專題12 概率與統(tǒng)計【2018年高考考綱解讀】高考對本內(nèi)容的考查主要有：(1)抽樣方法的選擇、與樣本容量相關(guān)的計算，尤其是分層抽樣中的相關(guān)計算，A級要求(2)圖表中的直方圖、莖葉圖都可以作為考查點，尤其是直方圖更是考查的熱點，A級要求(3)特征數(shù)中的方差、標(biāo)準(zhǔn)差計算都是考查的熱點，B級要求(4)隨機事件的概率計算，通常以古典概型、幾何概型的形式出現(xiàn)，B級要求.【重點、考點剖析】 1概率問題(1)求某些較復(fù)雜的概率問題時，通常有兩種方法：一是將其分解為若干個彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A的對立事件的概率，然后利用P(A)1P()可得解；(2)用列舉法把古典概型試驗的基本事件一一列出來，然后再求出事件A中的基本事件，利用公式P(A)求出事件A的概率，這是一個形象、直觀的好辦法，但列舉時必須按照某一順序做到不重復(fù)，不遺漏；(3)求幾何概型的概率，最關(guān)鍵的一步是求事件A所包含的基本事件所占據(jù)區(qū)域的測度，這里需要解析幾何的知識，而最困難的地方是找出基本事件的約束條件2統(tǒng)計問題(1)統(tǒng)計主要是對數(shù)據(jù)的處理，為了保證統(tǒng)計的客觀和公正，抽樣是統(tǒng)計的必要和重要環(huán)節(jié)，抽樣的方法有三：簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣；(2)用樣本頻率分布來估計總體分布一節(jié)的重點是：頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用樣本頻率分布估計總體分布，考點是：頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應(yīng)用；(3)用莖葉圖優(yōu)點是原有信息不會抹掉，能夠展開數(shù)據(jù)發(fā)布情況，但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時，莖葉圖就顯得不太方便了；(4)兩個變量的相關(guān)關(guān)系中，主要能作出散點圖，了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性或歸方程系數(shù)或公式建立線性回歸方程.【題型示例】題型一 隨機事件及其概率例1、(2017·全國卷)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：)有關(guān)如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率【變式探究】 (2015·廣東，7)已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的概率為()A0.4 B0.6 C0.8 D1解析5件產(chǎn)品中有2件次品，記為a，b，有3件合格品，記為c，d，e，從這5件產(chǎn)品中任取2件，結(jié)果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)共10種恰有一件次品的結(jié)果有6種，則其概率為p0.6.答案B【變式探究】(2015·江蘇，5)袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為_解析這兩只球顏色相同的概率為，故兩只球顏色不同的概率為1.答案【變式探究】(2015·湖南，16)某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎抽獎方法是：從裝有2個紅球A1，A2和1個白球B的甲箱與裝有2個紅球a1，a2和2個白球b1、b2的乙箱中，各隨機摸出1個球，若摸出的2個球都是紅球則中獎，否則不中獎(1)用球的標(biāo)號列出所有可能的摸出結(jié)果；(2)有人認(rèn)為：兩個箱子中的紅球比白球多，所以中獎的概率大于不中獎的概率，你認(rèn)為正確嗎？請說明理由【變式探究】(2015·北京，17)某超市隨機選取1 000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計表，其中“”表示購買，“×”表示未購買.商品顧客人數(shù)甲乙丙丁100×217××200×300××85×××98×××(1)估計顧客同時購買乙和丙的概率；(2)估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率；(3)如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？解(1)從統(tǒng)計表可以看出，在這1 000位顧客中有200位顧客同時購買了乙和丙，所以顧客同時購買乙和丙的概率可以估計為0.2.【變式探究】(2015·四川，17)一輛小客車有5個座位，其座位號為1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位號分別為1，2，3，4，5，他們按照座位號從小到大的順序先后上車，乘客P1因身體原因沒有坐自己的1號座位，這時司機要求余下的乘客按以下規(guī)則就坐：如果自己的座位空著，就只能坐自己的座位如果自己的座位已有乘客就坐，就在這5個座位的剩余空位中選擇座位(1)若乘客P1坐到了3號座位，其他乘客按規(guī)則就座，則此時共有4種坐法下表給出了其中兩種坐法，請?zhí)钊胗嘞聝煞N坐法(將乘客就坐的座位號填入表中空格處) 乘客P1P2P3P4P5座位號3214532451(2)若乘客P1坐在了2號座位，其他的乘客按規(guī)則就坐，求乘客P5坐到5號座位的概率解(1)余下兩種坐法如下表所示： 乘客P1P2P3P4P5座位號3241532541(2)若乘客P1坐到了2號座位，其他乘客按規(guī)則就坐，則所有可能的坐法可用下表表示為：乘客P1P2P3P4P5座位號2134523145234152345123541243152435125341于是，所有可能的坐法共8種，設(shè)“乘客P5坐到5號座位”為事件A，則事件A中的基本事件的個數(shù)為4，所以P(A).題型二古典概型例2(2017·全國卷)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()A.B.C. D.【答案】D【2017山東】從分別標(biāo)有，的張卡片中不放回地隨機抽取2次，每次抽取1張則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是（A） （B） （C） （D）【答案】C【變式探究】【2016高考新課標(biāo)1文數(shù)】為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中,余下的2種花種在另一個花壇中,則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】將4種顏色的花種任選2種種在一個花壇中，余下2種種在另一個花壇中，有6種種法，其中紅色和紫色的花不在同一個花壇的種數(shù)有4種，故所求概率為，選C. 