專題04 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用【2018年高考考綱解讀】高考對(duì)本內(nèi)容的考查主要有：(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義是考查熱點(diǎn)，要求是B級(jí)，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線上在某點(diǎn)處的切線的斜率，能夠解決與曲線的切線有關(guān)的問(wèn)題；(2)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，要求是B級(jí)，熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、常用導(dǎo)數(shù)公式及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，一般不單獨(dú)設(shè)置試題，是解決導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的第一步；(3)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值是導(dǎo)數(shù)的核心內(nèi)容，要求是B級(jí)，對(duì)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值要達(dá)到相等的高度.(4)導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用為函數(shù)應(yīng)用題注入了新鮮的血液，使應(yīng)用題涉及到的函數(shù)模型更加寬廣，要求是B級(jí)；(5)導(dǎo)數(shù)還經(jīng)常作為高考的壓軸題，能力要求非常高，它不僅要求考生牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，還要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和計(jì)算能力估計(jì)以后對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查力度不會(huì)減弱作為導(dǎo)數(shù)綜合題，主要是涉及利用導(dǎo)數(shù)求最值解決恒成立問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等，常伴隨對(duì)參數(shù)的討論，這也是難點(diǎn)之所在.【重點(diǎn)、難點(diǎn)剖析】 1導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)就是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線的斜率，即kf(x0)(2)曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和運(yùn)算法則(1)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)cf(x)0f(x)xn(nR)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)ax(a0且a1)f(x)axln af(x)exf(x)exf(x)logax (a0且a1)f(x)f(x)ln xf(x)(2)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算u(x)±v(x)u(x)±v(x)；u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)；(v(x)0)3函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)如果已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增(減)，則這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個(gè)區(qū)間上大(小)于零恒成立在區(qū)間上離散點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)等于零，不影響函數(shù)的單調(diào)性，如函數(shù)yxsin x .4函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值對(duì)可導(dǎo)函數(shù)而言，某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)等于零是函數(shù)在該點(diǎn)取得極值的必要條件例如f(x)x3，雖有f(0)0，但x0不是極值點(diǎn)，因?yàn)閒(x)0恒成立，f(x)x3在(，)上是單調(diào)遞增函數(shù)，無(wú)極值5閉區(qū)間上函數(shù)的最值在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，一定有最大值和最小值，其最大值是區(qū)間的端點(diǎn)處的函數(shù)值和在這個(gè)區(qū)間內(nèi)函數(shù)的所有極大值中的最大者，最小值是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值和在這個(gè)區(qū)間內(nèi)函數(shù)的所有極小值中的最小值6函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(1)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，則f(x)0在區(qū)間(a，b)上恒成立；(2)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減，則f(x)0在區(qū)間(a，b)上恒成立；(3)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上為增函數(shù)是f(x)0的必要不充分條件.【題型示例】題型1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義【例1】 【2016高考新課標(biāo)2文數(shù)】若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則 【答案】 相切于點(diǎn)，與曲線相切于點(diǎn)，則，由點(diǎn)在切線上得，由點(diǎn)在切線上得，這兩條直線表示同一條直線，所以，解得.