第84講 二項式定理的應(yīng)用【知識要點(diǎn)】1、二項式定理：項數(shù)：展開式中總共有項，而不是項；順序：注意正確選擇,其順序不能更改.與是不同的；指數(shù)：的指數(shù)從逐項減到，是降冪排列.的指數(shù)從逐項減到，是升冪排列.各項的次數(shù)和等于.2、二項式通項公式： （） （1）它表示的是二項式的展開式的第項，而不是第項；（2）其中叫二項式展開式第項的二項式系數(shù)，而二項式展開式第項的系數(shù)是字母冪前的常數(shù)；（3）注意.3、二項式展開式的二項式系數(shù)的性質(zhì)（1）對稱性：在二項展開式中，與首末兩項“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等.即=.（2）增減性和最大值：在二項式的展開式中，二項式系數(shù)先增后減，且在中間取得最大值，如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大；如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項的二項式系數(shù)相等且最大.（3）所有二項式系數(shù)的和等于，即奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和相等，即4、二項展開式的系數(shù)的性質(zhì)：對于，5、證明組合恒等式常用賦值法.6、二項式系數(shù)展開式的系數(shù)最大項和二項式系數(shù)最大項.（1）二項式系數(shù)的最大項：如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)時，則中間一項的二項式系數(shù)取得最大值. 如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)時，則中間兩項的二項式系數(shù),同時取得最大值.（2）系數(shù)的最大項：求展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法.設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為，設(shè)第項系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來.【方法講評】應(yīng)用一利用通項公式求的系數(shù)解題方法直接代二項式展開式的通項，再化簡.【例1】在二項式的展開式中倒數(shù)第項的系數(shù)為，求含有的項的系數(shù)？【點(diǎn)評】（1）要理解二項式的展開式的系數(shù)的定義，它指的是除去，剩下的所有部分，而二項式的系數(shù)則指的是通項里的組合數(shù).(2)二項式的展開式的通項化簡時，要注意指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)的準(zhǔn)確運(yùn)用.【反饋檢測1】已知的二項展開式中所有奇數(shù)項的系數(shù)之和為512（1）求展開式的所有有理項（指數(shù)為整數(shù)）；（2）求展開式中項的系數(shù)應(yīng)用二求二項式展開式的有理數(shù)項解題方法先求二項式的展開式的通項，再化簡，再令的指數(shù)為整數(shù)解答.【例2】求二項式展開式中的有理項.【點(diǎn)評】有理項指的是的指數(shù)為整數(shù)，可以是正整數(shù)，也可以是負(fù)整數(shù)和零. 【反饋檢測2】已知的展開式中的二項式系數(shù)之和為.（）證明：展開式中沒有常數(shù)項；（）求展開式中所有有理項.應(yīng)用三求二項式展開式的系數(shù)最大的項和二項式系數(shù)最大的項解題方法（1）二項式系數(shù)的最大項：如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)時，則中間一項的二項式系數(shù)取得最大值.如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)時，則中間兩項的二項式系數(shù),同時取得最大值.（2）系數(shù)的最大項：求展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法.設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為，設(shè)第項系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來.【例3】已知二項式（1）若展開式中第5項、第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)；（2）若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項（2），解得，設(shè)項系數(shù)最大，由于，第11項最大【點(diǎn)評】（1）二項式系數(shù)的最大項：如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)時，則中間一項的二項式系數(shù)取得最大值.如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)時，則中間兩項的二項式系數(shù),同時取得最大值.（2）系數(shù)的最大項：求展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法.