第3章空間向量與立體幾何欄目索引知識網(wǎng)絡(luò) 整體構(gòu)建要點(diǎn)歸納 主干梳理方法總結(jié) 思想構(gòu)建返回 知識網(wǎng)絡(luò) 整體構(gòu)建1.空間向量的運(yùn)算及運(yùn)算律空間向量加法、減法、數(shù)乘、向量的意義及運(yùn)算律與平面向量類似，空間任意兩個向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為平面向量，兩個向量相加的三角形法則與平行四邊形法則仍然成立.2.兩個向量的數(shù)量積的計算向量的數(shù)量積運(yùn)算要遵循數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，常用于有關(guān)向量相等、兩向量垂直、射影、夾角等問題中.3.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，然后再利用有關(guān)公式計算求解.常用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來證明向量的垂直和平行問題，利用向量的夾角公式和距離公式求解空間角與空間距離的問題. 要點(diǎn)歸納 主干梳理4.空間向量的基本定理說明：用三個不共面的已知向量a，b，c可以線性表示出空間任意一個向量，而且表示的結(jié)果是惟一的.5.利用向量解決幾何問題具有快捷、有效的特征.一般方法如下：先將原問題轉(zhuǎn)化為等價的向量問題，即將已知條件中的角轉(zhuǎn)化為向量的夾角，線段長度轉(zhuǎn)化為向量的模，并用已知向量表示出未知向量，然后利用向量的運(yùn)算解決該向量問題，從而原問題得解.6.利用向量坐標(biāo)解決立體幾何問題的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)位置，建立適當(dāng)、正確的空間直角坐標(biāo)系，難點(diǎn)是在已建好的坐標(biāo)系中表示出已知點(diǎn)的坐標(biāo)，只有正確表示出已知點(diǎn)的坐標(biāo)，才能通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，實現(xiàn)幾何問題的代數(shù)化解法.返回1.數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想就是把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀圖形結(jié)合來思索，抽象思維和形象思維結(jié)合，通過“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題過程的目的.空間向量是既有大小又有方向的量，空間向量本身就具有數(shù)形兼?zhèn)涞奶攸c(diǎn)，因此將立體幾何中的“形”與代數(shù)中的“數(shù)”有機(jī)地結(jié)合在一起，使解答過程順暢、簡捷、有效，提高解題速度. 方法總結(jié) 思想構(gòu)建例1某幾何體ABCA1B1C1的三視圖和直觀圖如圖所示.解析答案(1)求證：A1C平面AB1C1；證明由三視圖可知，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面A1B1C1，B1C1A1C1，且AA1AC4，BC3.解析答案以點(diǎn)C為原點(diǎn)，分別以CA，CB，CC1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.由已知可得A(4,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,0)，A1(4,0,4)，B1(0,3,4)，C1(0,0,4)，CA1C1A，CA1C1B1，又C1AC1B1C1，C1A平面AB1C1，C1B1平面AB1C1，A1C平面AB1C1.(2)求二面角C1AB1C的余弦值.解析答案設(shè)平面AB1C的法向量為n(x，y，z)，跟蹤訓(xùn)練1已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E、F分別是BB1、DD1的中點(diǎn)，求證：(1)FC1平面ADE；解析答案證明建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Dxyz，解析答案設(shè)n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，則有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,0,1)，B1(2，2,2)，令z12，則y11，所以n1(0，1,2).又因為FC1 平面ADE，所以FC1平面ADE.(2)平面ADE平面B1C1F.令z22，得y21，所以n2(0，1,2)，因為n1n2，所以n1n2，所以平面ADE平面B1C1F.解析答案2.轉(zhuǎn)化和化歸思想轉(zhuǎn)化和化歸思想是指在解決數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問題得到解決的一種解題策略.其本質(zhì)含義是：在解決一個問題時人們的眼光并不落在結(jié)論上，而是去尋覓、追溯一些熟知的結(jié)論，由此將問題化繁為簡，化大為小，各個擊破，達(dá)到最終解決問題的目的.