【感悟提升】函數(shù)圖像上某點(diǎn)處的切線斜率就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最值的基本方法是“平行切線法”，即作出與直線平行的曲線的切線，則這條切線到已知直線的距離即為曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最值，結(jié)合圖形可以判斷是最大值還是最小值【舉一反三】(2015·陜西，15)設(shè)曲線yex在點(diǎn)(0，1)處的切線與曲線y(x0)上點(diǎn)P處的切線垂直，則P的坐標(biāo)為_(kāi)解析(ex)e01，設(shè)P(x0，y0)，有1，又x00，x01，故xP(1，1)答案(1，1)【變式探究】 (1)曲線yxex1在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率等于()A2eBeC2D1(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線yax2(a，b為常數(shù))過(guò)點(diǎn)P(2，5)，且該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線7x2y30平行，則ab的值是_【命題意圖】(1)本題主要考查函數(shù)求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)的幾何意義(2)本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，意在考查考生的運(yùn)算求解能力【答案】(1)C(2)3又y2ax，所以在點(diǎn)P處的切線斜率4a.由解得a1，b2，所以ab3.【感悟提升】1求曲線的切線要注意“過(guò)點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異，過(guò)點(diǎn)P的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在已知曲線上，而在點(diǎn)P處的切線，必以點(diǎn)P為切點(diǎn)2利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化以平行、垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關(guān)系，進(jìn)而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái)求解題型2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【例2】 (2017·高考全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)(1x2)ex.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x0時(shí)，f(x)ax1，求a的取值范圍【變式探究】【2016高考山東文數(shù)】(本小題滿分13分)已知.（I）討論的單調(diào)性；（II）當(dāng)時(shí)，證明對(duì)于任意的成立.【答案】（）見(jiàn)解析；（）見(jiàn)解析（1），當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；（2）時(shí)，在內(nèi)，單調(diào)遞增；（3）時(shí)，當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在 內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.【感悟提升】確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間要特別注意函數(shù)的定義域，不要從導(dǎo)數(shù)的定義域確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，在某些情況下函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義域與原函數(shù)的定義域不同【舉一反三】(2015·福建，10)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)1，其導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(x)k1，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是()Af BfCf Df解析導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(x)k1，f(x)k0，k10，0，可構(gòu)造函數(shù)g(x)f(x)kx，可得g(x)0，故g(x)在R上為增函數(shù)，f(0)1，g(0)1，gg(0)，f1，f，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，故選C.答案C【變式探究】(2014·新課標(biāo)全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)exex2x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)g(x)f(2x)4bf(x)，當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>0，求b的最大值；(3)已知1.414 2<<1.414 3，估計(jì)ln 2的近似值(精確到0.001)【命題意圖】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)的最值、估計(jì)無(wú)文數(shù)的近似值等，考查基本不等式的應(yīng)用與分類討論思想的應(yīng)用，意在考查考生的運(yùn)算求解能力、推理論證能力與對(duì)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力 (3)由(2)知，g(ln )2b2(2b1)ln 2.當(dāng)b2時(shí)，g(ln )46ln 2>0，ln 2>>0.692 8；當(dāng)b1時(shí)，ln(b1)ln ，g(ln)2(3 2)ln 2 <0，ln 2<<0.693 4.所以ln 2的近似值為0.693.