【變式探究】(2015·新課標(biāo)全國，4)如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)，從1，2，3，4，5中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A. B. C. D.解析從1，2，3，4，5中任取3個數(shù)有10個基本事件，構(gòu)成勾股數(shù)的只有3，4，5一組，故概率為.答案C【變式探究】(2015·天津，15)設(shè)甲、乙、丙三個乒乓球協(xié)會的運動員人數(shù)分別為27，9，18，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這三個協(xié)會中抽取6名運動員組隊參加比賽(1)求應(yīng)從這三個協(xié)會中分別抽取的運動員的人數(shù)；(2)將抽取的6名運動員進行編號，編號分別為A1，A2，A3，A4，A5，A6，現(xiàn)從這6名運動員中隨機抽取2人參加雙打比賽用所給編號列出所有可能的結(jié)果；設(shè)A為事件“編號為A5和A6的兩名運動員中至少有1人被抽到”，求事件A發(fā)生的概率解(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個協(xié)會中抽取的運動員人數(shù)分別為3，1，2.(2)從6名運動員中隨機抽取2人參加雙打比賽的所有可能結(jié)果為A1，A2，A1，A3，A1，A4，A1，A5，A1，A6，A2，A3，A2，A4，A2，A5，A2，A6，A3，A4，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共15種編號為A5和A6的兩名運動員中至少有1人被抽到的所有可能結(jié)果為A1，A5，A1，A6，A2，A5，A2，A6，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共9種因此，事件A發(fā)生的概率P(A).【變式探究】(2015·山東，16)某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法社團和演講社團的情況，數(shù)據(jù)如下表：(單位：人)參加書法社團未參加書法社團參加演講社團85未參加演講社團230(1) 從該班隨機選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個社團的概率；(2)在既參加書法社團又參加演講社團的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)A1，A2，A3，A4，A5，3名女同學(xué)B1，B2，B3.現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機選1人，求A1被選中且B1未被選中的概率題型三幾何概型例3【2017課標(biāo)1，】如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是ABCD【答案】B【變式探究】(2017·江蘇卷)記函數(shù)f(x)的定義域為D.在區(qū)間4,5上隨機取一個數(shù)x，則xD的概率是_解析：由6xx20，解得2x3，則D2,3，則所求概率為.答案：【變式探究】(2015·山東，7)在區(qū)間0，2上隨機地取一個數(shù)x，則事件“1log1”發(fā)生的概率為()A. B. C. D.解析由1log1，得x2，0x.由幾何概型的概率計算公式得所求概率P.答案A【變式探究】(2015·湖北，8)在區(qū)間0，1上隨機取兩個數(shù)x，y，記p1為事件“xy”的概率，p2為事件“xy”的概率，則()Ap1<p2< Bp2<<p1C.<p2<p1 Dp1<<p2解析在直角坐標(biāo)系中，依次作出不等式xy，xy的可行域如圖所示：依題意，p1，p2，而，所以p1<<p2.故選D. 答案D【變式探究】(2015·福建，8)如圖，矩形ABCD中，點A在x軸上，點B的坐標(biāo)為(1，0)，且點C與點D在函數(shù)f(x)的圖象上若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于()A. B. C. D.答案B【變式探究】(2015·重慶，15)在區(qū)間0，5上隨機地選擇一個數(shù)p，則方程x22px3p20有兩個負根的概率為_解析方程x22px3p20有兩個負根，則有即解得p2或p1，又p0，5，則所求概率為p.答案題型四隨機抽樣例4(1)(2017·江蘇卷)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,400,300,100件為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進行檢驗，則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取_件；(2)在一次馬拉松比賽中，35名運動員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示.若將運動員按成績由好到差編為135號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間139,151上的運動員人數(shù)是_【答案】18 4 【變式探究】(2015·四川，3)某學(xué)校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學(xué)生視力是否存在顯著差異，擬從這三個年級中按人數(shù)比例抽取部分學(xué)生進行調(diào)查，則最合理的抽樣方法是()A抽簽法 B系統(tǒng)抽樣法C分層抽樣法 D隨機數(shù)法解析結(jié)合幾種抽樣的定義知選C. 答案C【變式探究】(2015·北京，4)某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見下表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本的老年教師人數(shù)為()A90 B100 C180 D300類別人數(shù)老年教師900中年教師1 800青年教師1 600合計4 300解析由題意抽樣比為，該樣本的老年教師人數(shù)為900×180(人)答案C【變式探究】(2015·福建，13)某校高一年級有900名學(xué)生，其中女生400名按男女比例用分層抽樣的方法，從該年級學(xué)生中抽取一個容量為45的樣本，則應(yīng)抽取的男生人數(shù)為_答案25題型五統(tǒng)計 例5(1)(2017·全國卷)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是()A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)(2)(2017·山東卷)為了研究某班學(xué)生的腳長x(單位：厘米)和身高y(單位：厘米)的關(guān)系，從該班隨機抽取10名學(xué)生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系設(shè)其回歸直線方程為x.已知i225，i1 600，4.