第十一章 曲線積分與曲面積分 在第十章中，我們已經(jīng)把積分的積分域從數(shù)軸上的區(qū)間推廣到了平面上的區(qū)域和空間中的區(qū)域. 本章還將進(jìn)一步把積分的積分域推廣到平面和空間中的一段曲線或一片曲面的情形. 相應(yīng)地稱為曲線積分與曲面積分，它是多元函數(shù)積分學(xué)的又一重要內(nèi)容. 本章將介紹曲線積分與曲面積分的概念及其計算方法. 以及溝通上述幾類積分內(nèi)在聯(lián)系的幾個重要公式：格林公式、奧-高公式和斯托克斯公式. 第一節(jié) 第一類曲線積分 分布圖示 ★ 引例 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量 ★ 第一類曲線積分的概念 ★ 第一類曲線積分的性質(zhì) ★ 第一類曲線積分的物理意義 ★ 第一類曲線積分的計算 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 課堂練習(xí) ★ 習(xí)題11—1 ★ 返回 內(nèi)容要點(diǎn) 一、引例 設(shè)有一曲線形構(gòu)件所占的位置是面內(nèi)的一段曲線（圖10-1-1），它的質(zhì)量分布不均勻，其線密度為，試求該構(gòu)件的質(zhì)量. 二、第一類曲線積分的定義與性質(zhì) 性質(zhì)1 設(shè)，為常數(shù)，則 ； 性質(zhì)2設(shè)由和兩段光滑曲線組成(記為 )，則 注： 若曲線可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我們就稱是分段光滑的，在以后的討論中總假定是光滑的或分段光滑的. 性質(zhì)3 設(shè)在有，則 性質(zhì)4（中值定理）設(shè)函數(shù)在光滑曲線上連續(xù)，則在上必存在一點(diǎn)，使 其中是曲線的長度. 三、第一類曲線積分的計算： (1.10) 如果曲線的方程為 ，則 (1.11) 如果曲線的方程為 ，則 (1.12) 如果曲線的方程為 ，則 例題選講 第一類曲線積分的計算 例1（E01）計算曲線積分其中L是中心在、半徑為的上半圓周（圖11-1-2）. 解 由于上半圓周的參數(shù)方程為 所以 例2（E02）計算半徑為R, 中心角為的圓弧L對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量I (設(shè)線密度). 解 取坐標(biāo)系如圖(圖10-1-3),則 為計算方便, 利用的參數(shù)方程 故 例3 計算 其中是拋物線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的一段弧. 解 如圖(見系統(tǒng)演示), 的方程 因此 例4 計算, 其中積分弧段是由折線組成, 而 解 在上， 所以 在上，所以 從而 例5（E03）計算 其中L為雙紐線（圖10-1-4）的弧. 解 雙紐線的極坐標(biāo)方程為 用隱函數(shù)求導(dǎo)得 所以 例6（E04）求 其中為球面被平面所截得的圓周. 解 由對稱性,知 所以 其中為球面的大圓周長. 課堂練習(xí) 1.計算曲線積分, 其中為螺旋線上相應(yīng)于t從0到的一段弧. 2.有一段鐵絲成半圓形其上任一點(diǎn)處的線密度的大小等于該點(diǎn)的縱坐標(biāo), 求其質(zhì)量.