解析答案解如圖所示，連結(jié)ED，解析答案EA底面ABCD且FDEA，F(xiàn)D底面ABCD，F(xiàn)DAD，DCAD，F(xiàn)DCDD，F(xiàn)D平面FDC，CD平面FDC，AD平面FDC，解析答案(2)求直線EB與平面ECF所成角的正弦值；解析答案解以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，AD所在的直線為y軸，AE所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示. 由已知可得A(0,0,0)，E(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，F(xiàn)(0,2,1)，設(shè)平面ECF的法向量為n(x，y，z)，取y1，得平面ECF的一個法向量為n(1,1,2)，設(shè)直線EB與平面ECF所成角為，解析答案(3)記線段BC的中點(diǎn)為K，在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)K作一條直線與平面ECF平行，要求保留作圖痕跡，但不要求證明.解如圖所示，取線段CD的中點(diǎn)Q，連結(jié)KQ，直線KQ即為所求. 解析答案解析答案設(shè)平面ABF的法向量n1(x，y，z)，由n1n20知，平面ABF與平面ADF垂直，方程思想是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、不等式)，然后通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解.用空間向量解決立體幾何問題屬于用代數(shù)方法求解，很多時候需引入未知量.3.方程思想解析答案解以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，(2)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE平面PAC，并求出點(diǎn)N到AB的距離和點(diǎn)N到AP的距離.解析答案解由于點(diǎn)N在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x,0，z)，解析答案解析答案跟蹤訓(xùn)練3 如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB4，ACBC3，D為AB的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)C到平面A1ABB1的距離；解由ACBC，D為AB的中點(diǎn)，得CDAB，又CDAA1，AA1ABA，AA1平面A1ABB1，AB平面A1ABB1，故CD平面A1ABB1，(2)若AB1A1C，求二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值.解析答案解如圖，過點(diǎn)D作DD1AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，易知DB，DC，DD1兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，射線DB，DC，DD1分別為x軸，y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz. 解析答案設(shè)平面A1CD的法向量為m(x1，y1，z1)，設(shè)平面C1CD的法向量為n(x2，y2，z2)，取x21，得n(1,0,0)，空間向量的引入為立體幾何問題的解決提供了新的思路，作為解決空間幾何問題的重要工具，對空間向量的考查往往滲透于立體幾何問題解決的過程之中，成為高考必考的熱點(diǎn)之一.(1)對本章的考查的重點(diǎn)是空間線面之間的位置關(guān)系的證明與探究；空間中的線線角、線面角以及二面角的求解；空間中簡單的點(diǎn)點(diǎn)距和點(diǎn)面距的求解.給出位置關(guān)系、角度或距離探求點(diǎn)的存在性問題在近幾年考查中已有體現(xiàn).題目主要以解答題的形式給出，兼顧傳統(tǒng)的立體幾何的求解方法，主要考查空間向量在解決立體幾何中的應(yīng)用，滲透空間向量的基本概念和運(yùn)算.課堂小結(jié)(2)空間向量的引入使空間幾何體也具備了“數(shù)字化”的特征，從而把空間線面關(guān)系的邏輯推理證明與空間角、距離的求解變成了純粹的數(shù)字運(yùn)算問題，降低了思維的難度，成為高考必考的熱點(diǎn).考查的重點(diǎn)是結(jié)合空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征求解空間角與距離，其中二面角是歷年高考命題的熱點(diǎn)，多為解答題.(3)利用向量處理平行和垂直問題，主要是解決立體幾何中有關(guān)垂直和平行判斷的一些命題.對于垂直，主要利用abab0進(jìn)行證明.對于平行，一般是利用共線向量和共面向量定理進(jìn)行證明.利用向量處理角度的問題，利用向量求空間角(線線角、線面角、二面角)，其一般方法是將所求的角轉(zhuǎn)化為求兩個向量的夾角，而求兩個向量的夾角則可以利用公式cos 進(jìn)行計算.返回