第第2講講空間中的平行與垂直的證明問題空間中的平行與垂直的證明問題高考定位高考定位1.以選擇題、填空題的形式考查，主要利用平面的基本性質(zhì)及線線、線面和面面的判定與性質(zhì)定理對(duì)命題的真假進(jìn)行判斷，屬基礎(chǔ)題；2.以解答題的形式考查，主要是對(duì)線線、線面與面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題，且多以棱柱、棱錐、棱臺(tái)或其簡(jiǎn)單組合體為載體進(jìn)行考查，難度中等.真真 題題 感感 悟悟 (2016全國(guó)卷)如圖，已知正三棱錐PABC的側(cè)面是直角三角形，PA6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連接PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.(1)證明：G是AB的中點(diǎn)；(2)作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及理由)，并求四面體PDEF的體積.(1)證明因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以ABPD.因?yàn)镈在平面PAB內(nèi)的正投影為E，所以ABDE.且PDDED，所以AB平面PED，又PG平面PED，故ABPG.又由已知可得，PAPB，從而G是AB的中點(diǎn).(2)解在平面PAB內(nèi)，過點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F，F(xiàn)即為E在平面PAC內(nèi)的正投影.理由如下：由已知可得PBPA，PBPC，又EFPB，所以EFPA，EFPC，PAPCP，因此EF平面PAC，即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影.考考 點(diǎn)點(diǎn) 整整 合合1.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)(1)線面平行的判定定理：a ，b，aba.(2)線面平行的性質(zhì)定理：a，a，bab.(3)面面平行的判定定理：a，b，abP，a，b.(4)面面平行的性質(zhì)定理：，a，bab.2.直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(1)線面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl.(2)線面垂直的性質(zhì)定理：a，bab.(3)面面垂直的判定定理：a，a.(4)面面垂直的性質(zhì)定理：，l，a，ala.熱點(diǎn)一空間平行、垂直關(guān)系的證明【例1】 (2016山東卷)在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點(diǎn)，EFDB.(1)已知ABBC，AEEC.求證：ACFB；(2)已知G，H分別是EC和FB的中點(diǎn).求證：GH平面ABC.證明(1)因?yàn)镋FDB，所以EF與DB確定平面BDEF，連接DE.因?yàn)锳EEC，D為AC的中點(diǎn)，所以DEAC.同理可得BDAC.又BDDED，所以AC平面BDEF.因?yàn)镕B平面BDEF，所以ACFB.(2)設(shè)FC的中點(diǎn)為I，連接GI，HI.在CEF中，因?yàn)镚是CE的中點(diǎn)，所以GIEF.又EFDB，所以GIDB.在CFB中，因?yàn)镠是FB的中點(diǎn)，所以HIBC.又HIGII，所以平面GHI平面ABC，因?yàn)镚H平面GHI，所以GH平面ABC.探究提高垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型.(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.(4)證明面面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.【訓(xùn)練1】 如圖，在四棱錐PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn).求證：(1)CE平面PAD；(2)平面EFG平面EMN.圖1圖2所以EF平面PAD.因?yàn)镃FEFF，故平面CEF平面PAD.又CE平面CEF，所以CE平面PAD.(2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EFPA.又ABPA，所以ABEF.同理可證ABFG.又EFFGF，EF平面EFG，F(xiàn)G平面EFG，因此AB平面EFG.又M，N分別為PD，PC的中點(diǎn)，所以MNDC，又ABDC，所以MNAB，所以MN平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.熱點(diǎn)二利用平行、垂直關(guān)系判斷點(diǎn)的存在性(1)在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM平面PAB，并說明理由.(2)證明：平面PAB平面PBD.所以四邊形AMCB是平行四邊形，從而CMAB.又AB平面PAB.CM 平面PAB.所以CM平面PAB.(說明：取棱PD的中點(diǎn)N，則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn))探究提高探求點(diǎn)的位置常常是線段的中點(diǎn)、三等分點(diǎn)等，關(guān)鍵是通過垂直、平行關(guān)系尋找線線平行.(2)證明在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)B作BNAC，垂足為N，在平面PAC內(nèi)，過點(diǎn)N作MNPA交PC于點(diǎn)M，連接BM.由PA平面ABC知PAAC，所以MNAC.由于BNMNN，故AC平面MBN，又BM平面MBN，所以ACBM.熱點(diǎn)三平面圖形翻折中的平行、垂直關(guān)系【例3】 (2016全國(guó)卷)如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AECF，EF交BD于點(diǎn)H，將DEF沿EF折到DEF的位置.探究提高(1)解決折疊問題的關(guān)鍵是搞清翻折前后哪些位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系改變，哪些不變，抓住翻折前后不變的量，充分利用原平面圖形的信息是解決問題的突破口.(2)把平面圖形翻折后，經(jīng)過恰當(dāng)連線就能得到三棱錐、四棱錐，從而把問題轉(zhuǎn)化到我們熟悉的幾何體中解決.1.空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判定(1)可以從線、面的概念、定理出發(fā)，學(xué)會(huì)找特例、反例. (2)可以借助長(zhǎng)方體，在理解空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的基礎(chǔ)上， 抽象出空間線、面的位置關(guān)系的定義.2.垂直、平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線垂直和線線平行，常用方法如下：(1)證明線線平行常用的方法：一是利用平行公理，即證兩直線同時(shí)和第三條直線平行；二是利用平行四邊形進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換：三是利用三角形的中位線定理證線線平行；四是利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換.(2)證明線線垂直常用的方法：利用等腰三角形底邊中線即高線的性質(zhì)；勾股定理；線面垂直的性質(zhì)：即要證兩線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在的平面即可，l，ala.3.在應(yīng)用直線和平面平行的性質(zhì)定理時(shí)，要防止出現(xiàn)“一條直線平行于一個(gè)平面就平行于這個(gè)平面內(nèi)的所有直線”的錯(cuò)誤.4.解決平面圖形的翻折問題，關(guān)鍵是抓住平面圖形翻折前后的不變“性”與“量”，即兩條直線的平行與垂直關(guān)系以及相關(guān)線段的長(zhǎng)度、角度等.