第六節(jié) 高斯公式 通量與散度 格林公式揭示了平面區(qū)域上的二重積分與該區(qū)域的邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系. 本節(jié)要介紹的高斯公式則揭示了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系. 可以認(rèn)為高斯公式是格林公式在三維空間中的推廣. 分布圖示 ★ 高斯公式 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件 ★ 通量與散度 ★ 例5 ★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 課堂練習(xí) ★ 習(xí)題11-6 ★ 返回 內(nèi)容要點(diǎn) 一、高斯公式 定理1設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面圍成，函數(shù)、、在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有公式 (6.1) 這里是的整個(gè)邊界曲面的外側(cè), 是上點(diǎn)處的法向量的方向余弦. (6.1)式稱(chēng)為高斯公式. 若曲面與平行于坐標(biāo)軸的直線的交點(diǎn)多余兩個(gè)，可用光滑曲面將有界閉區(qū)域分割成若干個(gè)小區(qū)域，使得圍成每個(gè)小區(qū)域的閉曲面滿(mǎn)足定理的條件，從而高斯公式仍是成立的. 此外，根據(jù)兩類(lèi)曲面積分之間的關(guān)系，高斯公式也可表為 二、通量與散度 一般地，設(shè)有向量場(chǎng) , 其中函數(shù)、、有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，是場(chǎng)內(nèi)的一片有向曲面，是曲面的單位法向量. 則沿曲面的第二類(lèi)曲面積分 稱(chēng)為向量場(chǎng)通過(guò)曲面流向指定側(cè)的通量. 而 稱(chēng)為向量場(chǎng)的散度，記為，即 . (6.5) 例題選講 利用高斯公式計(jì)算 例1（E01）計(jì)算曲面積分其中為柱面及平面所圍成的空間閉區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)（圖10-6-2）. 解 利用高斯公式，得 原式=（利用柱面坐標(biāo)） 例2（E02）計(jì)算 其中為旋轉(zhuǎn)拋物面在部分的外側(cè). 解 作輔助平面 則平面與曲面圍成空間有界閉區(qū)域 由高斯公式得 例3（E03）計(jì)算 其中為 錐面, 為此曲面外法線向量的方向余弦. 解 補(bǔ)充平面取的上側(cè)，則構(gòu)成封閉曲面， 設(shè)其所圍成空間區(qū)域?yàn)?于是 而 故 例4（E04）證明: 若為包圍有界域的光滑曲面, 則 其中為函數(shù)沿曲面的外法線方向的方向?qū)?shù)，,在上具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，符號(hào)稱(chēng)為拉普拉斯算子. 這個(gè)公式稱(chēng)為格林第一公式. 證 因?yàn)? ，其中是在點(diǎn)處 的外法線的方向余弦，于是 將上式右端移至左端即得所要證明的等式. 通量與散度 例5（E05）求向量場(chǎng)的流量 (1) 穿過(guò)圓錐的底(向上); (2) 穿過(guò)此圓錐的側(cè)表面（向外）. 解 設(shè)及分別為此圓錐的面，側(cè)面及全表面，則穿過(guò)全表面向外的流量 (1) 穿過(guò)底面向上的流量 (2) 穿過(guò)側(cè)表面向外的流量 課堂練習(xí) 1.利用高斯公式計(jì)算 其中為球面的外側(cè). 2.求向量場(chǎng)的散度.