【感悟提升】1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的步驟第一步：確定函數(shù)f(x)的定義域；第二步：求f(x); 第三步：解方程f(x)0在定義域內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根；第四步：將函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)(即f(x)的無(wú)定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和各實(shí)數(shù)根按從小到大的順序排列起來(lái)，分成若干個(gè)小區(qū)間；第五步：確定f(x)在各小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，由此確定每個(gè)區(qū)間的單調(diào)性2根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)取值范圍的思路(1)求f(x)(2)將單調(diào)性轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)f(x)在該區(qū)間上滿足的不等式恒成立問(wèn)題求解【舉一反三】 (2015·新課標(biāo)全國(guó)，21)設(shè)函數(shù)f(x)emxx2mx.(1)證明：f(x)在(，0)單調(diào)遞減，在(0，)單調(diào)遞增；(2)若對(duì)于任意x1，x21，1，都有|f(x1)f(x2)|0e1，求m的取值范圍 【規(guī)律方法】討論函數(shù)的單調(diào)性其實(shí)就是討論不等式的解集的情況大多數(shù)情況下，這類問(wèn)題可以歸結(jié)為一個(gè)含有參數(shù)的一元二次不等式的解集的討論，在能夠通過(guò)因式分解求出不等式對(duì)應(yīng)方程的根時(shí)依據(jù)根的大小進(jìn)行分類討論，在不能通過(guò)因式分解求出根的情況時(shí)根據(jù)不等式對(duì)應(yīng)方程的判別式進(jìn)行分類討論討論函數(shù)的單調(diào)性是在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行的，千萬(wàn)不要忽視了定義域的限制題型3、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值【例3】【2017山東，文20】（本小題滿分13分）已知函數(shù).,(I)當(dāng)a=2時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(II)設(shè)函數(shù),討論的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值,有極值時(shí)求出極值.【答案】(I),（2）(II)無(wú)極值；極大值為,極小值為；極大值為,極小值為.【解析】（）由題意，所以，當(dāng)時(shí)， ， ，所以，因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即.（1）當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ， ， 單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， ， ， 單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， ， ， 單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)取到極大值，極大值是，當(dāng)時(shí)取到極小值，極小值是.（2）當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增；所以在上單調(diào)遞增， 無(wú)極大值也無(wú)極小值.【變式探究】【2016高考江蘇卷】（本小題滿分16分）已知函數(shù).設(shè).（1）求方程的根;（2）若對(duì)任意,不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；（3）若，函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求的值?！敬鸢浮浚?）0 4（2）1【解析】（1）因?yàn)?，所?方程，即，亦即，所以，于是，解得.由條件知.因?yàn)閷?duì)于恒成立，且，所以對(duì)于恒成立.而，且，所以，故實(shí)數(shù)的最大值為4.若，同理可得，在和之間存在的非0的零點(diǎn)，矛盾.因此，.于是，故，所以.【舉一反三】(2015·陜西，12)對(duì)二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a為非零整數(shù))，四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的結(jié)論是()A1是f(x)的零點(diǎn) B1是f(x)的極值點(diǎn)C3是f(x)的極值 D點(diǎn)(2，8)在曲線yf(x)上答案A【變式探究】(2015·新課標(biāo)全國(guó)，12)設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)f(x)( xR)的導(dǎo)函數(shù)，f(1)0，當(dāng)x>0時(shí)，xf(x)f(x)0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是()A(，1)(0，1)B(1，0)(1，)C(，1)(1，0)D(0，1)(1，)解析因?yàn)閒(x)(xR)為奇函數(shù)，f(1)0，所以f(1)f(1)0.當(dāng)x0時(shí)，令g(x)，則g(x)為偶函數(shù)，且g(1)g(1)0.則當(dāng)x0時(shí)，g(x)0，故g(x)在(0，)上為減函數(shù)，在(，0)上為增函數(shù)所以在(0，)上，當(dāng)0x1時(shí)，g(x)g(1)00f(x)0；在(，0)上，當(dāng)x1時(shí)，g(x)g(1)00f(x)0.綜上，得使得f(x)0成立的x的取值范圍是(，1)(0，1)，選A.答案A【舉一反三】(2015·江蘇，19)已知函數(shù)f(x)x3ax2b(a，bR)(1)試討論f(x)的單調(diào)性；(2)若bca(實(shí)數(shù)c是與a無(wú)關(guān)的常數(shù))，當(dāng)函數(shù)f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍恰好是(，3)，求c的值則在(，3)上g(a)0，且在上g(a)0均恒成立從而g(3)c10，且gc10，因此c1.此時(shí)，f(x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a，因函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則x2(a1)x1a0有兩個(gè)異于1的不等實(shí)根，所以(a1)24(1a)a22a30，且(1)2(a1)1a0，解得a(，3).