設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為，設(shè)第項系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來.【反饋檢測3】已知在的展開式中，第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)之比是14：1（1）求展開式中的系數(shù)；（2）求展開式中系數(shù)絕對值最大的項；（3）求的值.應(yīng)用四求展開式的系數(shù).解題方法一般把三項式變成二項式，再代二項式展開式的通項公式解答.【例4】 求當(dāng)?shù)恼归_式中的一次項的系數(shù).【點(diǎn)評】（1）對于三項式的展開式教材上沒有講過，教材上只講了二項式的展開式. 所以我們可以想辦法把三項式轉(zhuǎn)化成二項式，再利用二項式的展開式的性質(zhì)解答. (2)對于三項式的展開式的研究，一般轉(zhuǎn)化成二項式的展開式研究，實(shí)際上就是數(shù)學(xué)的一個轉(zhuǎn)化的思想的運(yùn)用,把陌生的轉(zhuǎn)化為熟悉的問題解答. 【反饋檢測4】展開式中常數(shù)項為（ ）A252 B252 C160 D160 應(yīng)用五兩個二項式相乘的系數(shù)問題解題方法一般先分別求兩個二項式的展開式的通項，再對它們進(jìn)行組合研究.【例5】 在的展開式中，求的系數(shù).【解析】，要得到，當(dāng)?shù)谝粋€因式取1時，展開式取5次項，項系數(shù)為當(dāng)?shù)谝粋€因式取時，展開式取4次項，項系數(shù)為當(dāng)?shù)谝粋€因式取時，展開式取3次項，項系數(shù)為當(dāng)?shù)谝粋€因式取-時，展開式取2次項，項系數(shù)為項系數(shù)為+=-63【點(diǎn)評】兩個二項式相乘的系數(shù)問題，一般先分別求兩個二項式的展開式的通項，再對它們進(jìn)行組合研究.【反饋檢測5】應(yīng)用六二項式展開式的系數(shù)和與差的問題解題方法一般利用賦值法解答.【例6】已知，求：（1）；（2）【點(diǎn)評】二項式展開式的系數(shù)和與差的問題，一般利用賦值法解答，主要是給二項式的展開式的變量賦一些特殊值，如：1，-1，0等.【反饋檢測6】（1）設(shè)展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大則= （2）12 應(yīng)用七整除性問題解題方法一般把指數(shù)的底數(shù)拆成與除數(shù)有關(guān)的數(shù)的和，再利用二項式定理展開研究.【例7】證明：能被64整除【點(diǎn)評】整除性的問題，一般把指數(shù)的底數(shù)拆成與除數(shù)有關(guān)的數(shù)的和，再利用二項式定理展開研究，拆數(shù)是關(guān)鍵，本題中指數(shù)的底數(shù)是“3”，先變成“9”，再把“9”拆成“8+1”，再利用二項式定理研究就方便了. 【反饋檢測7】求證：能被7整除.應(yīng)用八證明不等式等解題方法一般對二項式定理進(jìn)行順用或逆用.【例8】 求證：2<（1+）n<3（）.【證明】（1+）n=C+C× +C（）2+C（）n=1+1+C×+C×+C×=2+×+×+×<2+<2+=2+=3（）<3.顯然（1+）n=1+1+C×+C×+C×>2.所以2<（1+）n<3.【點(diǎn)評】看到一般要聯(lián)想到是否能利用二項式定理解答，這是一個觀察聯(lián)想的能力.【反饋檢測8】 應(yīng)用九利用二項式定理求近似值解題方法一般先把底數(shù)拆成“1”與某個小數(shù)的和與差，再利用二項式定理研究解答.【例9】求的近似值，使誤差小于；【點(diǎn)評】由，當(dāng)?shù)慕^對值與1相比很小且很大時，等項的絕對值都很小，因此在精確度允許的范圍內(nèi)可以忽略不計，因此可以用近似計算公式：，在使用這個公式時，要注意按問題對精確度的要求，來確定對展開式中各項的取舍，若精確度要求較高，則可以使用更精確的公式：.【反饋檢測9】某地現(xiàn)有耕地100000畝，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%.如果人口年增加率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少畝（精確到1畝）？高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第84講：二項式定理的應(yīng)用參考答案【反饋檢測1答案】（1），；（2）【反饋檢測2答案】（）證明見解析；（）所有有理項為：.【反饋檢測2詳細(xì)解析】（）依題意得：，令得展開式中沒有常數(shù)項.（）當(dāng)時，為有理項.展開式中所有有理項為：. 【反饋檢測3答案】（1）；（2）；（3）【反饋檢測3詳細(xì)解析】（1）由，解得因為通項：，令 ，于是系數(shù)為（2）設(shè)第項系數(shù)絕對值最大，則解得，于是只能為6 所以系數(shù)絕對值最大的項為（3）原式=【反饋檢測4答案】【反饋檢測5答案】【反饋檢測5詳細(xì)解析】.【反饋檢測6答案】(1)；（2）.【反饋檢測6詳細(xì)解析】（1）由二項式系數(shù)的對稱性，（2）即為展開式中各項的系數(shù)在中令，（2）在中，令，得12【反饋檢測7答案】見解析. 【反饋檢測8答案】【反饋檢測8詳細(xì)解析】與已知的有一些差距， 【反饋檢測9答案】耕地平均每年至多只能減少4畝【反饋檢測9詳細(xì)解析】設(shè)耕地平均每年減少x畝，現(xiàn)有人口為p人，糧食單產(chǎn)為m噸/畝，依題意化簡：（畝）答：耕地平均每年至多只能減少4畝11