùn)算用減法運(yùn)算來(lái)分析法運(yùn)算用減法運(yùn)算來(lái)分析法運(yùn)算用減法運(yùn)算來(lái)分析法運(yùn)算用減法運(yùn)算來(lái)分析. . .分析：要證明一條直線(xiàn)與一個(gè)平面分析：要證明一條直線(xiàn)與一個(gè)平面分析：要證明一條直線(xiàn)與一個(gè)平面分析：要證明一條直線(xiàn)與一個(gè)平面分析：要證明一條直線(xiàn)與一個(gè)平面分析：要證明一條直線(xiàn)與一個(gè)平面垂直垂直垂直垂直垂直垂直, , , , , ,由直線(xiàn)與平面垂直的定義可由直線(xiàn)與平面垂直的定義可由直線(xiàn)與平面垂直的定義可由直線(xiàn)與平面垂直的定義可由直線(xiàn)與平面垂直的定義可由直線(xiàn)與平面垂直的定義可知知知知知知, , , , , ,就是要證明這條直線(xiàn)與平面內(nèi)就是要證明這條直線(xiàn)與平面內(nèi)就是要證明這條直線(xiàn)與平面內(nèi)就是要證明這條直線(xiàn)與平面內(nèi)就是要證明這條直線(xiàn)與平面內(nèi)就是要證明這條直線(xiàn)與平面內(nèi)的的的的的的任意一條直線(xiàn)任意一條直線(xiàn)任意一條直線(xiàn)任意一條直線(xiàn)任意一條直線(xiàn)任意一條直線(xiàn)都垂直都垂直都垂直都垂直都垂直都垂直. . . . . .例例例例例例:( :( :(試用試用試用試用試用試用向量方法證明直線(xiàn)與平面垂直的判定定理向量方法證明直線(xiàn)與平面垂直的判定定理向量方法證明直線(xiàn)與平面垂直的判定定理向量方法證明直線(xiàn)與平面垂直的判定定理向量方法證明直線(xiàn)與平面垂直的判定定理向量方法證明直線(xiàn)與平面垂直的判定定理) ) ) 已知直線(xiàn)已知直線(xiàn)已知直線(xiàn)已知直線(xiàn)已知直線(xiàn)已知直線(xiàn)mm m , , ,n n n是平面是平面是平面是平面是平面是平面 內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)內(nèi)的兩條相交直線(xiàn), , ,如果如果如果如果如果如果 mm m, , , n n n, , ,求證求證求證求證求證求證: : : . . . lll lm m mn n ng g gm g m l 取已知平面內(nèi)的任一條直線(xiàn)取已知平面內(nèi)的任一條直線(xiàn)取已知平面內(nèi)的任一條直線(xiàn)取已知平面內(nèi)的任一條直線(xiàn)取已知平面內(nèi)的任一條直線(xiàn)取已知平面內(nèi)的任一條直線(xiàn) g ,g ,g ,拿相關(guān)直線(xiàn)的方拿相關(guān)直線(xiàn)的方拿相關(guān)直線(xiàn)的方拿相關(guān)直線(xiàn)的方拿相關(guān)直線(xiàn)的方拿相關(guān)直線(xiàn)的方向向量來(lái)分析向向量來(lái)分析向向量來(lái)分析向向量來(lái)分析向向量來(lái)分析向向量來(lái)分析, , ,看條件可以轉(zhuǎn)化為向量的什么條件看條件可以轉(zhuǎn)化為向量的什么條件看條件可以轉(zhuǎn)化為向量的什么條件看條件可以轉(zhuǎn)化為向量的什么條件看條件可以轉(zhuǎn)化為向量的什么條件看條件可以轉(zhuǎn)化為向量的什么條件? ? ?要要要要要要證的目標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為向量的什么目標(biāo)證的目標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為向量的什么目標(biāo)證的目標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為向量的什么目標(biāo)證的目標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為向量的什么目標(biāo)證的目標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為向量的什么目標(biāo)證的目標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為向量的什么目標(biāo)? ? ?