第第2講數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用講數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用最新考綱1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理；2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.知 識 梳 理1.數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取_時命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)nk(kn0，kN*)時命題成立，證明當(dāng)_時命題也成立.只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.第一個值n0(n0N*)nk12.數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示診 斷 自 測1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“12222n22n31”，驗證n1時，左邊式子應(yīng)為122223.( )(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明.( )(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，歸納假設(shè)可以不用.( )(4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，由nk到nk1時，項數(shù)都增加了一項.( )解析三角形是邊數(shù)最少的凸多邊形，故第一步應(yīng)檢驗n3.答案C解析根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，則nk(k2為偶數(shù))時，下一個偶數(shù)為k2.答案B解析nk時，等式左邊123k2，nk1時，等式左邊123k2(k21)(k22)(k1)2.比較上述兩個式子，nk1時，等式的左邊是在假設(shè)nk時等式成立的基礎(chǔ)上，等式的左邊加上了(k21)(k22)(k1)2.答案D考點一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式規(guī)律方法(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題，要“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，初始值n0是多少.(2)由nk時等式成立，推出nk1時等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標(biāo)；二要充分利用歸納假設(shè)，進行合理變形，正確寫出證明過程，不利用歸納假設(shè)的證明，就不是數(shù)學(xué)歸納法.考點二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式規(guī)律方法應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的問題(1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時，應(yīng)用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk成立，推證nk1時也成立，證明時用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法等證明方法.【訓(xùn)練2】 （2016溫州十校聯(lián)考）設(shè)函數(shù)f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求gn(x)的表達式；(2)若f(x)ag(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3)設(shè)nN*，比較g(1)g(2)g(n)與nf(n)的大小，并加以證明.7.考點三歸納猜想證明規(guī)律方法(1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納猜想證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理論證結(jié)論的正確性.(2)“歸納猜想證明”的基本步驟是“試驗歸納猜想證明”.高中階段與數(shù)列結(jié)合的問題是最常見的問題.【訓(xùn)練3】 設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足Sn2nan13n24n，nN*，且S315.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求數(shù)列an的通項公式.思想方法1.數(shù)學(xué)歸納法證明中的兩個步驟體現(xiàn)了遞推思想，第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，兩個步驟缺一不可，否則就會導(dǎo)致錯誤.有一無二，是不完全歸納法，結(jié)論不一定可靠；有二無一，第二步就失去了遞推的基礎(chǔ).2.歸納假設(shè)的作用在用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，對于歸納假設(shè)要注意以下兩點：(1)歸納假設(shè)就是已知條件；(2)在推證nk1時，必須用上歸納假設(shè).3.利用歸納假設(shè)的技巧在推證nk1時，可以通過湊、拆、配項等方法用上歸納假設(shè).此時既要看準(zhǔn)目標(biāo)，又要掌握nk與nk1之間的關(guān)系.在推證時，分析法、綜合法、反證法等方法都可以應(yīng)用.易錯防范1.數(shù)學(xué)歸納法證題時初始值n0不一定是1.2.推證nk1時一定要用上nk時的假設(shè)，否則不是數(shù)學(xué)歸納法.3.解“歸納猜想證明”題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確計算出前若干具體項，這是歸納、猜想的基礎(chǔ).否則將會做大量無用功.