《高等數(shù)學(xué)備課教案：第十一章 曲線積分與曲面積分 第二節(jié)第二類曲線積分》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)備課教案：第十一章 曲線積分與曲面積分 第二節(jié)第二類曲線積分（5頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二節(jié) 第二類曲線積分 分布圖示 ★ 引例 變力沿曲線所作的功 ★ 第二類曲線積分的概念 ★ 空間曲線弧上的第二類曲線積分 ★ 第二類曲線積分的性質(zhì) ★ 第二類曲線積分的計(jì)算 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 課堂練習(xí) ★ 習(xí)題11—2 ★ 返回 內(nèi)容要點(diǎn) 一、引例：設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)在面內(nèi)從點(diǎn)沿光滑曲線弧移動(dòng)到點(diǎn),在移動(dòng)過程中，這質(zhì)點(diǎn)受到力 (2.1) 的作用，其中，在上連續(xù). 試計(jì)算在上述移動(dòng)過程中變力所作的功. 二、 第二類曲線積分的定義與性質(zhì)： 平面上的第二類曲

2、線積分在實(shí)際應(yīng)用中常出現(xiàn)的形式是 性質(zhì)1 設(shè)L是有向曲線弧, 是與L方向相反的有向曲線弧，則 ； 即第二類曲線積分與積分弧段的方向有關(guān). 性質(zhì)2 如設(shè)由和兩段光滑曲線組成，則 . 三、第二類曲線積分的計(jì)算： . (2.9) 如果曲線的方程為 起點(diǎn)為a, 終點(diǎn)為b，則 如果曲線的方程為 起點(diǎn)為c, 終點(diǎn)為d，則 例題選講 第二類曲線積分的計(jì)算 例1（E01）計(jì)算的值, 其中L分別為圖10-2-3中的路徑: (1) 從到的直線; (2) 從到再從到的折線; (3) 從沿拋物線到 解 連接兩點(diǎn)的直線方程為對應(yīng)于的方向,從變到 所以

3、 (2) 從到的直線為從變到且又從到的直線為 從變到，且于是 (3) 化為對的定積分, 從變到1，于是 注: 本例表明,即使被積函數(shù)相同,起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同,但沿不同的積分路徑的積分結(jié)果并不相等. 例2（E02）計(jì)算其中L為曲線上從到的一段弧（圖10-2-4）. 解 (1) 化為對的定積分, (2) 化為對的定積分, 從變到1. 注: 易見化為對的定積分計(jì)算較為簡單. 例3 計(jì)算，其中分別為圖10-2-5中的路線： (1) 直線； (2) 拋物線：； (3) 折線. 解 (1) 直線的方程為對于的方

4、向,參數(shù)從變到1， 于是 (2) 拋物線的方程為對于的方向,參數(shù)從1變到2,于是 (3) 在折線中，從1變到 2; 從1 變到 3. 注: 本例表明,如果被積函數(shù)相同,起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同,沿著不同積分路徑的積分結(jié)果也可能相等. 例4（E03）計(jì)算為點(diǎn)至點(diǎn)的空間有向線段. 解 直線的方程為改寫為參數(shù)方程為 對應(yīng)著起點(diǎn)，對應(yīng)著終點(diǎn) 于是 例5（E04）求質(zhì)點(diǎn)在力的作用下沿著曲線（圖10-2-6） 從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)所作的功. 解 注意到對于的方向, 參數(shù)從變到所以 課堂練習(xí) 1.計(jì)算其中L為與x軸所圍的閉曲線, 依順時(shí)針方向. 2. 計(jì)算其中是從點(diǎn)A(3, 2, 1)到點(diǎn)B(0, 0, 0)的直線段AB.