怎樣建立向量怎樣建立向量怎樣建立向量怎樣建立向量怎樣建立向量怎樣建立向量的條件與向量的目標(biāo)的聯(lián)系的條件與向量的目標(biāo)的聯(lián)系的條件與向量的目標(biāo)的聯(lián)系的條件與向量的目標(biāo)的聯(lián)系的條件與向量的目標(biāo)的聯(lián)系的條件與向量的目標(biāo)的聯(lián)系? ? ?lm m mn n ng g gn g m l ,gxmyn ,l gxl myl n 0,0 ,l ml n 0,.l glg 即即,lgll 即即 垂垂直直于于平平面面 內(nèi)內(nèi)任任一一直直線(xiàn)線(xiàn).解解解解解解: : : 在在在在在在 內(nèi)作不與內(nèi)作不與內(nèi)作不與內(nèi)作不與內(nèi)作不與內(nèi)作不與mm m , , ,n n n重合的任一直線(xiàn)重合的任一直線(xiàn)重合的任一直線(xiàn)重合的任一直線(xiàn)重合的任一直線(xiàn)重合的任一直線(xiàn)g g g, , ,在在在在在在 , ,l m n g 上取非零向量上取非零向量上取非零向量上取非零向量上取非零向量上取非零向量 因因因因因因mm m與與與與與與n n n相交相交相交相交相交相交, , ,故向量故向量故向量故向量故向量故向量mm m , , ,n n n, ,l m n g 不平行不平行不平行不平行不平行不平行, , ,由共面向量定理由共面向量定理由共面向量定理由共面向量定理由共面向量定理由共面向量定理, , ,存在唯一實(shí)數(shù)存在唯一實(shí)數(shù)存在唯一實(shí)數(shù)存在唯一實(shí)數(shù)存在唯一實(shí)數(shù)存在唯一實(shí)數(shù) , , ,使使使使使使 ( , )x y例例例例例例: : :已知直線(xiàn)已知直線(xiàn)已知直線(xiàn)已知直線(xiàn)已知直線(xiàn)已知直線(xiàn)mm m , , ,n n n是平面是平面是平面是平面是平面是平面 內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)內(nèi)的兩條相交直線(xiàn), , ,如果如果如果如果如果如果 mm m, , , n n n, , ,求證求證求證求證求證求證: : : . . .lll 11110 00 01111例例：如如圖圖，在在直直三三棱棱柱柱- -中中，=90=90 ，=30=30 ，=1=1，= 6= 6，是是棱棱的的中中點(diǎn)點(diǎn)。求求證證：。ABC A B CACBBACBCA AMCCA BAM B B BC C CC C C1 1 1A A A1 1 1B B B1 1 1A A AMMM111111121() ()1102212A B AMA AABACCMA A ACA A CMAB ACAB CMA AAAAB ACABCCA AAB AC 20113cos30623022A BAM 11111111100ABC A B CAAABCCCABCAAABCCABAAABCCAB 證證明明：- -是是直直三三棱棱柱柱，平平面面，平平面面， 00190 ,3023Rt ABCBCACBBACABAC中中，ABCD A B C DCDDCOAOAOCD 1 1、已已知知正正方方體體- -，和和相相交交于于點(diǎn)點(diǎn) ，連連接接，求求證證：練練習(xí)習(xí)：2、已已知知在在空空間間四四邊邊形形中中，求求證證：OABCOABCOBACOCAB 3 3、已已知知空空間間四四邊邊形形的的每每條條邊邊和和對(duì)對(duì)角角線(xiàn)線(xiàn)的的長(zhǎng)長(zhǎng)都都等等于于 ，點(diǎn)點(diǎn)、分分別別是是邊邊、的的中中點(diǎn)點(diǎn)。求求證證：，。