《高等數(shù)學(xué)備課教案：第七章 微分方程 第四節(jié)可降階的二階微分方程》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)備課教案：第七章 微分方程 第四節(jié)可降階的二階微分方程（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第四節(jié) 可降階的二階微分方程 對一般的二階微分方程沒有普遍的解法，本節(jié)討論三種特殊形式的二階微分方程，它們有的可以通過積分求得，有的經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q可降為一階微分方程，然后求解一階微分方程，再將變量回代，從而求得所給二階微分方程的解. 分布圖示 ★ 型 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 型 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 型 ★ 例8 ★ 例9 ★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 課堂練習(xí) ★ 習(xí)題7—4 ★ 返回 內(nèi)容要點(diǎn) 一、 型 在方程兩端積分，得

2、 再次積分，得 注：這種類型的方程的解法，可推廣到階微分方程 ， 只要連續(xù)積分n次, 就可得這個方程的含有n個任意常數(shù)的通解. 二、型 這種方程的特點(diǎn)是不顯含未知函數(shù)y，求解的方法是： 令 則，原方程化為以為未知函數(shù)的一階微分方程， 設(shè)其通解為 然后再根據(jù)關(guān)系式 又得到一個一階微分方程 對它進(jìn)行積分，即可得到原方程的通解 三、型 這種方程的特點(diǎn)是不顯含自變量x. 解決的方法是：把暫時看作自變量，并作變換 于是，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則有 這樣就將原方程就化為 這是一個關(guān)于變量y、p的一階微分方程. 設(shè)它的通解

3、為 這是可分離變量的方程，對其積分即得到原方程的通解 例題選講 型 例1（E01）求方程滿足的特解. 解 對所給方程接連積分二次,得 (1) (2) 在(1)中代入條件得在(2)中代入條件得 從而所求題設(shè)方程的特解為 例2（E02）求方程的通解. 解 設(shè)代入題設(shè)方程,得 解線性方程,得為任意常數(shù))，即 兩端積分,得 再積分得到所求題設(shè)方程的通解為 其中為任意常數(shù). 進(jìn)一步通解可改寫為其中為任意常數(shù). 例3 質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)受力的作用沿軸作直線運(yùn)動. 設(shè)力僅是時間的函數(shù): 在開始時刻時 隨著時間的增大, 此力

4、均勻的減少, 直到時, 如果開始時質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn), 且初速度為零, 求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律. 解 設(shè)在時刻質(zhì)點(diǎn)的位置為由牛頓第二定律，得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的微分方程 (1) 由題設(shè), 隨增大而均勻地減少, 又 于是方程(1)可以寫成 (2) 其初始條件為 在方程(2)式兩端積分,得 代入初始條件得于是 將條件代入上式,得于是所求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律 型 例4（E03）求方程的通解. 解 這是一個不顯含有未知函數(shù)的方程.令則于是題設(shè)方程降階為即兩邊積分,得 即或 再積分得原方程的通解 例5 求微分方程初值問題.

5、 的特解. 解 題設(shè)方程屬型.設(shè)代入方程并分離變量后,有 兩端積分，得即 由條件得所以 兩端再積分,得又由條件得 于是所求的特解為 例6 求微分方程滿足 且當(dāng)時，有界的特解. 解法1 所給方程不顯含屬型,令則代入方程降階后求解, 此法留給讀者練習(xí). 解法2 因?yàn)榧催@是一階線性微分方程，解得 因?yàn)闀r，有界,得故由此得及 又由已知條件得從而所求特解為 例7設(shè)有一均勻、柔軟的而無伸縮性的繩索，兩端固定，繩索僅受重力的作用而下垂. 求繩索曲線在平衡狀態(tài)時的方程. 解 設(shè)繩索的最低點(diǎn)為取軸通過點(diǎn)鉛直向上，并取軸

6、水平向右，且等于某個定值(這個定值將在以后說明).設(shè)繩索曲線的方程為考察繩索上點(diǎn)到另一點(diǎn)間的一段弧設(shè)其長為假定繩索的線密度為則弧的重量為由于繩索是柔軟的，因而在點(diǎn)處的張力沿水平的切線方向，其大小設(shè)為在點(diǎn)處的張力沿該點(diǎn)處的切線方向，設(shè)其傾角為其大小為(如圖).因作用于弧段的外力相互平衡，把作用于弧段上的力沿鉛直及水平兩方向解得 兩式相除得 由于 代入上式即得 將上式兩端對求導(dǎo)，便得滿足得微分方程 (1) 取原點(diǎn)到點(diǎn)的距離為定值即則初始條件為 對方程(1)，設(shè)則代

7、入并分離變量得： 由得 即 將條件代入上式，得 于是該繩索的曲線方程為 這曲線叫做懸鏈線. 型 例8（E04）求方程的通解. 解 設(shè)則代入原方程得即 由可得所以 原方程通解為 例9 求微分方程滿足初始條件 的特解. 解 令由代入方程并化簡得 上式為可分離變量的一階微分方程，解得 再分離變量,得由初始條件 定出從而得再兩邊積分,得或 由定出從而所求特解為 課堂練習(xí) 1. 求方程的通解. 2.一質(zhì)量為m的物體, 在粘性液體中由靜止自由下落, 假設(shè)液體阻力與運(yùn)動速度成正比, 試求物體的運(yùn)動規(guī)律.