《高等數(shù)學備課教案：第七章 微分方程 第一節(jié)微分方程的基本概念》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高等數(shù)學備課教案：第七章 微分方程 第一節(jié)微分方程的基本概念（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第七章 微分方程 對自然界的深刻研究是數(shù)學最富饒的源泉. -------傅里葉 微積分研究的對象是函數(shù)關系，但在實際問題中，往往很難直接得到所研究的變量之間的函數(shù)關系，卻比較容易建立起這些變量與它們的導數(shù)或微分之間的聯(lián)系，從而得到一個關于未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程，即微分方程. 通過求解這種方程，同樣可以找到指定未知量之間的函數(shù)關系. 因此，微分方程是數(shù)學聯(lián)系實際，并應用于實際的重要途徑和橋梁，是各個學科進行科學研究的

2、強有力的工具. 如果說“數(shù)學是一門理性思維的科學,是研究、了解和知曉現(xiàn)實世界的工具”，那么微分方程就是顯示數(shù)學的這種威力和價值的一種體現(xiàn).現(xiàn)實世界中的許多實際問題都可以抽象為微分方程問題. 例如，物體的冷卻、人口的增長、琴弦的振動、電磁波的傳播等，都可以歸結為微分方程問題. 這時微分方程也稱為所研究問題的數(shù)學模型. 微分方程是一門獨立的數(shù)學學科，有完整的理論體系. 本章我們主要介紹微分方程的一些基本概念，幾種常用的微分方程的求解方法及線性微分方程解的理論. 第一節(jié) 微分方程的基本概念 一般地，含有未知函數(shù)及未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程稱為微分方程. 微分方程中出現(xiàn)的未知

3、函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階. 在物理學、力學、經(jīng)濟管理科學等領域我們可以看到許多表述自然定律和運行機理的微分方程的例子. 分布圖示 ★ 引 言 ★ 微分方程的概念 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 微分方程解的概念 ★ 例4 ★ 例5 ★ 內(nèi)容小結 ★ 課堂練習 ★ 返回 內(nèi)容要點 一、微分方程的概念 我們把未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程. 類似地，未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程稱為偏微分方程， 本章我們只討論常微分方程. 常微分方程的一般形式是： (1.5) 其中為自變量，是未知函數(shù).

4、 如果能從方程(1.5)中解出最高階導數(shù)，就得到微分方程 (1.6) 以后我們討論的微分方程組主要是形如(1.6)的微分方程，并且假設(1.6)式右端的函數(shù)在所討論的范圍內(nèi)連續(xù). 如果方程(1.6)可表為如下形式： (1.7) 則稱方程(1.7)為階線性微分方程. 其中 和均為自變量的已知函數(shù). 不能表示成形如(1.7)式的微分方程，統(tǒng)稱為非線性微分方程. 在研究實際問題時，首先要建立屬于該問題的微分方程，然后找出滿足該微分方程的函數(shù)（即解微分方程），就是說，把這個函數(shù)代入微分方程能使方程稱為恒等式，我們稱這個函數(shù)為該微分方程的解. 更

5、確切地說，設函數(shù)在區(qū)間上有階連續(xù)導數(shù)，如果在區(qū)間上，有 則稱函數(shù)為微分方程(1.5)在區(qū)間上的解. 二、微分方程的解 微分方程的解可能含有也可能不含有任意常數(shù). 一般地，微分方程的不含有任意常數(shù)的解稱為微分方程的特解. 含有相互獨立的任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相等的解稱為微分方程的通解（一般解）. 所謂通解的意思是指，當其中的任意常數(shù)取遍所有實數(shù)時，就可以得到微分方程的所有解（至多有個別例外）. 注：這里所說的相互獨立的任意常數(shù)，是指它們不能通過合并而使得通解中的任意常數(shù)的個數(shù)減少. 許多實際問題都要求尋找滿足某些附加條件的解，此時，這類附加條件就可以用來

6、確定通解中的任意常數(shù)，這類附加條件稱為初始條件，也稱為定解條件. 例如，條件(1.2)和(1.4)分別是微分方程(1.1)和(1.3)的初始條件. 帶有初始條件的微分方程稱為微分方程的初值問題. 微分方程的解的圖形是一條曲線，稱為微分方程的積分曲線. 例題選講 微分方程的概念 例1（E01）設一物體的溫度為100℃，將其放置在空氣溫度為20℃的環(huán)境中冷卻. 根據(jù)冷卻定律：物體溫度的變化率與物體和當時空氣溫度之差成正比，設物體的溫度與時間的函數(shù)關系為，則可建立起函數(shù)滿足的微分方程 (1) 其中為比例常數(shù). 這就是

7、物體冷卻的數(shù)學模型. 根據(jù)題意，還需滿足條件 (2) 例2（E02）設一質(zhì)量為的物體只受重力的作用由靜止開始自由垂直降落. 根據(jù)牛頓第二定律：物體所受的力等于物體的質(zhì)量與物體運動的加速度成正比，即，若取物體降落的鉛垂線為軸，其正向朝下，物體下落的起點為原點，并設開始下落的時間是，物體下落的距離與時間的函數(shù)關系為，則可建立起函數(shù)滿足的微分方程 其中為重力加速度常數(shù). 這就是自由落體運動的數(shù)學模型. 根據(jù)題意，還需滿足條件

8、 例3（E03）試指出下列方程是什么方程，并指出微分方程的階數(shù). 解 (1) 是一階線性微分方程，因方程中含有的和都是一次. (2) 是一階非線性微分方程，因方程中含有的的平方項. (3) 是二階非線性微分方程，因方程中含有的的三次方. (4) 是二階非線性微分方程，因方程中含有非線性函數(shù)和 微分方程的解 例4（E04）求曲線族滿足的微分方程，其中為任意常數(shù). 解 求曲線族所滿足的方程，就是求一微分方程,使所給的曲線族正好是該微分方程的積分曲線族.因此所求的微分方程的階數(shù)應與已知曲線族中的任意常數(shù)的個數(shù)相等.這里, 我們通過消去任意常數(shù)的方法來得到所求

9、的微分方程.在等式兩端對求導,得 再從解出代入上式得 化簡即得到所求的微分方程 例5（E05）驗證函數(shù)(C為任意常數(shù))是方程 的通解, 并求滿足初始條件的特解. 解 要驗證一個函數(shù)是否是方程的通解，只要將函數(shù)代入方程，看是否恒等，再看函數(shù)式中所含的獨立的任意常數(shù)的個數(shù)是否與方程的階數(shù)相同.將求一階導數(shù),得 把和代入方程左邊得 因方程兩邊恒等,且中含有一個任意常數(shù),故是題設方程的通解. 將初始條件代入通解中， 得 從而所求特解為 課堂練習 1．驗證函數(shù)是微分方程的解. 并求滿足初始條件的特解.