2 2 1三角形中的幾何計(jì)算 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1 會(huì)用正 余弦定理解決與三角形有關(guān)的幾何計(jì)算問(wèn)題 2 培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題 獨(dú)立解決問(wèn)題的能力 并激發(fā)學(xué)生的探索精神 知識(shí)回顧 導(dǎo) A B 鈍角三角形 直角三角形 銳角三角形 知識(shí)回顧 A B 思 例1 如圖 在梯形ABCD中 AD BC AB 5 AC 9 BCA 30O ADB 45O 求BD的長(zhǎng) 解在 ABC中 AD BC AB 5 AC 9 BCA 30O 由正弦定理 得 因?yàn)锳D BC 所以 BAD 180O ABC 于是 探究一 議 展 同理 在 ABD中 AB 5 ADB 45O 解得 答B(yǎng)D的長(zhǎng)為 例2一次機(jī)器人足球比賽中 甲隊(duì)1號(hào)機(jī)器由點(diǎn)A開(kāi)始作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng) 到達(dá)B點(diǎn)時(shí) 發(fā)現(xiàn)足球在點(diǎn)D處正以2倍于自己的速度向點(diǎn)A作勻速直線(xiàn)滾動(dòng) 如圖 已知若忽略機(jī)器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時(shí)間 則該機(jī)器人最快可在何處截住足球 分析機(jī)器人最快截住足球的地方正是機(jī)器人與足球同時(shí)到達(dá)的地方 設(shè)為C點(diǎn) 利用速度建立AC與BC之間的關(guān)系 再利用余弦定理便可建立方程解決問(wèn)題 議 展 探究二 解 設(shè)機(jī)器人最快可在C處截住足球 點(diǎn)C在線(xiàn)段AD上 設(shè)BC xdm 由題意 CD 2xdm C AC AD CD 17 2x dm 在 BCD中 由余弦定理 得 即 解得 所以 不合題意 舍去 答該機(jī)器人最快可在線(xiàn)段AD上離點(diǎn)A7dm的點(diǎn)C處截住足球 例3如圖 已知 O的半徑是1 點(diǎn)C在直徑AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上 BC 1 點(diǎn)P是 O上半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 以PC為邊作等邊三角形PCD 且點(diǎn)D與圓心分別在PC的兩側(cè) 1 若 POB 試將四邊形OPDC的面積y表示成 的函數(shù) 2 求四邊形OPDC面積的最大值 分析四邊形OPDC可以分成 OPC與 PCD S OPC可用表示 而求 PCD的面積的關(guān)鍵在于求出邊長(zhǎng)PC 在 OPC中利用余弦定理即可求出 面積最值 可通過(guò)函數(shù)解決 議 展 探究三 解 1 在 POC中 由余弦定理 得 所以 2 當(dāng) 時(shí) 1 如圖 在四邊形ABCD中 已知AD CD AD 10 AB 14 BDA 60 BCD 135 求BC的長(zhǎng) 檢 解析 在 ABD中 設(shè)BD x 則BA2 BD2 AD2 2BD AD cos BDA 即142 x2 102 2 10 x cos60 x2 10 x 96 0 解得x1 16 x2 6 舍去 由正弦定理得BC 8 2 如圖所示 在平面四邊形ABCD中 AB AD 1 BAD BCD是正三角形 1 將四邊形ABCD的面積S表示為 的函數(shù) 2 求S的最大值及此時(shí) 角的值 檢 例3已知 ABC的內(nèi)角A B C的對(duì)邊分別為a b c asinA csinC asinC bsinB 1 求角B 2 若A 75 b 2 求a c 檢 解析 1 由正弦定理得a2 c2 ac b2 由余弦定理得b2 a2 c2 2accosB 故cosB 又B為三角形的內(nèi)角 因此B 45 2 sinA sin 30 45 sin30 cos45 cos30 sin45 故a 由三角形內(nèi)角和定理知C 180 A B 60 c 課堂小結(jié) 1 正弦定理 余弦定理主要用來(lái)解決三角形問(wèn)題 解決時(shí)抓住兩點(diǎn) 合理的運(yùn)用題目中的三角形資源 盡量將所有的條件集中到某個(gè)三角形之中 會(huì)使問(wèn)題更容易解決 2 我們常用正弦定理 余弦定理來(lái)解決三角形問(wèn)題 但在實(shí)際解決問(wèn)題過(guò)程中經(jīng)常遇到四邊形或多邊形 這時(shí)需要通過(guò)適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)將多邊形分割為多個(gè)三角形 從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題來(lái)解決