命題角度5.6：圓錐曲線的探究、存在性問(wèn)題1.已知橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率，直線的方程為 （1）求橢圓的方程； （2）經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的任一直線（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)）與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)直線與相交于點(diǎn)，記的斜率分別為，問(wèn)：是否為定值，若是，求出此定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）；（2）為定值.試題解析：（1）由點(diǎn)在橢圓上得， 由 得，故橢圓的方程為.（2）由題意可設(shè)的斜率為，則直線的方程為 代入橢圓方程并整理得設(shè)，則有 在方程中，令得，從而.又因?yàn)楣簿€，則有，即有所以 = 將代入得 ，又，所以 為定值.點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問(wèn)題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問(wèn)題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問(wèn)題，弦長(zhǎng)問(wèn)題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用2.已知橢圓：（），以橢圓的短軸為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓左右兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)（1）求圓的方程和橢圓的離心率；（2）設(shè)，分別是橢圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)（，位于軸兩側(cè)），且直線與軸平行，直線，分別與軸交于點(diǎn)，試判斷與所在的直線是否互相垂直，若是，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不是，也請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）;（2）與所在的直線互相垂直試題解析：（1）由橢圓定義可得，又且，解得，則圓的方程為，橢圓的離心率（2）如圖所示，設(shè)（），則即又由：，得由：，得所以 ，所以，所以，即與所在的直線互相垂直點(diǎn)睛：本題考查橢圓方程和圓方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的定義和基本量的關(guān)系，考查定值問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用向量的數(shù)量積的性質(zhì)，向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求交點(diǎn)，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題.3.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，且離心率為，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)， 內(nèi)切圓面積的最大值為. （1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)分別交直線于兩點(diǎn)，以為直徑的圓是否恒過(guò)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）和【解析】試題分析：（1）首先設(shè)，然后根據(jù)離心率得到與的關(guān)系，再根據(jù)三角形面積取得最大值時(shí)點(diǎn)為短軸端點(diǎn)，由此求得的值，從而求得橢圓方程；（2）首先設(shè)出直線的方程，并聯(lián)立橢圓方程，然后利用韋達(dá)定理結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得定點(diǎn)坐標(biāo)（2）設(shè)直線的方程為， ， ，聯(lián)立可得，則， ，直線的方程為，直線的方程為，則， ，假設(shè)為直徑的圓是否恒過(guò)定點(diǎn)，則， ，即，即，即，若為直徑的圓是否恒過(guò)定點(diǎn)，即不論為何值時(shí)， 恒成立，因此， ， 或，即恒過(guò)定點(diǎn)和考點(diǎn)：1、橢圓的幾何性質(zhì)；2、直線與橢圓的位置關(guān)系；3、向量數(shù)量積的運(yùn)算【方法點(diǎn)睛】求解圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問(wèn)題的方法有兩種：一是研究一般情況，通過(guò)邏輯推理與計(jì)算得到定點(diǎn)或定值，這種方法難度大，運(yùn)算量大，且思路不好尋找；另外一種方法就是先利用特殊情況確定定點(diǎn)或定值，然后驗(yàn)證，這樣在整理式子或求值時(shí)就有了明確的方向4.已知橢圓的離心率為，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形的面積是4，圓過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)作圓的兩條切線分別與橢圓相交于兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)），直線的斜率分別為.（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)變化時(shí)，求的值；試問(wèn)直線是否過(guò)某個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（1）由題設(shè)知， ， ，又，解得，由此可得求橢圓的方程；（2），則有，化簡(jiǎn)得，對(duì)于直線，同理有，于是是方程的兩實(shí)根，故，即可證明結(jié)果；考慮到時(shí)， 是橢圓的下頂點(diǎn)， 趨近于橢圓的上頂點(diǎn)，故若過(guò)定點(diǎn)，則猜想定點(diǎn)在軸上.由，得，于是有，直線的斜率為，直線的方程為，令，得，即可證明直線過(guò)定點(diǎn).試題解析：（1）由題設(shè)知， ， ，又，解得.故所求橢圓的方程是.由，得，于是有.直線的斜率為，直線的方程為，令，得，故直線過(guò)定點(diǎn).5. 已知： 與： ，以， 分別為左右焦點(diǎn)的橢圓： 經(jīng)過(guò)兩圓的交點(diǎn)。（）求橢圓的方程；（）、是橢圓上的兩點(diǎn)，若直線與的斜率之積為，試問(wèn)的面積是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由?！敬鸢浮浚ǎ? （）的面積為定值3.【解析】試題分析：（）設(shè)兩圓的交點(diǎn)為，依題意有解得，進(jìn)而得；（）討論斜率不存在和斜率存在時(shí)兩種情況，設(shè)直線的方程為， ， ，直線與橢圓聯(lián)立得， ，由，得，表示面積即可得定值.試題解析：（）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè) 又設(shè)直線的方程為， ， ，由，得，由，得 （*）且， ，整理得， 代入（*）得， 原點(diǎn)到直線的距離（定值）。綜上所述， 的面積為定值3.點(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問(wèn)題通常是通過(guò)設(shè)參數(shù)或取特殊值來(lái)確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問(wèn)題，證明該式是恒定的. 定點(diǎn)、定值問(wèn)題同證明問(wèn)題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).6.已知橢圓（）的左、右頂點(diǎn)分別為，左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)， 為線段的中點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓的交于兩點(diǎn)，已知直線與相交于點(diǎn)，試判斷點(diǎn)是否在定直線上？