專題54 二項分布及其應(yīng)用了解條件概率和兩個事件相互獨(dú)立的概念，理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單的實際問題.一、條件概率與相互獨(dú)立事件的概率1條件概率及其性質(zhì)（1）對于任何兩個事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號P(B|A)來表示，其公式為()在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的個數(shù)，則(n(AB)表示A，B共同發(fā)生的基本事件的個數(shù))（2）條件概率具有的性質(zhì)；如果B和C是兩個互斥事件，則.2相互獨(dú)立事件（1）對于事件A，B，若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響，則稱A，B是相互獨(dú)立事件（2）若A與B相互獨(dú)立，則（3）若A與B相互獨(dú)立，則A與，與B，與也都相互獨(dú)立（4）若，則A與B相互獨(dú)立【注】中至少有一個發(fā)生的事件為AB；都發(fā)生的事件為AB；都不發(fā)生的事件為；恰有一個發(fā)生的事件為；至多有一個發(fā)生的事件為.二、獨(dú)立重復(fù)試驗與二項分布1獨(dú)立重復(fù)試驗在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗若表示第i次試驗結(jié)果，則.【注】獨(dú)立重復(fù)試驗是各次之間相互獨(dú)立的一種試驗，在這種試驗中每一次試驗只有兩種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗中各事件發(fā)生的概率都是一樣的2二項分布在n次獨(dú)立重復(fù)試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率是p，此時稱隨機(jī)變量X服從二項分布，記作XB(n，p)，并稱p為成功概率.在n次獨(dú)立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為考向一 條件概率條件概率的兩種解法：(1)定義法：先求和，再由求(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)，再求事件A發(fā)生的條件下事件B包含的基本事件數(shù)，得.典例1 從1，2，3，4，5中任取2個不同的數(shù)，事件A=“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B=“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則等于A B C D【答案】B解法二：，n(AB)=1，P(B|A)=，故選B1如圖，四邊形是以為圓心、半徑為2的圓的內(nèi)接正方形，四邊形是正方形的內(nèi)接正方形，且分別為的中點.將一枚針隨機(jī)擲到圓內(nèi)，用表示事件“針落在正方形內(nèi)”，表示事件“針落在正方形內(nèi)”，則A     B C     D 考向二 相互獨(dú)立事件的概率求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率的方法(1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面計算較繁瑣或難以入手時，可從其對立事件入手計算典例2 已知甲射擊命中目標(biāo)的概率是，乙命中目標(biāo)的概率是，丙命中目標(biāo)的概率是現(xiàn)在三人同時射擊目標(biāo)，則目標(biāo)被擊中的概率為A B C D【答案】A2在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1000元，此作物的市場價格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表：作物產(chǎn)量(kg)300500概率0.50.5作物市場價格(元/kg)610概率0.40.6（1）設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列；（2）若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率考向三 獨(dú)立重復(fù)試驗與二項分布獨(dú)立重復(fù)試驗與二項分布問題的常見類型及解題策略：(1)在求n次獨(dú)立重復(fù)試驗中事件恰好發(fā)生k次的概率時，首先要確定好n和k的值，再準(zhǔn)確利用公式求概率即可(2)根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗求二項分布的有關(guān)問題時，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項分布的試驗次數(shù)n和變量的概率，求得概率典例3 設(shè)隨機(jī)變量B(2，p)，B(4，p)，若P(1)=，則P(2)的值為A BC D【答案】B3某居民小區(qū)有兩個相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和p.（1）若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求p的值；（2）設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望1已知隨機(jī)變量服從二項分布，則等于A B C D2已知P(B|A)=，P(A)=，則P(AB)等于A BC D3甲、乙兩人同時報考某一所大學(xué)，甲被錄取的概率為0.6，乙被錄取的概率為0.7，兩人是否被錄取互不影響，則其中至少有一人被錄取的概率為A0.12 B0.42C0.46 D0.884已知某品種的幼苗每株成活率為，則栽種3株這種幼苗恰好成活2株的概率為A B C D5設(shè)隨機(jī)變量服從二項分布，且期望，則方差等于A B C D6盒中裝有10只乒乓球，其中6只新球，4只舊球，不放回地依次摸出2個球使用，在第一次摸出新球的條件下，第二次也摸出新球的概率為A B C D7如圖，現(xiàn)有一迷失方向的小青蛙在3處，它每跳動一次可以等機(jī)會地進(jìn)入相鄰的任意一格（如若它在5處，跳動一次，只能進(jìn)入3處，若在3處，則跳動一次可以等機(jī)會進(jìn)入l，2，4，5處），則它在第三次跳動后，進(jìn)入5處的概率是 AB C D8集裝箱有標(biāo)號為1，2，3，4，5，6且大小相同的6個球，從箱中一次摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩球號碼之積是4的倍數(shù)，則獲獎.若有4人參與摸獎，恰好有3人獲獎的概率是A B C D9如圖所示，在邊長為1的正方形內(nèi)任取一點，用表示事件“點恰好取自由曲線與直線及軸所圍成的曲邊梯形內(nèi)”，表示事件“點恰好取自陰影部分內(nèi)”，則等于A B C D10為了響應(yīng)國家發(fā)展足球的戰(zhàn)略，某校在秋季運(yùn)動會中，安排了足球射門比賽.