考點(diǎn)50 與離散型隨機(jī)變量的分布列、均值相結(jié)合的綜合問(wèn)題【考綱要求】理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差概念解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.【命題規(guī)律】離散型隨機(jī)變量的期望與方差的應(yīng)用，是高考的重要考點(diǎn)，不僅考查學(xué)生的理解能力與數(shù)學(xué)計(jì)算能力，而且不斷創(chuàng)新問(wèn)題情境，突出學(xué)生運(yùn)用概率、期望與方差解決實(shí)際問(wèn)題的能力，以解答題為主，中等難度【典型高考試題變式】與離散型隨機(jī)變量的分布列、均值相結(jié)合的綜合問(wèn)題例1.【2017課標(biāo)3】某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：）有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為Y（單位：元）.當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n（單位：瓶）為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？【分析】（1）所有的可能取值為200,300,500，利用題意求得概率即可得到隨機(jī)變量的分布列；（2）由題中所給條件分類(lèi)討論可得n=300時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，為520元.【解析】（1）由題意知，所有可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知，.因此的分布列為0.20.40.4所以n=300時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元.【名師點(diǎn)睛】離散型隨機(jī)變量的分布列指出了隨機(jī)變量X的取值以及取各值的概率；要理解兩種特殊的概率分布兩點(diǎn)分布與超幾何分布，并善于靈活運(yùn)用兩性質(zhì)：一是pi0(i1,2，)；二是p1p2pn1檢驗(yàn)分布列的正誤.【變式1】【2018河南省漯河市模擬】汽車(chē)店是一種以“四位一體”為核心的特許經(jīng)營(yíng)模式，包括整車(chē)銷(xiāo)售、零配件銷(xiāo)售、售后服務(wù)、信息反饋等。某品牌汽車(chē)店為了了解， ， 三種類(lèi)型汽車(chē)質(zhì)量問(wèn)題,對(duì)售出的三種類(lèi)型汽車(chē)各取100輛進(jìn)行跟蹤服務(wù),發(fā)現(xiàn)各車(chē)型一年內(nèi)需要維修的車(chē)輛如下表所示1.表1（1）某公司一次性從店購(gòu)買(mǎi)該品牌， ， 型汽車(chē)各一輛,記表示這三輛車(chē)的一年內(nèi)需要維修的車(chē)輛數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.(各型汽車(chē)維修的頻率視為其需要維修的概率).（2）該品牌汽車(chē)店為了對(duì)廠家新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按使事先擬定的各種價(jià)格進(jìn)行試銷(xiāo)相等時(shí)間，得到數(shù)據(jù)如表2.預(yù)計(jì)在今后的銷(xiāo)售中,銷(xiāo)量與單價(jià)仍然服從的關(guān)系,且該產(chǎn)品的成本是500元/件,為使4S店獲得最大利潤(rùn)(利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-成本)，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定位多少元？表1車(chē)型 頻數(shù)202040表2單價(jià) (元)800820840850880900銷(xiāo)量 (件)908483807568【解析】（1）根據(jù)表格, 型車(chē)維修的概率為, 型車(chē)維修的概率為, 型車(chē)維修的概率為.由題意, 的可能值為0,1,2,3,所以 ； ； 所以的分布列為0123 所以 .【變式2】【2018四川省德陽(yáng)市三校聯(lián)合測(cè)試】為了引導(dǎo)居民合理用電，國(guó)家決定實(shí)行合理的階梯電價(jià)，居民用電原則上以住宅為單位（一套住宅為一戶）.階梯級(jí)別第一階梯第二階梯第三階梯月用電范圍（度）（0,210（210,400某市隨機(jī)抽取10戶同一個(gè)月的用電情況，得到統(tǒng)計(jì)表如下：居民用電戶編號(hào)12345678910用電量（度）538690124132200215225300410若規(guī)定第一階梯電價(jià)每度0.5元，第二階梯超出第一階梯的部分每度0.6元，第三階梯超出第二階梯的部分每度0.8元，試計(jì)算A居民用電戶用電410度時(shí)應(yīng)交電費(fèi)多少元？現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯電量的戶數(shù)的分布列與期望；以表中抽到的10戶作為樣本估計(jì)全市的居民用電，現(xiàn)從全市中依次抽取10戶，若抽到戶用電量為第一階梯的可能性最大，求的值.【解析】（1）元,設(shè)取到第二階梯電量的用戶數(shù)為，可知第二階梯電量的用戶有3戶，則可取0,1,2,3, , ,故的分布列是0123所以 ,可知從全市中抽取10戶的用電量為第一階梯，滿足，可知 ,解得， ,所以當(dāng)時(shí)，概率最大，所以.【數(shù)學(xué)思想】 數(shù)形結(jié)合思想 函數(shù)方程思想 轉(zhuǎn)化與化歸思想.