第21練圓錐曲線的綜合應用【理】一.題型考點對對練1.(直線與圓錐曲線的位置關系)【黑龍江省齊齊哈爾2018屆模擬】已知橢圓，過橢圓的左焦點的直線交橢圓于兩點，其中點是橢圓的上頂點，橢圓的左頂點為，直線分別與直線相交于兩點.則（ ）A. B. C. D. 【答案】B本題選擇B選項.2.(圓錐曲線中的范圍、最值問題)已知雙曲線右焦點為F，P為雙曲線左支上一點，點,則周長的最小值為A. （B） C. （D）【答案】A3.(圓錐曲線中的定值、定點、存在性問題)如圖， 為橢圓長軸的左、右端點， 為坐標原點， 為橢圓上不同于的三點，直線圍成一個平行四邊形，則（ ）A. 14 B. 12 C. 9 D. 7【答案】A【解析】設， 斜率分別為，則的斜率為，且，所以，同理，因此.故選A4.(軌跡與軌跡方程)已知點，直線，直線垂直于點，線段的垂直平分線交于點.（1）求點的軌跡的方程；（2）已知點，過且與軸不垂直的直線交于兩點，直線分別交于點，求證：以為直徑的圓必過定點.（2）由題意可設直線，代入，得，設，則；又，設直線的斜率分別為，則，設，令，得，同理，得，從而；.又以為直徑的圓的方程為： ，即，即，令，解得或，從而以為直徑的圓恒過定點和.5.(直線與圓錐曲線的位置關系)【2018屆南京市聯(lián)考】已知橢圓： 的右焦點為，過作直線（不過原點）交橢圓于兩點，若的中點為，直線交橢圓的右準線于（1）若直線垂直軸時， ，求橢圓的離心率；（2）若橢圓的離心率，當直線斜率存在時設為，直線的斜率設為，試求的值。6. (圓錐曲線中的范圍、最值問題)如圖，在平面直角坐標系中，橢圓W： 的離心率為，直線l：y2上的點和橢圓W上的點的距離的最小值為1() 求橢圓W的方程；() 已知橢圓W的上頂點為A，點B，C是W上的不同于A的兩點，且點B，C關于原點對稱，直線AB，AC分別交直線l于點E，F(xiàn)記直線與的斜率分別為， 求證： 為定值； 求CEF的面積的最小值. 證法二：直線AC的方程為， 由得，解得，同理，因為B，O，C三點共線，則由，整理得，所以 直線AC的方程為，直線AB的方程為，不妨設，則，令y2，得，而，所以，CEF的面積 由得，則 ，當且僅當取得等號，所以CEF的面積的最小值為7. (圓錐曲線中的范圍、最值問題)如圖，過橢圓： 的左右焦點分別作直線， 交橢圓于與，且.（1）求證：當直線的斜率與直線的斜率都存在時， 為定值；（2）求四邊形面積的最大值.（2）當?shù)膬A斜角為時， 與重合，舍去.當?shù)膬A斜角不為0時，由對稱性得四邊形為平行四邊形， ，設直線的方程為，代入，得.顯然， ， .所以，設，所以， .所以.當且僅當即時等號成立，所以.所以平行四邊形面積的最大值為.8.(圓錐曲線中的定值、定點、存在性問題)已知的頂點，點在軸上移動， ，且的中點在軸上（）求點的軌跡的方程；（）已知過的直線交軌跡于不同兩點， ，求證： 與， 兩點連線， 的斜率之積為定值由得，所以， ，同理，所以與， 兩點連線的斜率之積為定值49. (圓錐曲線中的定值、定點、存在性問題)【江蘇省如東2018屆期中】已知橢圓的離心率為，其左、右焦點分別為，點是坐標平面內一點，且， （為坐標原點）.（1）求橢圓的方程；（2）過點且斜率為的動直線交橢圓于兩點，在軸上是否存在定點，使以為直徑的圓恒過該點？若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由.【解析】（1）設， ， ，則由，得；由得，即.所以.又因為，所以.