現(xiàn)有10名同學(xué)參加足球射門比賽，已知每名同學(xué)踢進(jìn)的概率均為，每名同學(xué)有2次射門機(jī)會，且各同學(xué)射門之間沒有影響.現(xiàn)規(guī)定：踢進(jìn)兩個得10分，踢進(jìn)一個得5分，一個未進(jìn)得0分，記為10個同學(xué)的得分總和，則的數(shù)學(xué)期望為A30 B40 C60 D8011某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過2個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是，則這名學(xué)生在上學(xué)路上到第二個路口時第一次遇到紅燈的概率是_12某校高三年級要從名男生和名女生中任選名代表參加數(shù)學(xué)競賽（每人被選中的機(jī)會均等），則在男生甲被選中的情況下，男生乙和女生丙至少一個被選中的概率是_13已知某智能手機(jī)制作完成之后還需要依次通過三道嚴(yán)格的審核程序，第一道審核、第二道審核、第三道審核通過的概率分別為，每道程序是相互獨(dú)立的，且一旦審核不通過就停止審核，每部手機(jī)只有三道程序都通過才能出廠銷售（1）求審核過程中只通過兩道程序的概率；（2）現(xiàn)有3部該智能手機(jī)進(jìn)入審核，記這3部手機(jī)可以出廠銷售的部數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望14甲、乙、丙三人組成一個小組參加電視臺舉辦的聽曲猜歌名活動，在每一輪活動中，依次播放三首樂曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜錯，則活動立即結(jié)束；若三人均猜對，則該小組進(jìn)入下一輪，該小組最多參加三輪活動已知每一輪甲猜對歌名的概率是，乙猜對歌名的概率是，丙猜對歌名的概率是，甲、乙、丙猜對與否互不影響（1）求該小組未能進(jìn)入第二輪的概率；（2）記乙猜歌曲的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望15統(tǒng)計全國高三學(xué)生的視力情況，得到如圖所示的頻率分布直方圖，由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻率成等比數(shù)列，后6組的頻率成等差數(shù)列.（1）求出視力在4.7，4.8)的頻率；（2）現(xiàn)從全國的高三學(xué)生中隨機(jī)地抽取4人，用表示視力在4.3，4.7)的學(xué)生人數(shù)，寫出的分布列，并求出的期望與方差.1(2015年高考新課標(biāo)卷)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測試的概率為A0.648 B0.432C0.36D0.3122（2014年高考新課標(biāo)卷）某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是A0.8 B0.75C0.6 D0.453(2017年高考新課標(biāo)卷)一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，則_4(2016年高考四川卷)同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值是 .5(2015年高考廣東卷)已知隨機(jī)變量X服從二項分布，若，則 .6（2016年高考新課標(biāo)卷）某險種的基本保費(fèi)為a（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費(fèi)與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)012345保 費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下：一年內(nèi)出險次數(shù)012345概 率0.300.150.200.200.100. 05（1）求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；（2）若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率；（3）求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值.7（2016年高考山東卷）甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分.已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊”參加兩輪活動，求：（1）“星隊”至少猜對3個成語的概率；（2）“星隊”兩輪得分之和為的分布列和數(shù)學(xué)期望.8（2015年高考湖南卷）某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎.每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個球.在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎.（1）求顧客抽獎1次能獲獎的概率；（2）若某顧客有3次抽獎機(jī)會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.變式拓展1【答案】C 2【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300 kg”，B表示事件“作物市場價格為6元/kg”，由題設(shè)知，因為利潤=產(chǎn)量×市場價格成本，所以X所有可能的取值情況為： ，.則，所以X的分布列為X40002000800P0.30.50.2所以，這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率為.3【答案】（1）；（2）見解析.【解析】（1）設(shè)“至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么，解得p=.（2）由題意得，的所有可能取值為， 則P(=0)=C3=，P(=1)=C2×=，P(=2)=C××2=，P(=3)=C3=.所以，隨機(jī)變量的分布列為0123P.