該班某學(xué)生的腳長為24，據(jù)此估計其身高為()A160B163C166 D170 【變式探究】(2015·陜西，2)某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為()A93 B123 C137 D167解析由題干扇形統(tǒng)計圖可得該校女教師人數(shù)為：110×70%150×(160%)137.故選C.答案C【變式探究】(2015·湖南，2)在一次馬拉松比賽中，35名運動員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示若將運動員按成績由好到差編為135號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間139，151上的運動員人數(shù)是()A3 B4 C5 D6答案B【變式探究】(2015·湖北，14)某電子商務(wù)公司對10 000名網(wǎng)絡(luò)購物者2014年度的消費情況進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額(單位：萬元)都在區(qū)間0.3，0.9內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示(1)直方圖中的a_；(2)在這些購物者中，消費金額在區(qū)間0.5，0.9內(nèi)的購物者的人數(shù)為_解析由頻率分布直方圖及頻率和等于1可得0.2×0.10.8×0.11.5×0.12×0.12.5×0.1a×0.11，解之得a3.于是消費金額在區(qū)間0.5，0.9內(nèi)頻率為0.2×0.10.8×0.12×0.13×0.10.6，所以消費金額在區(qū)間0.5，0.9內(nèi)的購物者的人數(shù)為：0.6×10 0006 000，故應(yīng)填3，6 000.答案(1)3(2)6 000【變式探究】(2015·新課標(biāo)全國，18)某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了40個用戶，根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分，得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表滿意度評分分組50，60)60，70)70，80)80，90)90，100頻數(shù)2814106(1)在答題卡上作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結(jié)論即可)；B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖(2)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度分為三個等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由滿意”由直方圖得P(CA)的估計值為(0.010.020.03)×100.6，P(CB)的估計值為 (0.0050.02)×100.25.所以A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大【變式探究】(2015·安徽，17)某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為40，50)，50，60)，80，90)，90，100(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率；(3)從評分在40，60)的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人的評分都在40，50)的概率【變式探究】(2015·廣東，17)某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以160，180)，180，200)，200，220)，220，240)，240，260)，260，280)，280，300分組的頻率分布直方圖如圖(1)求直方圖中x的值；(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；(3)在月平均用電量為220，240)，240，260)，260，280)，280，300的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在220，240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶？題型六變量間的相關(guān)關(guān)系例6(2015·新課標(biāo)全國，3)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位：萬噸)柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是()A逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)答案D【變式探究】(2015·湖北，4)已知變量x和y滿足關(guān)系y0.1x1，變量y與z正相關(guān)，下列結(jié)論中正確的是()Ax與y正相關(guān)，x與z負相關(guān)Bx與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)Cx與y負相關(guān)，x與z負相關(guān)Dx與y負相關(guān)，x與z正相關(guān)解析因為y0.1x1，0.1<0，所以x與y負相關(guān)又y與z正相關(guān)，故可設(shè)zayb(a>0)，所以z0.1axab，0.1a<0，所以x與z負相關(guān)故選C.答案C【變式探究】(2015·北京，14)高三年級267位學(xué)生參加期末考試，某班37位學(xué)生的語文成績，數(shù)學(xué)成績與總成績在全年級中的排名情況如下圖所示，甲、乙、丙為該班三位學(xué)生從這次考試成績看，在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學(xué)生是_；在語文和數(shù)學(xué)兩個科目中，丙同學(xué)的成績名次更靠前的科目是_解析由散點圖可知：越靠近坐標(biāo)原點O名次越好，乙同學(xué)語文成績好，而總成績年級名次靠后；而甲同學(xué)語文成績名次比總成績名次差，所以應(yīng)是乙同學(xué)語文成績名次比總成績名次靠前丙同學(xué)總成績年級名次比數(shù)學(xué)成績年級名次差，所以丙同學(xué)成績名次更靠前的是數(shù)學(xué)答案乙數(shù)學(xué)【變式探究】(2015·重慶，17)隨著我國經(jīng)濟的發(fā)展，居民的儲蓄存款逐年增長設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款(年底余額)如下表：年份20102011201220132014時間代號t12345儲蓄存款y(千億元)567810(1)求y關(guān)于t的回歸方程t；(2)用所求回歸方程預(yù)測該地區(qū)2015年(t6)的人民幣儲蓄存款附：回歸方程t中，yt.18