【溫馨提示】均值能夠反映隨機(jī)變量取值的“平均水平”，因此，當(dāng)均值不同時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見(jiàn)分曉，由此可對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出決策判斷；若兩隨機(jī)變量均值相同或相差不大，則可通過(guò)分析兩變量的方差來(lái)研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進(jìn)而進(jìn)行決策【典例試題演練】1.【2017河南百校聯(lián)考】小李參加一種紅包接龍游戲：他在紅包里塞了12元，然后發(fā)給朋友，如果猜中，將獲得紅包里的所有金額；如果未猜中，將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友，如果猜中，平分紅包里的金額；如果未猜中，將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友，如果猜中，和平分紅包里的金額；如果未猜中，紅包里的錢(qián)將退回小李的賬戶，設(shè)猜中的概率分別為，且是否猜中互不影響（1）求恰好獲得4元的概率；（2）設(shè)獲得的金額為元，求的分布列；（3）設(shè)獲得的金額為元，獲得的金額為元，判斷所獲得的金額的期望能否超過(guò)的期望與的期望之和（3）的可能取值為0，4，6；的可能取值為0，4因?yàn)?，所以，所以，又，由于，所以所獲得的金額的期望能超過(guò)的期望與的期望之和2.【2016洛陽(yáng)市統(tǒng)一考試】今年春節(jié)期間，在為期5天的某民俗廟會(huì)上，某攤點(diǎn)銷(xiāo)售一種兒童玩具的情況如下表：日期天氣2月13日2月14日2月15日2月16日2月17日小雨小雨陰陰轉(zhuǎn)多云多云轉(zhuǎn)陰銷(xiāo)售量上午4247586063下午5556626567由表可知：兩個(gè)雨天的平均銷(xiāo)售量為100件/天，三個(gè)非雨天的平均銷(xiāo)售量為125件/天.（1）以十位數(shù)字為莖，個(gè)位數(shù)字為葉，畫(huà)出表中10個(gè)銷(xiāo)售數(shù)據(jù)的莖葉圖，并求出這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（2）假如明天廟會(huì)5天中每天下雨的概率為，且每天下雨與否相互獨(dú)立，其他條件不變，試估計(jì)廟會(huì)期間同一類(lèi)型攤點(diǎn)能夠售出的同種兒童玩具的件數(shù)；（3）已知攤位租金為1000元/個(gè)，該種玩具進(jìn)貨價(jià)為9元/件，售價(jià)為13元/件，未售出玩具可按進(jìn)貨價(jià)退回廠家，若所獲利潤(rùn)大于1200元的概率超過(guò)0.6，則稱為“值得投資”，那么在（2）的條件下，你認(rèn)為“值得投資”嗎?【解析】（1）由已知得如下莖葉圖，中位數(shù)為.（2）設(shè)明年廟會(huì)期間下雨天數(shù)為，則的所有可能取值為0,1,2,3,4,5，且，所以，所以估計(jì)明年廟會(huì)期間，可能有2天下雨，3天不下雨，據(jù)此推測(cè)廟會(huì)期間該攤點(diǎn)能售出的玩具件數(shù)為.3.一個(gè)口袋中有2個(gè)白球和n個(gè)紅球(n2，且nN*)，每次從袋中摸出兩個(gè)球(每次摸球后把這兩個(gè)球放回袋中)，若摸出的兩個(gè)球顏色相同為中獎(jiǎng)，否則為不中獎(jiǎng)（1）試用含n的代數(shù)式表示一次摸球中獎(jiǎng)的概率；（2）若n3，求三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)的概率；（3）記三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)的概率為f(p)，當(dāng)n為何值時(shí)，f(p)取最大值？【解析】（1）一次摸球從n2個(gè)球中任選兩個(gè)，有C種選法，其中兩球顏色相同有CC種選法，因此一次摸球中獎(jiǎng)的概率為.（2）若n3，則一次摸球中獎(jiǎng)的概率為，三次摸球是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，三次摸球中恰有一次中獎(jiǎng)的概率是C··(1)2.（3）設(shè)一次摸球中獎(jiǎng)的概率是p，則三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)的概率是f(p)C·p·(1p)23p36p23p，0p1.因?yàn)閒(p)9p212p33(p1)(3p1)，所以f(p)在(0，)上是增函數(shù)，在(，1)上是減函數(shù)，所以當(dāng)p時(shí)，f(p)取最大值，所以p(n2，且nN*)，所以n2.故n2時(shí)，f(p)取最大值4.為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1 000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額（1）若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元，求：顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率；顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及均值；（2）商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60 000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說(shuō)明理由（2）根據(jù)商場(chǎng)的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為60元所以，先尋找均值為60元的可能方案對(duì)于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10,10,10,50)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最大值，所以均值不可能為60元；如果選擇(50,50,50,10)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最小值，所以均值也不可能為60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，記為方案1.