1 1 2棱柱 棱錐和棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征 第一章 1 1空間幾何體 學(xué)習(xí)目標(biāo)1 認(rèn)識(shí)組成我們生活世界的各種各樣的多面體 2 認(rèn)識(shí)和把握棱柱 棱錐 棱臺(tái)的幾何結(jié)構(gòu)特征 3 了解多面體可按哪些不同的標(biāo)準(zhǔn)分類 可以分成哪些類別 問題導(dǎo)學(xué) 達(dá)標(biāo)檢測(cè) 題型探究 內(nèi)容索引 問題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一多面體 多面體的有關(guān)概念 1 多面體 由若干個(gè)所圍成的幾何體 2 多面體的相關(guān)概念 面 圍成多面體的 棱 相鄰的兩個(gè)面的 頂點(diǎn) 棱和棱的 對(duì)角線 連接的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段 截面 一個(gè)幾何體和一個(gè)平面相交所得到的平面圖形 包含它的內(nèi)部 3 凸多面體 把一個(gè)多面體的任意一個(gè)面延展為平面 如果其余的各面 則這樣的多面體就叫做凸多面體 平面多邊形 各個(gè)多邊形 公共邊 公共點(diǎn) 不在同一個(gè)面上 都在這個(gè)平面的同一側(cè) 知識(shí)點(diǎn)二棱柱 1 棱柱的定義及表示 互相平行 每相鄰兩個(gè)面的交線 ABCDE A B C D E AC 2 棱柱的分類 1 按底面多邊形的邊數(shù) 3 特殊的四棱柱 知識(shí)點(diǎn)三棱錐 1 棱錐的定義及表示 有一個(gè)公共頂點(diǎn) S ABCD S AC 多邊形 2 棱錐的分類 1 按底面多邊形的邊數(shù) 過底面中心 且與底面垂直 正多邊形 知識(shí)點(diǎn)四棱臺(tái) 1 棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征及分類 截面 底面 平行于 底面的平面 ABC A B C 2 特殊的棱臺(tái)正棱臺(tái) 由截得的棱臺(tái) 正棱錐 思考辨析判斷正誤 1 棱柱的側(cè)面都是平行四邊形 2 有一個(gè)面是多邊形 其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐 3 夾在兩個(gè)平行的平面之間 其余面都是梯形 這樣的幾何體一定是棱臺(tái) 題型探究 例1 1 下列命題中正確的是A 棱柱的面中 至少有兩個(gè)面互相平行B 棱柱中兩個(gè)互相平行的平面一定是棱柱的底面C 在平行六面體中 任意兩個(gè)相對(duì)的面均互相平行 但平行六面體的任意兩個(gè)相對(duì)的面不一定可當(dāng)作它的底面D 棱柱的側(cè)面是平行四邊形 但它的底面一定不是平行四邊形 類型一棱柱 棱錐 棱臺(tái)的有關(guān)概念 解析正四棱柱中兩個(gè)相對(duì)側(cè)面互相平行 故B錯(cuò) 平行六面體的任意兩個(gè)相對(duì)面可作底面 故C錯(cuò) 棱柱的底面可以是平行四邊形 故D錯(cuò) 答案 解析 2 下列說法正確的序號(hào)是 棱錐的側(cè)面不一定是三角形 棱錐的各側(cè)棱長(zhǎng)一定相等 棱臺(tái)的各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn) 有兩個(gè)面互相平行且相似 其余各面都是梯形 則此幾何體是棱臺(tái) 解析棱錐的側(cè)面是有公共頂點(diǎn)的三角形 但是各側(cè)棱不一定相等 故 不正確 棱臺(tái)是由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到的 故各個(gè)側(cè)棱的延長(zhǎng)線一定交于一點(diǎn) 正確 棱臺(tái)的各條側(cè)棱必須交于一點(diǎn) 故 不正確 答案 解析 反思與感悟棱柱 棱錐 棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征 1 棱柱有兩個(gè)主要結(jié)構(gòu)特征 一是有兩個(gè)面互相平行 二是各側(cè)棱都平行 各側(cè)面都是平行四邊形 2 棱錐有兩個(gè)主要結(jié)構(gòu)特征 一是有一個(gè)面是多邊形 二是其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形 3 棱臺(tái)的上 下底面平行且相似 各側(cè)棱延長(zhǎng)交于一點(diǎn) 跟蹤訓(xùn)練1 1 下列命題 各側(cè)面為矩形的棱柱是長(zhǎng)方體 直四棱柱是長(zhǎng)方體 側(cè)棱與底面垂直的棱柱是直棱柱 各側(cè)面是矩形的直四棱柱為正四棱柱 其中正確的是 填序號(hào) 解析 中一定為直棱柱但不一定是長(zhǎng)方體 直四棱柱的底面可以是任意的四邊形 不一定是矩形 符合直棱柱的定義 中的棱柱為一般直棱柱 它的底面不一定為正方形 答案 解析 2 下列命題 各個(gè)側(cè)面是等腰三角形的四棱錐是正四棱錐 底面是正多邊形的棱錐是正棱錐 棱錐的所有側(cè)面可以都是直角三角形 四棱錐的側(cè)面中最多有四個(gè)直角三角形 棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)都相等 其中正確的命題有 填序號(hào) 答案 解析 解析在四棱錐P ABCD中 PA PB PC PD 底面ABCD為矩形 但不一定是正方形 這樣的棱錐就不是正四棱錐 因此 錯(cuò)誤 底面是正多邊形 但側(cè)棱長(zhǎng)不一定都相等 這樣的棱錐也不一定是正棱錐 故 錯(cuò)誤 在三棱錐P ABC中 PA垂直于平面ABC ABC 90 則此三棱錐的所有側(cè)面都是直角三角形 故 正確 在四棱錐P ABCD中 PA垂直于平面ABCD 四邊形ABCD為矩形 故 正確 棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)不一定都相等 故 錯(cuò)誤 類型二簡(jiǎn)單幾何體中的計(jì)算問題 解答 解作出正三棱錐如圖 SO為其高 連接AO 作OD AB于點(diǎn)D 則點(diǎn)D為AB的中點(diǎn) 例2正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為3 側(cè)棱長(zhǎng)為 求正三棱錐的高 引申探究1 若本例條件不變 求正三棱錐的斜高 解答 解作出正三棱錐如圖 取AB的中點(diǎn)E 連接SE 則SE為該正三棱錐的斜高 2 若將本例中 正三棱錐 改為 正四棱錐 其他條件不變 求正四棱錐的高 解答 解如圖 在正四棱錐S ABCD中 AB BC CD DA 3 反思與感悟 1 正棱錐中直角三角形的應(yīng)用已知正棱錐如圖 以正四棱錐為例 其高為PO 底面為正方形 作PE CD于點(diǎn)E 則PE為斜高 斜高 側(cè)棱構(gòu)成直角三角形 如圖中Rt PEC 斜高 高構(gòu)成直角三角形 如圖中Rt POE 側(cè)棱 高構(gòu)成直角三角形 如圖中Rt POC 2 正棱臺(tái)中直角梯形的應(yīng)用已知正棱臺(tái)如圖 以正四棱臺(tái)為例 O1 O分別為上 下底面中心 作O1E1 B1C1于點(diǎn)E1 OE BC于點(diǎn)E 則E1E為斜高 斜高 側(cè)棱構(gòu)成直角梯形 如圖中梯形E1ECC1 斜高 高構(gòu)成直角梯形 如圖中梯形O1E1EO 高 側(cè)棱構(gòu)成直角梯形 如圖中梯形O1OCC1 跟蹤訓(xùn)練2已知正四棱臺(tái)的上 下底面面積分別為4 16 一側(cè)面面積為12 分別求該棱臺(tái)的斜高 高 側(cè)棱長(zhǎng) 解答 解如圖 設(shè)O O分別為上 下底面的中心 即OO 為正四棱臺(tái)的高 E F分別為B C BC的中點(diǎn) EF B C 即EF為斜高 由上底面面積為4 上底面為正方形 可得B C 2 同理 BC 4 四邊形BCC B 的面積為12 EF 4 過B 作B