專題八數(shù)學思想方法高考數(shù)學以能力立意，一是考查數(shù)學的基礎(chǔ)知識，基本技能；二是考查基本數(shù)學思想方法，考查數(shù)學思維的深度、廣度和寬度，數(shù)學思想方法是指從數(shù)學的角度來認識、處理和解決問題，是數(shù)學意識，是數(shù)學技能的升華和提高，中學數(shù)學思想主要有函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想欄目索引 函數(shù)與方程思想一一 數(shù)形結(jié)合思想二二 分類與整合思想三三 轉(zhuǎn)化與化歸思想四四 一、函數(shù)與方程思想函數(shù)思想方程思想函數(shù)思想的實質(zhì)是拋開所研究對象的非數(shù)學特征，用聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學對象，抽象其數(shù)學特征，建立各變量之間固有的函數(shù)關(guān)系，通過函數(shù)形式，利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，使問題得到解決方程思想的實質(zhì)就是將所求的量設(shè)成未知數(shù)，根據(jù)題中的等量關(guān)系，列方程(組)，通過解方程(組)或?qū)Ψ匠?組)進行研究，以求得問題的解決函數(shù)與方程思想在一定的條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的，是相輔相成的函數(shù)思想重在對問題進行動態(tài)的研究，方程思想則是在動中求解，研究運動中的等量關(guān)系例1(1)把一段長16的鐵絲截成兩段，分別圍成兩個正方形，則這兩個正方形面積之和的最小值為_8故當x8時，ymin8.即圍成的兩個正方形面積之和的最小值為8.解析答案思維升華答案解析解析所以b2c23a2c24a2b2，所以(a2c2)c23a2c24a2(a2c2)，所以c48a2c24a40，所以e48e240，思維升華函數(shù)與方程思想在解題中的應用(1)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，對函數(shù)yf(x)，當y0時，就化為不等式f(x)0，借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式(2)數(shù)列的通項與前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點去處理數(shù)列問題十分重要(3)解析幾何中的許多問題，需要通過解二元方程組才能解決這都涉及二次方程與二次函數(shù)有關(guān)理論(4)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運用列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決思維升華跟蹤演練1(1)若函數(shù)f(x)在R上可導，且滿足f(x)”“”“”)解析解析由于f(x)0，0，)在一個周期內(nèi)的圖象，則此函數(shù)的解析式是_解析解析依函數(shù)圖象，知y的最大值為2，所以A2.所以2，所以y2sin(2x)解析答案二、數(shù)形結(jié)合思想以形助數(shù)(數(shù)題形解)以數(shù)輔形(形題數(shù)解)借助形的生動性和直觀性來闡述數(shù)之間的關(guān)系，把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，即以形作為手段，數(shù)作為目的解決數(shù)學問題的數(shù)學思想借助于數(shù)的精確性和規(guī)范性及嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的解決問題的數(shù)學思想數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)，它是數(shù)學的規(guī)律性與靈活性的有機結(jié)合例2(1)(2015湖南)若函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是_(0,2)解析解析由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b.在同一平面直角坐標系中畫出y|2x2|與yb的圖象，如圖所示則當0b2時，兩函數(shù)圖象有兩個交點，從而函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個零點解析答案思維升華答案解析思維升華數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應用(1)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍或解不等式(2)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根或函數(shù)的零點的范圍(3)構(gòu)建解析幾何模型求最值或范圍(4)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系思維升華跟蹤演練跟蹤演練2(1)已知奇函數(shù)f(x)的定義域是x|x0，xR，且在(0，)上單調(diào)遞增，若f(1)0，則滿足xf(x)0的x的取值范圍是_解析解析作出符合條件的一個函數(shù)圖象草圖即可，由圖可知xf(x)0，所以2a11無解；若a1，則log2(a1)3，解得a18，a7，解析答案思維升華若F2PF190，解析答案分類與整合思想在解題中的應用(1)由數(shù)學概念引起的分類有的概念本身是分類的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等(2)由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論有的定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項和公式、函數(shù)的單調(diào)性等(3)由數(shù)學運算和字母參數(shù)變化引起的分類如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負，對數(shù)真數(shù)與底數(shù)的限制，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)、負數(shù)，三角函數(shù)的定義域等(4)由圖形的不確定性引起的分類討論有的圖形類型、位置需要分類：如角的終邊所在的象限；點、線、面的位置關(guān)系等思維升華解析解析因為m是2和8的等比中項，所以m22816，所以m4.解析答案返回(2)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，前n項和Sn0(n1,2,3，)，則q的取值范圍是_解析解析因為an是等比數(shù)列，Sn0，可得a1S10，q0.當q1時，Snna10；(1,0)(0，)由得1q1.故q的取值范圍是(1,0)(0，)解析答案四、轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進而得到解決的一種方法一般總是將復雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題解析解析f(x)3x22tx3，由于f(x)在區(qū)間1,4上單調(diào)遞減，則有f(x)0在1,4上恒成立，即3x22tx30，例4(1)若函數(shù)f(x)x3tx23x在區(qū)間1,4上單調(diào)遞減，則實數(shù)t的取值范圍是_解析答案思維升華解析解析1,2是方程ax2bx20的兩實根，(2)定義運算：(ab)xax2bx2，若關(guān)于x的不等式(ab)x0的解集為x|1x2，則關(guān)于x的不等式(ba)x0的解集為_由(31)x3x2x20，解析答案轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應用(1)在三角函數(shù)中，涉及到三角式的變形，一般通過轉(zhuǎn)化與化歸將復雜的三角問題轉(zhuǎn)化為已知或易解的三角問題，以起到化暗為明的作用，主要的方法有公式的“三用”(順用、逆用、變形用)、角度的轉(zhuǎn)化、函數(shù)的轉(zhuǎn)化等(2)換元法：是將一個復雜的或陌生的函數(shù)、方程、不等式轉(zhuǎn)化為簡單的或熟悉的函數(shù)、方程、不等式的一種重要的方法(3)在解決平面向量與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等知識的交匯題目時，常將平面向量語言與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何語言進行轉(zhuǎn)化思維升華思維升華(4)在解決數(shù)列問題時，常將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求解(5)在利用導數(shù)研究函數(shù)問題時，常將函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)、切線問題，轉(zhuǎn)化為其導函數(shù)f(x)構(gòu)成的方程、不等式問題求解(6)在解決解析幾何、立體幾何問題時，常常在數(shù)與形之間進行轉(zhuǎn)化答案解析解析解析g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在區(qū)間(t,3)上總為單調(diào)函數(shù)，則g(x)0在(t,3)上恒成立，或g(x)0在(t,3)上恒成立由得3x2(m4)x20，返回4所以a(t1)2min4，故a的最大值是4.解析答案