綜上c1.題型四導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【例4】(2017·高考天津卷)設(shè)a，bR，|a|1.已知函數(shù)f(x)x36x23a(a4)xb，g(x)exf(x)(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間(2)已知函數(shù)yg(x)和yex的圖象在公共點(diǎn)(x0，y0)處有相同的切線，求證：f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)等于0；若關(guān)于x的不等式g(x)ex在區(qū)間x01，x01上恒成立，求b的取值范圍因?yàn)間(x)ex，xx01，x01，且ex0，所以f(x)1.又因?yàn)閒(x0)1，f(x0)0，所以x0為f(x)的極大值點(diǎn)，由(1)知x0a.另一方面，由于|a|1，故a14a.由(1)知f(x)在(a1，a)內(nèi)單調(diào)遞增，在(a，a1)內(nèi)單調(diào)遞減，故當(dāng)x0a時(shí)，f(x)f(a)1在a1，a1上恒成立，從而g(x)ex在x01，x01上恒成立由f(a)a36a23a(a4)ab1，得b2a36a21，1a1.令t(x)2a36x21，x1,1，所以t(x)6x212x.令t(x)0，解得x2(舍去)或x0.因?yàn)閠(1)7，t(1)3，t(0)1，所以，t(x)的值域?yàn)?,1所以，b的取值范圍是7,1【變式探究】某地政府鑒于某種日常食品價(jià)格增長(zhǎng)過(guò)快，欲將這種食品價(jià)格控制在適當(dāng)范圍內(nèi)，決定對(duì)這種食品生產(chǎn)廠家提供政府補(bǔ)貼，設(shè)這種食品的市場(chǎng)價(jià)格為x元/千克，政府補(bǔ)貼為t元/千克，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)16x24時(shí)，這種食品市場(chǎng)日供應(yīng)量p萬(wàn)千克與市場(chǎng)日需求量q萬(wàn)千克近似地滿足關(guān)系：p2(x4t14)(x16，t0)，q248ln (16x24)當(dāng)pq時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格稱為市場(chǎng)平衡價(jià)格(1)將政府補(bǔ)貼表示為市場(chǎng)平衡價(jià)格的函數(shù)，并求出函數(shù)的值域(2)為使市場(chǎng)平衡價(jià)格不高于每千克20元，政府補(bǔ)貼至少為每千克多少元？而x20時(shí)，t×20ln 1.5(元/千克)，t是x的減函數(shù)，欲使x20，必須t1.5(元/千克)，要使市場(chǎng)平衡價(jià)格不高于每千克20元，政府補(bǔ)貼至少為1.5元/千克【舉一反三】時(shí)下，網(wǎng)校教學(xué)越來(lái)越受到廣大學(xué)生的喜愛(ài)，它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢(shì)，假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y(單位：千套)與銷售價(jià)格x(單位：元/套)滿足關(guān)系式y(tǒng)4(x6)2，其中2<x<6，m為常數(shù)已知銷售價(jià)格為4元/套時(shí)，每日可售出套題21千套(1)求m的值；(2)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開(kāi)銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數(shù))，試確定銷售價(jià)格x的值，使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤(rùn)最大(保留一位小數(shù))【規(guī)律方法】在利用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際問(wèn)題中的最大值和最小值時(shí)，不僅要注意函數(shù)模型中的定義域，還要注意實(shí)際問(wèn)題的意義，不符合的解要舍去【舉一反三】請(qǐng)你給某廠商設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒E，F(xiàn)在AB上，且是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)設(shè)AEFBx(cm)(1)若廠商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？(2)若廠商要求包裝盒的體積V(cm3)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值題型五利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的有關(guān)問(wèn)題【例5】【2017北京，文20】已知函數(shù)（）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值【答案】()；（）最大值1；最小值.【解析】（）因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（）設(shè)，則.當(dāng)時(shí)， ，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以對(duì)任意有，即.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.因此在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【舉一反三】【2017江蘇，20】 已知函數(shù)有極值,且導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn).（極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值） （1）求關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域； （2）證明：; （3）若,這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于，求的取值范圍.【答案】（1），定義域?yàn)?（2）見(jiàn)解析（3）. 時(shí)， ，故在R上是增函數(shù)， 沒(méi)有極值；時(shí)， 有兩個(gè)相異的實(shí)根， .列表如下x+00+極大值極小值故的極值點(diǎn)是.從而，因此，定義域?yàn)? 