第1講概率的基本問題高考定位對于排列組合、二項式定理、古典概型、互斥事件及對立事件的概率的考查也會以選擇或填空的形式命題，屬于中檔以下題目.真真 題題 感感 悟悟1.(2016全國卷)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A.24 B.18 C.12 D.9解析從E點到F點的最短路徑有6種，從F點到G點的最短路徑有3種，所以從E點到G點的最短路徑為6318種，故選B.答案B2.(2016全國卷)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()答案C3.(2016山東卷)某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動.參加活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，記錄指針所指區(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.獎勵規(guī)則如下：若xy3，則獎勵玩具一個；若xy8則獎勵水杯一個；其余情況獎勵飲料一瓶.假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個區(qū)域劃分均勻，小亮準備參加此項活動.(1)求小亮獲得玩具的概率；(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由.解(1)用數(shù)對(x，y)表示兒童參加活動先后記錄的數(shù)，則基本事件空間與點集S(x，y)|xN，yN，1x4，1y4一一對應(yīng).因為S中元素的個數(shù)是4416.所以基本事件總數(shù)n16.記“xy3”為事件A，則事件A包含的基本事件數(shù)共5個，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)，考考 點點 整整 合合1.計數(shù)原理2.概率3.事件A，B互斥，那么事件AB發(fā)生(即A，B中有一個發(fā)生)的概率，等于事件A，B分別發(fā)生的概率的和，即P(AB)P(A)P(B).4.在一次試驗中，對立事件A和 不會同時發(fā)生，但一定有一個發(fā)生，因此有P( )1P(A).AA熱點一排列、組合與二項式定理微題型1排列、組合問題【例11】 (1)將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班級，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班級，則不同的分法種數(shù)為()A.18 B.24 C.30 D.36(2)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目，2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A.72 B.120 C.144 D.168答案(1)C(2)B探究提高解排列、組合的應(yīng)用題，通常有以下途徑：(1)以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素.(2)以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置.(3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù).微題型2考查二項式定理【例12】 (1)(2015全國卷)(x2xy)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為()A.10 B.20 C.30 D.60(2)若(x21)(x2)11a0a1(x1)a2(x1)2a13(x1)13，則a1a2a13_.答案(1)C(2)2探究提高(1)在應(yīng)用通項公式時，要注意以下幾點：它表示二項展開式的任意項，只要n與r確定，該項就隨之確定；對二項式(ab)n展開式的通項公式要特別注意符號問題；(xy)n展開式中的每一項相當于從n個因式(xy)中每個因式選擇x或y組成的.(2)在二項式定理的應(yīng)用中，“賦值思想”是一種重要方法，是處理組合數(shù)問題、系數(shù)問題的經(jīng)典方法.要根據(jù)二項展開式的結(jié)構(gòu)特征靈活賦值.【訓練1】 (1)(ax)(1x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則a_.(2)若將函數(shù)f(x)x5表示為f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5為實數(shù)，則a3_.解析(1)設(shè)(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，令x1，得16(a1)a0a1a2a3a4a5，令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)，即展開式中x的奇數(shù)次冪的系數(shù)之和為a1a3a58(a1)，答案(1)3(2)10熱點二古典概型與互斥、對立事件的概率微題型1對于古典概型的考查【例21】 (1)(2016深圳一調(diào))4名同學參加3項不同的課外活動，若每名同學可自由選擇參加其中的一項，則每項活動至少有一名同學參加的概率為()(2)從1，2，3，20這20個數(shù)中任取2個不同的數(shù)，則這兩個數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率為()答案(1)A(2)C探究提高解答有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，這常用到計數(shù)原理與排列、組合的相關(guān)知識.微題型微題型2考查互斥事件與對立事件的概率考查互斥事件與對立事件的概率【例22】 某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時間(分種/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并求顧客一次購物的結(jié)算時間X的分布列與數(shù)學期望；(2)若某顧客到達收銀臺時前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨立，求該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率.(注：將頻率視為概率)解(1)由已知得25y1055，x3045，所以x15，y20.該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本，將頻率視為概率得探究提高解此類題的關(guān)鍵是理解頻率與概率間的關(guān)系，互斥事件是指不可能同時發(fā)生的事件，要考慮全面，防止遺漏.【訓練2】 如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機抽取100位從A地到達火車站的人進行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：所用時間(分鐘)10202030304040505060選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)0416164(1)試估計40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率；(2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內(nèi)的頻率；(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站，試通過計算說明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑.解(1)由已知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有121216444人.用頻率估計相應(yīng)的概率為0.44.(2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調(diào)查結(jié)果得頻率為：所用時間(分鐘)1020 2030 3040 4050 5060L1的頻率0.10.20.30.20.2L2的頻率00.10.40.40.1(3)A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時，在50分鐘內(nèi)趕到火車站.由(2)知P(A1)0.10.20.30.6，P(A2)0.10.40.5，P(A1)P(A2)，甲應(yīng)選擇L1；P(B1)0.10.20.30.20.8，P(B2)0.10.40.40.9，P(B2)P(B1)，乙應(yīng)選擇L2.1.求解排列、組合問題常用的解題方法(1)元素相鄰的排列問題“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問題“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題間接法.3.古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目.