命題角度5.5：圓錐曲線的定值、定點問題1.已知橢圓的焦點在軸上，中心在原點，離心率，直線與以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓相切.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的左、右頂點分別為，點是橢圓上異于的任意一點，直線的斜率分別為.證明： 為定值.【答案】（1）（2）【解析】試題分析: （I）設(shè)橢圓的方程，利用離心率e直線l：y=x+2與以原點為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切，確定幾何量，從而可得橢圓的方程；（）利用M點在橢圓上，計算斜率，化簡即可得到結(jié)論（2）證明：由橢圓的方程得，設(shè)點的坐標(biāo)為，則.為定值.點睛：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓相切，考查斜率的計算，主要應(yīng)用點在曲線上得出定值.2. 已知動點到定直線的距離比到定點的距離大.（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點的直線交軌跡于， 兩點，直線， 分別交直線于點， ，證明以為直徑的圓被軸截得的弦長為定值，并求出此定值.【答案】（I）；（II）詳見解析.【解析】試題分析：（1）依據(jù)題設(shè)條件及兩點間距離公式建立方程分析求解；（2）依據(jù)題設(shè)條件建立直線， 的方程，再運(yùn)用坐標(biāo)之間的關(guān)系分析探求：試題解析：解：（）設(shè)點的坐標(biāo)為，因為定點在定直線： 的右側(cè)，且動點到定直線： 的距離比到定點的距離大，所以且，化簡得，即，軌跡的方程為（）設(shè)， （），則， ， ， 三點共線，又，直線的方程為，令，得同理可得所以以為直徑的圓的方程為，即將代入上式，可得，令，即或，故以為直徑的圓被軸截得的弦長為定值4點睛：解析幾何是高中數(shù)學(xué)中重要的知識與內(nèi)容，也是高考重點考查的重要考點與熱點。這類問題的設(shè)置旨在考查借助直角坐標(biāo)的關(guān)系求解幾何圖形問題。求解第一問時充分依據(jù)題設(shè)條件，運(yùn)用兩點間距離公式建立等量關(guān)系，通過化簡使得問題獲解；解答第二問時，先設(shè)， ，在借助題設(shè)中的條件建立以為直徑的圓的方程為，探究其最值關(guān)系，從而使得問題獲解。3. 已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為圓， 是上一點， ，且（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)過點的動直線與橢圓相交于不同兩點時，線段上取點，且滿足，證明點總在某定直線上，并求出該定直線【答案】（1）（2）見解析試題解析：（1）由已知得，且，在中，由余弦定理得，解得.則，所以橢圓的方程為.（2）由題意可得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，代入橢圓方程，整理得，設(shè)，則.設(shè)，由得（考慮線段在軸上的射影即可），所以，于是，整理得，（*）又，代入（*）式得，所以點總在直線上.考點：1.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；2.直線與橢圓位置關(guān)系.點睛：圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題時高考中的?？碱}型，難度一般較大，常常把直線、圓及圓錐曲線等知識結(jié)合在一起，注重數(shù)學(xué)思想方法的考查，尤其是函數(shù)思想、分類討論思想的考查.求定值問題常見的方法：（1）從特殊點入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)，（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.定點問題的常見解法：（1）假設(shè)定點坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求定點，（2）從特殊位置入手，找出定點，再證明該點符合題意.4. 已知橢圓的焦距為，點在上.（I）求的方程；（II）過原點且不與坐標(biāo)軸重合的直線與有兩個交點，點在軸上的射影為，線段的中點為，直線交于點，證明：直線的斜率與直線的斜率乘積為定值.【答案】（I）（II）定值【解析】試題分析：（1）（I）由題意知， 的焦點坐標(biāo)為，利用定義求解 的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；試題解析：（I）由題意知， 的焦點坐標(biāo)為， ， . 所以，橢圓的方程為. （II）設(shè)，則由點在橢圓上得， ，兩式相減得， . ， .因為三點共線，所以，即. ，為定值.5. 已知動圓過點，且在軸上截得的弦長為（）求圓心的軌跡方程；（）過點的直線交軌跡于兩點，證明： 為定值，并求出這個定值.【答案】（）（）定值為【解析】試題分析：（1）設(shè)動圓圓心坐標(biāo)為，根據(jù)垂徑定理得，化簡解得圓心的軌跡方程；（2）設(shè)直線的方程為： ，利用直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理化簡試題解析：解：（）設(shè)動圓圓心坐標(biāo)為，由題意得：動圓半徑圓心到軸的距離為，依題意有，化簡得，即動圓圓心的軌跡方程為： （）當(dāng)直線的斜率不存在，則直線的方程為： 得所以，故為定值.綜合，為定值，且定值為點睛：定點、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn).6. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A、B、C是橢圓上不同的三點， ，C在第三象限，線段BC的中點在直線OA上。