記， 所有極值之和為，因?yàn)榈臉O值為，所以， .因?yàn)?，于是在上單調(diào)遞減.因?yàn)椋谑牵?因此a的取值范圍為.【變式探究】(2016·高考全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)(x1)ln xa(x1)(1)當(dāng)a4時(shí)，求曲線yf(x)在(1，f(1)處的切線方程；(2)若當(dāng)x(1)時(shí)，f(x)0，求a的取值范圍【舉一反三】 (2015·湖南，21)已知a0，函數(shù)f(x)eaxsin x(x0，)記xn為f(x)的從小到大的第n(nN*)個(gè)極值點(diǎn)，證明：(1)數(shù)列f(xn)是等比數(shù)列；(2)若a，則對(duì)一切nN*，xn|f(xn)|恒成立. 于是當(dāng)xm(mN*)時(shí)，f(x)取得極值，所以xnn(nN*)此時(shí)，f(xn)ea(n)sin(n)(1)n1ea(n)sin .易知f(xn)0，而ea是常數(shù)，故數(shù)列f(xn)是首項(xiàng)為f(x1)ea()sin ，公比為ea的等比數(shù)列(2)由(1)知，sin ，于是對(duì)一切nN*；xn|f(xn)|恒成立，即nea(n)恒成立，等價(jià)于(*)恒成立，因?yàn)?a0)設(shè)g(t)(t0)，則g(t).令g(t)0得t1.當(dāng)0t1時(shí)，g(t)0，所以g(t)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)t1時(shí)，g(t)0，所以g(t)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增從而當(dāng)t1時(shí)，函數(shù)g(t)取得最小值g(1)e.因此，要使(*)式恒成立，只需g(1)e，即只需a.而當(dāng)a時(shí)，由tan 且0知，.于是，且當(dāng)n2時(shí)，n2.因此對(duì)一切nN*，axn1，所以g(axn)g(1)e.故(*)式亦恒成立綜上所述，若a，則對(duì)一切nN*，xn|f(xn)|恒成立【變式探究】(2015·福建，20)已知函數(shù)f(x)ln(1x)，g(x)kx(kR)(1)證明：當(dāng)x0時(shí)，f(x)x；(2)證明：當(dāng)k1時(shí)，存在x00，使得對(duì)任意的x(0，x0)，恒有f(x)g(x)；(3)確定k的所有可能取值，使得存在t0，對(duì)任意的x(0，t)，恒有|f(x)g(x)|x2. M(x)kxln(1x)x2，x0，)則有M(x)k2x.故當(dāng)x時(shí)，M(x)0，M (x)在上單調(diào)遞增，故M(x)M(0)0，即|f(x)g (x)|x2，所以滿足題意的t不存在當(dāng)k1時(shí)，由(2)知，存在x00，使得當(dāng)x(0，x0)時(shí)，f(x)g(x)，此時(shí)|f(x)g(x)|f(x)g(x)ln(1x)kx.令N(x)ln(1x)kxx2，x0，)則有N(x)k2x.當(dāng)x時(shí)，N(x)0，N(x)在上單調(diào)遞增，故N(x)N(0)0，即f(x)g(x)x2.記x0與中的較小者為x1，則當(dāng)x(0，x1)時(shí)，恒有|f(x)g(x)|x2.故滿足題意的t不存在當(dāng)k1時(shí)，由(1)知，當(dāng)x0時(shí)，|f(x)g(x)|g(x)f(x)xln(1x)，令H(x)xln(1x)x2，x0，)，則有H(x)12x.當(dāng)x0時(shí)，H(x)0，所以H(x)在0，)上單調(diào)遞減，故H(x)H(0)0.故當(dāng)x0時(shí)，恒有|f(x)g(x)|x2.此時(shí)，任意正實(shí)數(shù)t均滿足題意綜上，k1.法二(1)(2)證明同法一當(dāng)x(0，x1)時(shí)，恒有|f(x)g(x)|x2.故滿足題意的t不存在當(dāng)k1時(shí)，由(1)知，x0，|f(x)g(x)|f(x)g(x)xln(1x)，令M(x)xln(1x)x2，x0，)，則有M(x)12x.當(dāng)x0時(shí)，M(x)0，所以M(x)在0，)上單調(diào)遞減，故M(x)M(0)0.故當(dāng)x0時(shí)，恒有|f(x)g(x)|x2，此時(shí)，任意正實(shí)數(shù)t均滿足題意綜上，k1.【舉一反三】(2014·福建)已知函數(shù)f(x)exax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點(diǎn)A，曲線yf(x)在點(diǎn)A處的切線斜率為1.(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值；(2)證明：當(dāng)x0時(shí)，x2ex；(3)證明：對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當(dāng)x(x0，)時(shí)，恒有x2cex.【命題意圖】本小題主要考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、全稱量詞與存在量詞等基礎(chǔ)知識(shí)，考查考生的運(yùn)算求解能力、抽象概括能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、有限與無(wú)限思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、特殊與一般思想由(1)得g(x)f(x)f(ln 2)0，故g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(0)10，因此，當(dāng)x0時(shí)，g(x)g(0)0，即x2ex.(3)證明：若c1，則excex.又由(2)知，當(dāng)x0時(shí)，x2ex.所以當(dāng)x0時(shí)，x2cex.取x00，當(dāng)x(x0，)時(shí)，恒有x2cex.若0c1，令k1，要使不等式x2cex成立，只要exkx2成立而要使exkx2成立，則只要xln(kx2)，只要x2ln xln k成立令h(x)x2ln xln k，則h(x)1，所以當(dāng)x2時(shí)，h(x)0，h(x)在(2，)內(nèi)單調(diào)遞增取x016k16，所以h(x)在(x0，)內(nèi)單調(diào)遞增，又h(x0)16k2ln(16k)ln k8(kln 2)3(kln k)5k，易知kln k，kln 2,5k0，所以h(x0)0.即存在x0，當(dāng)x(x0，)時(shí)，恒有x2cex.綜上，對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在x0，當(dāng)x(x0，)時(shí)，恒有x2cex. 30