（或，則）考點沖關(guān)1【答案】C【解析】由二項分布可知，選C.2【答案】C【解析】由題意，又P(B|A)=，P(A)=，所以P(AB)=P(B|A)·P(A)=×=.3【答案】D【解析】至少有一人被錄取的概率為 4【答案】D5【答案】C【解析】由于二項分布的數(shù)學(xué)期望，所以二項分布的方差，應(yīng)選C.6【答案】B【解析】設(shè)“第一次摸出新球”為事件，“第二次摸出新球”為事件，則，故選B.7【答案】C【解析】小青蛙的跳動路線：第一次跳動后由3到1，2，4，5的任意位置，第二次跳回3，第三次跳回5，依據(jù)相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率可知所求概率為.8【答案】B【解析】獲獎的概率為，記獲獎的人數(shù)為，則，所以4人中恰好有3人獲獎的概率為，故選B.9【答案】A，故選A 10【答案】C【解析】由題意知每個學(xué)生的進(jìn)球個數(shù)服從二項分布，即，其中，所以由二項分布的數(shù)學(xué)期望公式可得每個學(xué)生進(jìn)球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，因此10個同學(xué)得分的數(shù)學(xué)期望是，應(yīng)選C.11【答案】【解析】根據(jù)題意，設(shè)“這名學(xué)生在上學(xué)路上到第二個路口首次遇到紅燈”為事件，則所求概率為，故答案為.12【答案】【解析】男生甲被選中記作事件A，男生乙和女生丙至少一個被選中記作事件B，則，由條件概率公式可得： .13【答案】（1） ；（2）見解析.【解析】（1）設(shè)“審核過程中只通過兩道程序”為事件，則.所以的分布列為： 故.(或，則).【思路分析】（1）根據(jù)題意只通過兩道程序是指前兩道通過，第三道未通過，利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式即可求出結(jié)果；（2）計算出每部智能手機(jī)可以出廠銷售的概率為，的取值是，根據(jù)互斥事件和相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率列出分布列，最后求出分布列和期望即可.14【答案】（1）；（2）見解析.，的分布列為.【思路點睛】（1）分別將甲、乙、丙第次猜對歌名記為事件，則，相互獨(dú)立，由此可得出該小組未能進(jìn)入第二輪的概率.（2）利用相互獨(dú)立事件的概率計算公式、對立事件的概率計算公式即可得出15【答案】（1）；（2）見解析.， 所以， ， ，所以的分布列為：01234，.【思路點睛】（1）結(jié)合頻率分布直方圖和題意，分別求出前4組的頻率以及后6組的頻率之和，由等差數(shù)列前n項和公式，求出公差，再算出視力在4.7，4.8)內(nèi)的頻率；（2）求出視力在4.3，4.7)內(nèi)的頻率，學(xué)生人數(shù)服從二項分布，由二項分布的概率計算公式求出分布列，再算出期望與方差.直通高考1【答案】A【解析】根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗公式得，該同學(xué)通過測試的概率為=0.648，故選A.2【答案】A【解析】記事件A表示“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，事件B表示“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，則，P(AB)=0.6，由條件概率公式P(B|A)=，可得所求概率為=0.8，故選A3【答案】【名師點睛】判斷一個隨機(jī)變量是否服從二項分布，要看兩點：是否為n次獨(dú)立重復(fù)試驗，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率是否均為p；隨機(jī)變量是否為在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生的次數(shù)，且表示在獨(dú)立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率4【答案】【解析】由題意知，試驗成功的概率，故，.5【答案】【解析】依題意可得且，解得.6【答案】（1）；（2）；（3）1.23.【解析】（1）設(shè)表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”，則事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1，故 （3）記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為，則的分布列為因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為【名師點睛】條件概率的求法：(1)定義法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)，求出P(B|A)；(2)基本事件法：當(dāng)基本事件適合有限性和等可能性時，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A).求離散型隨機(jī)變量均值的步驟：(1)理解隨機(jī)變量X的意義，寫出X可能取得的全部值；(2)求X取每個值時的概率；(3)寫出X的分布列；(4)由均值定義求出EX7【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【解析】（1）記事件A:“甲第一輪猜對”，記事件B：“乙第一輪猜對”，記事件C：“甲第二輪猜對”，記事件D：“乙第二輪猜對”，記事件E：“星隊至少猜對3個成語”.由題意， 由事件的獨(dú)立性與互斥性，得 ，所以“星隊”至少猜對3個成語的概率為.可得隨機(jī)變量的分布列為012346P所以數(shù)學(xué)期望.【名師點睛】本題主要考查獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.解答本題，首先要準(zhǔn)確確定所研究對象的基本事件空間、基本事件個數(shù)，利用獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本題較難，能很好地考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、基本運(yùn)算求解能力等.8【答案】（1）；（2）見解析.=×(1)+(1)×.故所求概率為P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+.（2）顧客抽獎3次可視為3次獨(dú)立重復(fù)試驗，由（1）知，顧客抽獎1次獲一等獎的概率為，所以XB(3，).于是P(X=0)=()0()3=，P(X=1)=()1()2=，P(X=2)=()2()1=，P(X=3)=()3()0=.故X的分布列為X0123PX的數(shù)學(xué)期望為E(X)=3×.【思路分析】本題考查相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率和離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查考生的運(yùn)算求解能力及分析問題、解決問題的能力.第（1）問利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式求解；第（2）問離散型隨機(jī)變量服從二項分布，進(jìn)而利用公式得相應(yīng)的概率，寫出分布列，求出數(shù)學(xué)期望.22