（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求點C的坐標(biāo)；（3）設(shè)動點P在橢圓上（異于點A、B、C）且直線PB， PC分別交直線OA于M、N兩點，證明為定值并求出該定值.【答案】（1）（2）點的坐標(biāo)為（3）為定值，定值為【解析】試題分析：（1）將點A，B的坐標(biāo)代入方程即可求得，（2）設(shè)點，得BC的中點坐標(biāo)，帶去直線OA聯(lián)立橢圓方程即可求得m,n,從而得C的坐標(biāo)，（3）分別設(shè)出P,N,M三點坐標(biāo)，根據(jù)P,B,M三點共線和P,C,N三點共線得到M，N,P的關(guān)系，將P點坐標(biāo)代入橢圓方程即可得各系數(shù)之間的關(guān)系，于是化簡得定制 （3）設(shè)， ， 三點共線，整理，得 三點共線，整理，得 點在橢圓上， 從而 所以為定值，定值為點睛：本題主要考察圓錐曲線，先根據(jù)題意可以的橢圓方程，對于第二問和第三問則需要多借助草圖分析點之間的幾何關(guān)系，尤其要注意三點共線在此題中的運(yùn)用，明確目標(biāo)逐步化簡即可7.已知橢圓： 的短軸長為，離心率為，圓的圓心在橢圓上，半徑為2，直線與直線為圓的兩條切線.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）試問： 是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由.【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）由橢圓焦點在軸上， ，離心率，則，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，圓的方程為，由直線與圓相切，根據(jù)點到直線的距離公式可得為方程，的兩個根，由韋達(dá)定理可知： ，由在橢圓上即可求得.（2）因為直線與圓相切，整理得： ，同理可得： ，所以， 為方程的兩個根，又在橢圓上，故是定值為【方法點睛】本題主要考查待定待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程方程、橢圓的幾何性質(zhì)以及圓錐曲線的定值問題，屬于難題. 探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種： 從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)； 直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.8.在直角坐標(biāo)系中， 已知定圓，動圓過點且與圓相切，記動圓圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)是曲線上兩點，點關(guān)于軸的對稱點為 (異于點)，若直線分別交軸于點，證明: 為定值.【答案】（1）；（2）詳見解析.【解析】試題分析：（1）由兩圓關(guān)系得等量關(guān)系，再根據(jù)橢圓定義確定軌跡形狀及標(biāo)準(zhǔn)方程，（2）解析幾何中定值問題，往往通過計算給予證明，先設(shè)坐標(biāo)，列直線方程，求出與軸交點坐標(biāo)，再利用點在橢圓上這一條件進(jìn)行代入消元，化簡計算為定值 .試題解析：解：(1)因為點在內(nèi)，所以圓內(nèi)切于圓，則，由橢圓定義知，圓心的軌跡為橢圓，且，則，所以動圓圓心的軌跡方程為.(2)設(shè)，則，由題意知.則，直線方程為，令，得，同理，于是，又和在橢圓上，故，則.所以.9. 已知橢圓的離心率為，四個頂點構(gòu)成的菱形的面積是4，圓過橢圓的上頂點作圓的兩條切線分別與橢圓相交于兩點（不同于點），直線的斜率分別為.（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)變化時，求的值；試問直線是否過某個定點？若是，求出該定點；若不是，請說明理由.【答案】（1）；（2）見解析.由，得，于是有，直線的斜率為，直線的方程為，令，得，即可證明直線過定點.試題解析：（1）由題設(shè)知， ， ，又，解得.故所求橢圓的方程是.（2），則有，化簡得，對于直線，同理有，于是是方程的兩實根，故.考慮到時， 是橢圓的下頂點， 趨近于橢圓的上頂點，故若過定點，則猜想定點在軸上.由，得，于是有.直線的斜率為，直線的方程為，令，得，故直線過定點.10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知動點到定點的距離與到定直線的距離之比為（1）求動點的軌跡的方程；（2）已知為定直線上一點.過點作的垂線交軌跡于點（不在軸上），求證：直線與的斜率之積是定值；若點的坐標(biāo)為，過點作動直線交軌跡于不同兩點，線段上的點滿足，求證：點恒在一條定直線上.【答案】（1）（2）直線與的斜率之積為定值點在定直線上【解析】試題分析：（1）設(shè)動點坐標(biāo)，直接利用軌跡方程定義計算即可；（2），令，由，得，即，即，又因為點在橢圓上，所以，而的斜率分別為，于是，即直線與的斜率之積為定值； 令，則，代入橢圓，消元即可證明點在定直線上試題解析：（1）設(shè)，則，點到直線的距離，由，得，化簡得，即點在軌跡的方程為；令，則，令點，則，即，即由×，×，得，因為在橢圓上，所以，×2+×3，得，即，所以點在定直線上本題主要考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，是高考的必考點，屬于難題求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程，求出即可，注意的應(yīng)用；涉及直線與圓錐曲線相交時，未給出直線時需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程，要特別注意直線斜率是否存在的問題，避免不分類討論造成遺漏，然后要聯(lián)立方程組，得一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系寫出，再根據(jù)具體問題應(yīng)用上式，其中要注意判別式條件的約束作用- 17 -