第5講 指數(shù)式與指數(shù)函數(shù)考綱要求考點分布考情風向標1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景2.理解有理指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算3.理解指數(shù)函數(shù)的概 念，理解指數(shù)函數(shù)的單調性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點4.知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型2012年新課標卷第11題考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質；2014年新課標卷第15題以分段函數(shù)為背景，考查指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調性；2015年新課標卷第10題以分段函數(shù)為背景，考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的求值1.熟練掌握指數(shù)的運算是學好該部分知識的基礎，較高的運算能力是高考得分的保障，所以熟練掌握這一基本技能是重中之重2.本節(jié)復習，還應結合具體實例了解指數(shù)函數(shù)的模型，利用圖象掌握指數(shù)函數(shù)的性質重點解決：(1)指數(shù)冪的運算；(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質1分數(shù)指數(shù)冪正分數(shù)指數(shù)冪正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪(a0，m，nN*，且n1)0的正分數(shù)指數(shù)冪0負分數(shù)指數(shù)冪正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪 (a0，m，nN*，且n1)0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(1)aras_.(2)(ar)sars.(3)(ab)r_(a0，b0，r，sQ)mnamna=mna=1mnaars arbr指數(shù)函數(shù)yax(0a1)(0,1)減函數(shù)0y11下列根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化中，正確的是()2已知函數(shù) f(x)4ax1(a0，且 a1)的圖象恒過定點P，則點 P 的坐標是()AA(1,5)B(1,4)C(0,4)D(4,0)C3(2015 年廣東深圳一模)若函數(shù) yaxb 的部分圖象如圖2-5-1，則()A圖 2-5-1A0a1，1b0B0a1，0b1Ca1，1b0Da1，0b14(2013 年上海)方程 解析：由93x113x 的實數(shù)解為_.93x 113x，得 93x1(3x)23x，(3x)223x80，(3x4)(3x2)0，得3x4，xlog34.xlog34考點 1 指數(shù)冪運算例 1：計算：思維點撥：根式的形式通常寫成分數(shù)指數(shù)冪后再進行運算【規(guī)律方法】由于冪的運算性質都是以指數(shù)式的形式給出的，所以對既有根式又有指數(shù)式的代數(shù)式進行化簡時，要先將含有根號和分數(shù)指數(shù)冪.根式化成指數(shù)式的形式，依據(jù)為 ，注意結果不要同時mnanma【互動探究】1若 x0，則(2x14332)(2x14332)4x12(xx12)_. 23考點 2 指數(shù)函數(shù)的圖象例 2：已知實數(shù) a，b 滿足等式 ，下列五個關系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的關系式有()A1 個B2 個C3 個D4 個解析：在同一直角坐標系中作出函數(shù) y ，y 的圖象，如圖 D2.圖 D213x12x答案：B(0a0，a1)在1,2上的最大值為 4，則其在1,2上的最小值為_.思想與方法 分類討論與數(shù)形結合思想的應用例題：(1)函數(shù) f(x)ax(a0，且 a1)在1,2上的最大值比(2)若關于 x 的方程|ax1|2a(a0，且 a1)有兩個不相等)的實根，則實數(shù) a 的取值范圍是(A(0,1)(1，)B(0,1)C(1，)D10,2與y|ax1|的圖象有兩個交點，應有2a1，0a1 時，如圖2-5-2(1)為 y|ax1|的圖象，與y2a 顯然無兩個交點；當0a0 且 a1，對于指數(shù)函數(shù)的底數(shù) a，在不清楚其取值范圍時，應運用分類討論的數(shù)學思想，分 a1 和 0a0，且 a1)的圖象，應抓住三個關鍵點：(1，a)，(0，1)，到其他圖象.11,a1分數(shù)指數(shù)冪的定義揭示了分數(shù)指數(shù)冪與根式的關系，因此根式的運算可以先轉化成分數(shù)指數(shù)冪的形式再運算，依據(jù)為要注意運算的順序2判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問題，可以先通過令x1 得到底數(shù)的值再進行比較3比較兩個指數(shù)冪大小時，盡量化同底或同指，當?shù)讛?shù)相同，指數(shù)不同時，構造同一指數(shù)函數(shù)，然后比較大小；當指數(shù)相同，底數(shù)不同時，構造兩個指數(shù)函數(shù)，利用圖象比較大小4指數(shù)函數(shù) yax(a0，且 a1)的單調性和底數(shù) a 有關，當?shù)讛?shù) a 與 1 的大小關系不確定時應注意分類討論5與指數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)的單調性，要弄清復合函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復合而成；而與其有關的最值問題，往往轉化為二次函數(shù)的最值問題