H BC交BC于H 則BH BF B E 2 1 1 B H EF 4 類型三多面體的展開圖 解答 解沿著側(cè)棱VA把正三棱錐V ABC展開在一個(gè)平面內(nèi) 如圖 則AA 的長(zhǎng)即為截面 AEF周長(zhǎng)的最小值 且 AVA 3 40 120 例3如圖 在側(cè)棱長(zhǎng)為的正三棱錐V ABC中 AVB BVC CVA 40 過點(diǎn)A作截面 AEF 求截面 AEF周長(zhǎng)的最小值 故截面 AEF周長(zhǎng)的最小值為6 反思與感悟求幾何體表面上兩點(diǎn)間的最小距離 1 將幾何體沿著某棱剪開后展開 畫出其側(cè)面展開圖 2 將所求曲線問題轉(zhuǎn)化為平面上的線段問題 3 結(jié)合已知條件求得結(jié)果 跟蹤訓(xùn)練3如圖所示 在正三棱柱ABC A1B1C1中 AB 2 AA1 2 由頂點(diǎn)B沿棱柱側(cè)面 經(jīng)過棱AA1 到達(dá)頂點(diǎn)C1 與AA1的交點(diǎn)記為M 則從點(diǎn)B經(jīng)點(diǎn)M到C1的最短路線長(zhǎng)為 解析沿側(cè)棱BB1將正三棱柱的側(cè)面展開 得到一個(gè)矩形BB1B1 B 如圖 由側(cè)面展開圖可知 當(dāng)B M C1三點(diǎn)共線時(shí) 從點(diǎn)B經(jīng)過M到達(dá)C1的路線最短 解析 答案 達(dá)標(biāo)檢測(cè) 答案 1 觀察如圖所示的四個(gè)幾何體 其中判斷不正確的是A 是棱柱B 不是棱錐C 不是棱錐D 是棱臺(tái) 1 2 3 4 5 解析 解析結(jié)合棱柱 棱錐 棱臺(tái)的定義可知 是棱柱 是棱錐 是棱臺(tái) 不是棱錐 故B錯(cuò)誤 2 下列說法中 正確的是A 有一個(gè)底面為多邊形 其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形 由這些面所圍成的幾何體是棱錐B 用一個(gè)平面去截棱錐 棱錐底面與截面之間的部分是棱臺(tái)C 棱柱的側(cè)面都是平行四邊形 而底面不是平行四邊形D 棱柱的側(cè)棱都相等 側(cè)面都是全等的平行四邊形 1 2 3 4 5 答案 解析 解析B錯(cuò) 截面與底面平行時(shí)才能得棱臺(tái) C錯(cuò) 棱柱底面可能是平行四邊形 D錯(cuò) 棱柱側(cè)面的平行四邊形不一定全等 如長(zhǎng)方體 1 2 3 3 下列說法錯(cuò)誤的是A 多面體至少有四個(gè)面B 九棱柱有9條側(cè)棱 9個(gè)側(cè)面 側(cè)面為平行四邊形C 長(zhǎng)方體 正方體都是棱柱D 三棱柱的側(cè)面為三角形 4 5 答案 解析 解析由于三棱柱的側(cè)面為平行四邊形 故D錯(cuò) 1 2 3 4 5 4 正四棱錐S ABCD的所有棱長(zhǎng)都等于a 過不相鄰的兩條側(cè)棱作截面SAC 則截面面積為 答案 解析 則有SA2 SC2 AC2 ASC 90 1 2 3 4 5 5 對(duì)棱柱而言 下列說法正確的是 填序號(hào) 有兩個(gè)平面互相平行 其余各面都是平行四邊形 所有的棱長(zhǎng)都相等 棱柱中至少有2個(gè)面的形狀完全相同 相鄰兩個(gè)面的交線叫做側(cè)棱 答案 解析 解析 正確 根據(jù)棱柱的定義可知 錯(cuò)誤 因?yàn)閭?cè)棱與底面上棱長(zhǎng)不一定相等 正確 根據(jù)棱柱的特征知 棱柱中上下兩個(gè)底面一定是全等的 棱柱中至少有兩個(gè)面的形狀完全相同 錯(cuò)誤 因?yàn)榈酌婧蛡?cè)面的交線不是側(cè)棱 1 在理解的基礎(chǔ)上 要牢記棱柱 棱錐 棱臺(tái)的定義 能夠根據(jù)定義判斷幾何體的形狀 2 1 各種棱柱之間的關(guān)系 棱柱的分類 規(guī)律與方法 常見的幾種四棱柱之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系 2 棱柱 棱錐 棱臺(tái)在結(jié)構(gòu)上既有區(qū)別又有聯(lián)系 具體見下表