ABCDaMNABCDMNABMNCD4 4、已已知知空空間間四四邊邊形形，求求證證：OABCOBOCAOBAOCOABC ODCBADABC1 1、如如圖圖，已已知知正正方方體體- -，和和相相交交于于點(diǎn)點(diǎn) ，連連接接，求求證證：ABCD A B C DCDDCOAOAOCD ()1()+CD 2 = 00AO CDADDOCDD CDDO CD = ADCDDDDCAD CDAD DD AOCD 練練習(xí)習(xí)：證證明明：OABCOBAC 證證明明：由由已已知知，A A A A A AB B B B B BC C C C C CO O O O O O 0000OA BC =,OB AC =OA (OCOB )=OB (OCOA)= 所所以以O(shè)A OC = OA OBOB OC = OB OA 所所以以000OA OCOB OC =( OAOB ) OC =BA OC = 所所以以O(shè)CAB 所所 以以2、已已知知在在空空間間四四邊邊形形中中，求求證證：OABCOABCOBACOCAB NMABDC證明：因?yàn)樽C明：因?yàn)樽C明：因?yàn)樽C明：因?yàn)樽C明：因?yàn)樽C明：因?yàn)镸NMAADDN 所以所以所以所以所以所以222()1110244AB MNAB MAADDNAB MAAB ADAB DNaaa MNAB同理，同理，同理，同理，同理，同理，MNCD 3 3、已已知知空空間間四四邊邊形形的的每每條條邊邊和和對(duì)對(duì)角角線(xiàn)線(xiàn)的的長(zhǎng)長(zhǎng)都都等等于于 ，點(diǎn)點(diǎn)、分分別別是是邊邊、的的中中點(diǎn)點(diǎn)。求求證證：，。ABCDaMNABCDMNABMNCDOACB()| |cos| |cos| |cos證證明明：因因?yàn)闉镺A BCOA OCOBOA OCOA OBOAOCOAOBOAOB | |cos0OAOB OABC4 4、已已知知空空間間四四邊邊形形，求求證證：OABCOBOCAOBAOCOABC 小小小小小小 結(jié)：結(jié)：結(jié)：結(jié)：結(jié)：結(jié)： 通過(guò)學(xué)習(xí)通過(guò)學(xué)習(xí)通過(guò)學(xué)習(xí)通過(guò)學(xué)習(xí)通過(guò)學(xué)習(xí)通過(guò)學(xué)習(xí), , , , , ,體會(huì)到我們可以利用向量數(shù)量積解決立體體會(huì)到我們可以利用向量數(shù)量積解決立體體會(huì)到我們可以利用向量數(shù)量積解決立體體會(huì)到我們可以利用向量數(shù)量積解決立體體會(huì)到我們可以利用向量數(shù)量積解決立體體會(huì)到我們可以利用向量數(shù)量積解決立體幾何中的以下問(wèn)題：幾何中的以下問(wèn)題：幾何中的以下問(wèn)題：幾何中的以下問(wèn)題：幾何中的以下問(wèn)題：幾何中的以下問(wèn)題： 1 1 1 1 1 1、證明兩直線(xiàn)垂直、證明兩直線(xiàn)垂直、證明兩直線(xiàn)垂直、證明兩直線(xiàn)垂直、證明兩直線(xiàn)垂直、證明兩直線(xiàn)垂直; ; ; ; ; ; 2 2 2 2 2 2、求兩點(diǎn)之間的距離或線(xiàn)段長(zhǎng)度、求兩點(diǎn)之間的距離或線(xiàn)段長(zhǎng)度、求兩點(diǎn)之間的距離或線(xiàn)段長(zhǎng)度、求兩點(diǎn)之間的距離或線(xiàn)段長(zhǎng)度、求兩點(diǎn)之間的距離或線(xiàn)段長(zhǎng)度、求兩點(diǎn)之間的距離或線(xiàn)段長(zhǎng)度; ; ; ; ; ;（3 3 3 3 3 3、證明線(xiàn)面垂直、證明線(xiàn)面垂直、證明線(xiàn)面垂直、證明線(xiàn)面垂直、證明線(xiàn)面垂直、證明線(xiàn)面垂直; ; ; ; ; ;） 4 4 4 4 4 4、求兩直線(xiàn)所成角的余弦值等等、求兩直線(xiàn)所成角的余弦值等等、求兩直線(xiàn)所成角的余弦值等等、求兩直線(xiàn)所成角的余弦值等等、求兩直線(xiàn)所成角的余弦值等等、求兩直線(xiàn)所成角的余弦值等等. . . . . .