因此所求橢圓的方程為： .（2）設動直線的方程為： ，由得.設， ，則， .假設在軸上是否存在定點，滿足題設，則， . ，由假設得對于任意的， 恒成立，即解得.因此，在軸上存在定點，使以為直徑的圓恒過該點，點的坐標為.二.易錯問題糾錯練10.（忽略軌跡的純粹性）如圖，拋物線： 與圓： 相交于， 兩點，且點的橫坐標為.過劣弧上動點作圓的切線交拋物線于， 兩點，分別以， 為切點作拋物線的切線， ， 與相交于點.（）求的值；（）求動點的軌跡方程.【解析】（）由點的橫坐標為，可得點的坐標為，代入，解得（）利用直線與圓錐曲線的位置關系，可知方程為，其中， 滿足， ，再利用中點公式，可知滿足，代入得，考慮到，知，動點的軌跡方程為， 【注意問題】求出軌跡方程后注意范圍，不符合的點11. （忽略對直線斜率不存在的情況）已知動圓過定點，并且內切于定圓.（1）求動圓圓心的軌跡方程；（2）若上存在兩個點，（1）中曲線上有兩個點，并且三點共線， 三點共線， ，求四邊形的面積的最小值.（2）當直線斜率不存在時，直線的斜率為0，易得，四邊形的面積.當直線斜率存在時，設其方程為，聯(lián)立方程得，消元得設，則，直線的方程為，得設，則，四邊形的面積，令， ，上式，令，（），綜上可得，最小值為8.【注意問題】設直線方程時，用到斜率需討論率不存在時12.（直線與圓錐曲線有兩個交點忽略）已知橢圓： 的上下兩個焦點分別為， ，過點與軸垂直的直線交橢圓于、兩點， 的面積為，橢圓的離心力為（）求橢圓的標準方程；（）已知為坐標原點，直線： 與軸交于點，與橢圓交于， 兩個不同的點，若存在實數(shù)，使得，求的取值范圍【解析】（）根據(jù)已知橢圓的焦距為，當時， ，由題意的面積為，由已知得，橢圓的標準方程為且， ，由，得，即，即當時， 不成立，即，解得或綜上所述， 的取值范圍為【注意問題】在解直線與二次曲線位置關系是，需考慮直線與二次曲線有有兩個交點即三.新題好題好好練13. 【四川省成都市2018屆一診】已知兩點分別在軸和軸上運動，且，若動點滿足（1）求出動點的軌跡對應曲線的標準方程；（2）直線與曲線交于兩點， ，試問：當變化時，是否存在一直線，使得面積為？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.（2）由方程組得設則所以因為直線過點，所以的面積，令則不成立，不存在直線滿足題意.14. 【2018屆遼寧省沈陽聯(lián)考】平面直角坐標系中，橢圓： （）的離心率是，拋物線： 的焦點是的一個頂點（1）求橢圓的方程；（2）設是上動點，且位于第一象限， 在點處的切線與交于不同的兩點， ，線段的中點為，直線與過且垂直于軸的直線交于點（i）求證：點在定直線上；（ii）直線與軸交于點，記的面積為， 的面積為，求的最大值及取得最大值時點的坐標，由，得且，因此,將其代入得，因為，所以直線方程為.聯(lián)立方程，得點的縱坐標為，即點在定直線上（）由（）知直線方程為，令得，所以，又 ，所以，所以，令，則，當，即時， 取得最大值，此時，滿足，所以點的坐標為，因此的最大值為，此時點的坐標為16.已知點是長軸長為的橢圓： 上異于頂點的一個動點， 為坐標原點， 為橢圓的右頂點，點為線段的中點，且直線與的斜率之積恒為.（1）求橢圓的方程；（2）設過左焦點且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，點橫坐標的取值范圍是，求的最小值.設， 中點，.的垂直平分線方程為，令，得，- 15 -