第八節(jié) 點函數(shù)的積分概念 迄今為止, 我們先后學習了定積分、二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分等多種不同類型的積分. 在學習過程中, 我們也注意到上述各類積分在定義與性質的表述上相當類似,那么是否可從上述積分概念中抽象出一種統(tǒng)一的積分概念的表述, 使得上述各類積分都是它的一種特殊情形呢? 這個問題的答案是肯定的. 由此要引入點函數(shù)積分的概念. 分布圖示 ★ 引 言 ★ 點函數(shù)積分的概念 ★ 點函數(shù)積分的性質 ★ 點函數(shù)積分的分類及其關系 ★ 返回 內容要點 點函數(shù)積分的概念 點函數(shù)積分的性質 點函數(shù)積分的分類及其關系 一、點函數(shù)積分的概念 定義1 設為有界閉區(qū)域, 函數(shù)為上的有界點函數(shù). 將形體任意分成n個子閉區(qū)域其中表示第i個子閉區(qū)域, 也表示它的度量, 在上任取一點, 作乘積 并作和 如果當各子閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于零時, 這和式的極限存在, 則稱此極限為點函數(shù)在上的積分, 記為, 即 其中稱為積分區(qū)域, 稱為被積函數(shù), P稱為積分變量, 稱為被積表達式, 稱為的度量微元. 點函數(shù)積分具有如下物理意義: 設一物體占有有界閉區(qū)域, 其密度為則該物體的質量 特別地, 當時, 有 如果點函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù), 則在上可積. 二、點函數(shù)積分的性質 設在有界閉區(qū)域上都可積, 則有 性質1 性質2 性質3 其中且與無公共內點. 性質4 若 則 性質5 若 則 特別地, 有 性質6 若在積分區(qū)域上的最大值為M, 最小值為m, 則 性質7 (中值定理)若在有界閉區(qū)域上連續(xù), 則至少有一點使得 其中稱為函數(shù)在上的平均值. 三、點函數(shù)積分的分類及其關系 1.若這時則 (1) 這是一元函數(shù)在區(qū)間上的定積分. 當時, 是區(qū)間長. 2.右且L是一平面曲線, 這時于是 (2) 當時, 是曲線的弧長. (2)式稱為第一類平面曲線積分. 3.若且是空間曲線, 這時則 (3) 當時, 是曲線的弧長. (3)式稱為第一類空間曲線積分. 2、3的特殊情形是曲線為直線段, 而直線段上的點函數(shù)積分本質上是一元函數(shù)的定積分,這說明可用一次定積分計算, 因此用了一次積分號. 4.若且D是平面區(qū)域, 這時 則 (4) (4)式稱為二重積分. 當時, 是平面區(qū)域D的面積. 5.若且是空間曲面, 這時 則 (5) (5)式稱為第一類曲面積分. 當時, 是空間曲面的面積. 由于(5)的特殊情形是平面區(qū)域上的二得積分, 說明該積分可化為兩次定積分的計算, 因此用二重積分號. 6.若為空間立體, 這時 則 (5) (6)式稱為三重積分. 當, 則是空間立體的體積. 更進一步, 我們還可以利用點函數(shù)積分的概念統(tǒng)一來表述占有界閉區(qū)域的物體的重心、轉動慣量、引力等物理概念, 此處不再表述.