98級高等數(shù)學(xué)(上)期中試題一、填空題（3×8=24分）1.解： ，。2若在內(nèi)連續(xù)，則 -2 。解：， 。3若，其中可導(dǎo)，則.解： .4.若，則 1 .解： 。5.函數(shù)由方程確定，則。解：， ，。6函數(shù)的帶拉格朗日余項的三階麥克勞林公式為 。 解：， ， （在與之間）。7若，則。解：，。8曲線的單增區(qū)間為，下凸區(qū)間為。解：的定義域為， 令，得；令，得。12+0-0+二、選擇題（4×4=16分）9當(dāng)時，與為等價無窮小，則必有（ A ） （A），； （B），； （C），； （D），。解：，。 10函數(shù)的不可導(dǎo)點的個數(shù)是（ C ） （A）3； （B）2； （C）1； （D）0。解：的可能不可導(dǎo)點為，。 ， ， 。 ， ， 不存在。11曲線（ C ） （A）沒有漸近線； （B）有一條漸近線； （C）有二條漸近線； （D）有三條漸近線。解：，曲線無水平漸近線； ， 直線是曲線的垂直漸近線； ， 直線是曲線的斜漸近線。12已知在的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且，則在處（ D ） （A）不可導(dǎo)； （B）可導(dǎo)且； （C）取得極大值； （D）取得極小值。解：在連續(xù)，當(dāng)時，。故應(yīng)選（D）。三、解答題 （30分）13設(shè)，求（6分）解：，。14求極限：（6分）解：。15設(shè)函數(shù)由方程確定， 試求它的駐點，并判定 它是否為極值點，如果是極值點，是極大點還是極小點？（8分） 解：， 即， 令，得，代入原方程，得， ，得唯一駐點，此時， 再對式兩邊求導(dǎo)，得 ， ， 把，代入式，得，是極小值點。16試確定的范圍，使方程有實根。（10分）解題思路：設(shè)，。當(dāng)且僅屬于函數(shù)的值 域時，方程有實根。首先確定在內(nèi)的值 域。為此需要求的極值。 ，令，得唯一駐點， ，是極小值，也是最小值， 又， 的值域是， 當(dāng)時，直線才能與曲線相交， 這時方程才能有實根。四、應(yīng)用題（2×10=20分）17設(shè)某銀行中的總存款量與銀行付給存戶年利率的平方成正比。若銀行以 的年利率把總存款的貸出，問銀行給存戶的年利率定為多少，它才 能獲得最大利潤？解：設(shè)銀行付給存戶的年利率為，總存款量為，總利潤為，則（為常數(shù)），即 ， ， 令，得，(應(yīng)舍去)。 ，是極大值點，也是最大值點。 當(dāng)銀行給存戶的年利率定為時，才能獲得最大利潤。18.一盞高的路燈照在一個距燈遠，從高處自由下落的球上，球的影子 沿水平地面移動，求當(dāng)球離地面高時影子移動的速度（空氣阻力忽略不計）。解：以燈柱與地面的交點為原點，燈柱所在的直線為軸，建立平面直角坐標系。 燈的位置為，球的初始位置為。 設(shè)球下落離地面時， 影子距原點的，則有， ， 當(dāng)時，由，得，。 所求影子移動的速度為。五、證明題（10分）19設(shè)在連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)， 試證：，使。 分析：即證。這題是要證明存在兩個中間值，滿足等 式。由于用一次中值定理只能找到一個中間值，故要用兩次 中值定理才能解決問題。證明：設(shè) ， 和在上滿足中值定理， ，使， ， ，從而。7