第七節(jié) 斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度 斯托克斯公式是格林公式的推廣，格林公式建立了平面區(qū)域上的二重積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的聯(lián)系，而斯托克斯公式則建立了沿空間曲面的曲面積分與沿的邊界曲線的曲線積分之間的聯(lián)系. 分布圖示 ★ 斯托克斯公式 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件 ★ 三元函數(shù)的全微分求積 ★ 環(huán)流量與旋度 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 斯托克斯公式的向量形式 ★ 向量微分算子 ★ 內(nèi)容小結(jié) ★課堂練習(xí) ★ 習(xí)題11-7 ★返回 內(nèi)容要點(diǎn) 一、斯托克斯公式 定理1 設(shè)為分段光滑的空間有向閉曲線，是以為邊界的分片光滑的有向曲面，的正向與的側(cè)符合右手規(guī)則，函數(shù)在包含曲面在內(nèi)的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有公式 (7.1) 公式(7.1)稱為斯托克斯公式. 為了便于記憶，斯托克斯公式常寫成如下形式： 利用兩類曲面積分之間的關(guān)系，斯托克斯公式也可寫成 二、空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件 三、環(huán)流量與旋度 設(shè)向量場(chǎng) 則沿場(chǎng)中某一封閉的有向曲線C上的曲線積分 稱為向量場(chǎng)沿曲線C按所取方向的環(huán)流量. 而向量函數(shù) 稱為向量場(chǎng)的旋度，記為，即 旋度也可以寫成如下便于記憶的形式： . 四、向量微分算子： 例題選講 利用斯托克斯公式計(jì)算 例1（E01）計(jì)算曲線積分 其中是平面被三坐標(biāo)面所截成的三角形的整個(gè)邊界, 它的正向與這個(gè)三角形上側(cè)的法向量之間符合右手規(guī)則. 解 按斯托克斯公式，有 由于的法向量的三個(gè)方向余弦都為正，再由對(duì)稱性知: 所以 例2 計(jì)算曲線積分 其中是平面截立方體：的表面所得的接痕，從軸的正向看法，取逆時(shí)針?lè)较? 解 取為題設(shè)平面的上側(cè)被所圍成部分，則該平面的法向量即 原式 例3（E02）計(jì)算 式中是 此曲線是順著如下方向前進(jìn)的: 由它所包圍在球面上的最小區(qū)域保持在左方. 解 由斯托克斯公式，有 原式 (利用對(duì)稱性) 例4 求矢量場(chǎng)在點(diǎn)處的散度及旋度. 解 故 故 例5（E03）設(shè) 求gradu； div(gradu)；rot(gradu). 解 因?yàn)橛卸A連續(xù)導(dǎo)數(shù),故二階混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān),故 注：一般地，如果是一單值函數(shù)，我們稱向量場(chǎng)=gradu 為勢(shì)量場(chǎng)或保守場(chǎng)，而稱為場(chǎng)的勢(shì)函數(shù). 例6（E04）設(shè)一剛體以等角速度繞定軸旋轉(zhuǎn)，求剛體內(nèi)任意一點(diǎn)的線速度的旋度. 解 取定軸為軸，點(diǎn)的內(nèi)徑 則點(diǎn)的線速度 于是 即速度場(chǎng)的旋等于角速度的 2 倍. 課堂練習(xí) 1. 計(jì)算其中是螺線 從到的一段曲線. 2. 物體以一定的角速度依逆時(shí)針?lè)较蚶@Oz軸旋轉(zhuǎn), 求速度和加速度在空間點(diǎn)和已知時(shí)刻t的散度和旋度.