對(duì)于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，記為方案2.以下是對(duì)兩個(gè)方案的分析：對(duì)于方案1，即方案(10,10,50,50)，設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X1，則X1的分布列為X12060100PX1的均值E(X1)20×60×100×60，X1的方差D(X1)(2060)2×(6060)2×(10060)2×.對(duì)于方案2，即方案(20,20,40,40)，設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X2，則X2的分布列為X2406080PX2的均值E(X2)40×60×80×60，X2的方差D(X2)(4060)2×(6060)2×(8060)2×.由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的均值都符合要求，但方案2獎(jiǎng)勵(lì)額的方差比方案1的小，所以應(yīng)該選擇方案2.5.(2016·全國(guó)乙卷)某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件作為備件，每個(gè)200 元在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買(mǎi)，則每個(gè)500 元現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100 臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100 臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1 臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2 臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購(gòu)買(mǎi)2 臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù)（1）求X的分布列；（2）若要求P(Xn)0.5，確定n的最小值；（3）以購(gòu)買(mǎi)易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n19與n20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？【解析】（1）由柱狀圖及以頻率代替概率可得，一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2，0.4，0.2,0.2.從而P(X16)0.2×0.20.04；P(X17)2×0.2×0.40.16；P(X18)2×0.2×0.20.4×0.40.24；P(X19)2×0.2×0.22×0.4×0.20.24；P(X20)2×0.2×0.40.2×0.20.2；P(X21)2×0.2×0.20.08；P(X22)0.2×0.20.04.所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.046.【2018四川省樂(lè)山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬】某公司每個(gè)工作日由位于市區(qū)的總公司向位于郊區(qū)的分公司開(kāi)一個(gè)來(lái)回的班車(chē)（每年按200個(gè)工作日計(jì)算），現(xiàn)有兩種使用班車(chē)的方案，方案一是購(gòu)買(mǎi)一輛大巴，需花費(fèi)90萬(wàn)元，報(bào)廢期為10年，車(chē)輛平均每年的各種費(fèi)用合計(jì)5萬(wàn)元，司機(jī)年工資6萬(wàn)元，司機(jī)每天請(qǐng)假的概率為0.1（每年請(qǐng)假時(shí)間不超過(guò)15天不扣工資，超過(guò)15天每天100元），若司機(jī)請(qǐng)假則需從公交公司雇傭司機(jī)，每天支付300元工資.方案二是租用公交公司的車(chē)輛（含司機(jī)），根據(jù)調(diào)研每年12個(gè)月的車(chē)輛需求指數(shù)如直方圖所示，其中當(dāng)某月車(chē)輛需求指數(shù)在時(shí)，月租金為萬(wàn)元.（1）若購(gòu)買(mǎi)大巴，設(shè)司機(jī)每年請(qǐng)假天數(shù)為，求公司因司機(jī)請(qǐng)假而增加的花費(fèi)（元）及使用班車(chē)年平均花費(fèi)（萬(wàn)元）的數(shù)學(xué)期望.（2）試用調(diào)研數(shù)據(jù)，給出公司使用班車(chē)的建議，使得年平均花費(fèi)最少.【解析】（1）由已知，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， 所以 由已知，所以所以（萬(wàn)元）12