若是，請(qǐng)求出定直線的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（）（）詳見(jiàn)解析試題解析: （）設(shè)點(diǎn)，由題意可知： ，即 又因?yàn)闄E圓的離心率，即 聯(lián)立方程可得： ，則所以橢圓的方程為（）方法一：根據(jù)橢圓的對(duì)稱性猜測(cè)點(diǎn)是與軸平行的直線上假設(shè)當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)點(diǎn) ，則聯(lián)立直線和直線可得點(diǎn)據(jù)此猜想點(diǎn)在直線上，下面對(duì)猜想給予證明： 設(shè)，聯(lián)立方程可得： 由韋達(dá)定理可得， （*）因?yàn)橹本€， ，聯(lián)立兩直線方程得（其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo)）即證： ，即，即證 將（*）代入上式可得此式明顯成立，原命題得證所以點(diǎn)在定直線上上方法二：設(shè)， 兩兩不等，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，整理得： 又三點(diǎn)共線，有： 又三點(diǎn)共線，有： 將與兩式相除得：即，將即代入得： 解得（舍去）或，所以點(diǎn)在定直線上方法三：顯然與軸不垂直，設(shè)的方程為， .由得.設(shè)， 兩兩不等，則， ， 由三點(diǎn)共線，有： 由三點(diǎn)共線，有： 與兩式相除得：解得（舍去）或，所以點(diǎn)在定直線上點(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問(wèn)題通常是通過(guò)設(shè)參數(shù)或取特殊值來(lái)確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問(wèn)題，證明該式是恒定的. 定點(diǎn)、定值問(wèn)題同證明問(wèn)題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓（），圓（），若圓的一條切線與橢圓相交于兩點(diǎn).（1）當(dāng)， 時(shí)，若點(diǎn)都在坐標(biāo)軸的正半軸上，求橢圓的方程；（2）若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，探究是否滿足，并說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得，由點(diǎn)都在坐標(biāo)軸的正半軸上，即可求得和的值，求得橢圓方程；（2）由以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得，即，由在直線上，可將用表示，然后聯(lián)立直線與橢圓的方程結(jié)合韋達(dá)定理得，化簡(jiǎn)可得結(jié)論.試題解析：（1）直線與相切，.由， ，解得.點(diǎn)都在坐標(biāo)軸正半軸上，.切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為， .， .橢圓的方程是.（2）的關(guān)系滿足.證明如下：設(shè)， 以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即.點(diǎn)在直線上，. （*）由消去，得.即顯然由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得代入（*）式，得.整理，得.又由（1），有.消去，得滿足等量關(guān)系.點(diǎn)睛：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系之相切以及直線與橢圓的位置關(guān)系之相交與韋達(dá)定理相結(jié)合，計(jì)算量較大，由一定難度；由直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)可得橢圓中的， 的值，即可得橢圓的方程，對(duì)于第二問(wèn)主要用到直徑所對(duì)的圓周角為直角轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為，由直線相交得與的關(guān)系，最后用到最常見(jiàn)的直線與橢圓相交聯(lián)立方程組與韋達(dá)定理結(jié)合，得.8.已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為（）求橢圓的方程；（）設(shè)是橢圓上的點(diǎn)，直線與（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率之積為若動(dòng)點(diǎn)滿足，試探究是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（）; （）見(jiàn)解析.【解析】試題分析：()利用橢圓的離心率計(jì)算公式和點(diǎn)在橢圓上列方程組求解即可得出()利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算、點(diǎn)在橢圓上滿足橢圓的方程、斜率計(jì)算公式及其橢圓的定義即可得出試題解析：() 又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) 解得：，所以橢圓的方程為設(shè)，分別為直線與的斜率，由題意知，因此所以，所以點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，所以由橢圓的定義知存在點(diǎn)，滿足為定值又因?yàn)椋宰鴺?biāo)分別為、9.已知右焦點(diǎn)為的橢圓與直線相交于、兩點(diǎn)，且.（1）求橢圓的方程；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)， ， ， 是橢圓上不同的三點(diǎn)，并且為的重心，試探究的面積是否為定值，若是，求出這個(gè)定值；若不是，說(shuō)明理由.【答案】(1) ；(2)是， .【解析】（1）設(shè)， ，則 ， ，即， ，即，由得，又， ， 橢圓的方程為 （2）設(shè)直線方程為： ，由得， 為重心， ， 點(diǎn)在橢圓上，故有，可得， 而，點(diǎn)到直線的距離（是原點(diǎn)到距離的3倍得到）， 當(dāng)直線斜率不存在時(shí)， ， ， ，的面積為定值10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）已知為定直線上一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作的垂線交軌跡于點(diǎn)（不在軸上），求證：直線與的斜率之積是定值；若點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線交軌跡于不同兩點(diǎn)，線段上的點(diǎn)滿足，求證：點(diǎn)恒在一條定直線上.【答案】（1）（2）直線與的斜率之積為定值點(diǎn)在定直線上【解析】試題分析：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，直接利用軌跡方程定義計(jì)算即可；（2），令，由，得，即，即，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，而的斜率分別為，于是，即直線與的斜率之積為定值； 令，則，代入橢圓，消元即可證明點(diǎn)在定直線上試題解析：（1）設(shè)，則，點(diǎn)到直線的距離，由，得，化簡(jiǎn)得，即點(diǎn)在軌跡的方程為；令，則，令點(diǎn)，則，即，即由×，×，得，因?yàn)樵跈E圓上，所以，×2+×3，得，即，所以點(diǎn)在定直線上本題主要考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，是高考的必考點(diǎn)，屬于難題求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程，求出即可，注意的應(yīng)用；涉及直線與圓錐曲線相交時(shí)，未給出直線時(shí)需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程，要特別注意直線斜率是否存在的問(wèn)題，避免不分類討論造成遺漏，然后要聯(lián)立方程組，得一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系寫(xiě)出，再根據(jù)具體問(wèn)題應(yīng)用上式，其中要注意判別式條件的約束作用- 20 -