專(zhuān)題二 數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化的創(chuàng)新應(yīng)用問(wèn)題高考命題動(dòng)向，重視數(shù)學(xué)文化教育部考試中心函件關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知要求“增加中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考核內(nèi)容，積極培育和踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀(guān)，充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導(dǎo)向作用比如，在數(shù)學(xué)中增加數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容”因此，我們特別策劃了此專(zhuān)題，將數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，選取典型樣題深度解讀考情分析年份題型考查角度考情分析2017年高考全國(guó)卷選擇題第4題幾何概型數(shù)學(xué)文化題是近幾年課標(biāo)全國(guó)卷中出現(xiàn)的新題型預(yù)計(jì)在高考中，數(shù)學(xué)文化題仍會(huì)以選擇題或填空題的形式考查，也不排除以解答題的形式考查，難度適中或容易2016年高考全國(guó)卷選擇題第9題秦九韶算法2015年高考全國(guó)卷選擇題第4題勾股數(shù)、古典概型選擇題第6題九章算術(shù)、圓錐體積015年高考全國(guó)卷選擇題第8題更相減損術(shù)預(yù)測(cè)1：古代數(shù)學(xué)書(shū)籍九章算術(shù)數(shù)書(shū)九章等書(shū)為背景的數(shù)學(xué)文化類(lèi)題目預(yù)測(cè)2：與高等數(shù)學(xué)相銜接的題目，如幾類(lèi)特殊的函數(shù)：取整函數(shù)、狄利克雷函數(shù)、符號(hào)函數(shù)預(yù)測(cè)3：以課本閱讀和課后習(xí)題為背景的數(shù)學(xué)文化類(lèi)題目：輾轉(zhuǎn)相除法、更相減損術(shù)、秦九韶算法、二進(jìn)制、割圓術(shù)、阿氏圓等預(yù)測(cè)4：以中外一些經(jīng)典的數(shù)學(xué)問(wèn)題為背景的題目如：回文數(shù)、匹克定理、哥尼斯堡七橋問(wèn)題、四色猜想等經(jīng)典數(shù)學(xué)小問(wèn)題立體幾何中的數(shù)學(xué)文化題例1九章算術(shù)商功章有題：一圓柱形谷倉(cāng)，高1丈3尺3寸，容納米2 000斛(1丈10尺，1尺10寸，斛為容積單位，1斛1.62立方尺，3)，則圓柱底面圓周長(zhǎng)約為()A1丈3尺B5丈4尺C9丈2尺 D48丈6尺思路分析根據(jù)圓柱的體積公式，結(jié)合題中圓柱的體積和高以及有關(guān)單位的數(shù)據(jù)計(jì)算出圓柱的底面半徑，再根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式，計(jì)算出圓柱底面圓周長(zhǎng)解析：設(shè)圓柱底面圓半徑為r尺，高為h尺，依題意，圓柱體積為Vr2h2 000×1.623×r2×13.33，所以r281，即r9，所以圓柱底面圓周長(zhǎng)為2r54,54尺5丈4尺，則圓柱底面圓周長(zhǎng)約為5丈4尺，故選B.答案：B體會(huì)領(lǐng)悟本題屬于生活中谷物儲(chǔ)存問(wèn)題，源于九章算術(shù)第五章“商功”，結(jié)合立體幾何中的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行設(shè)問(wèn)，強(qiáng)化了數(shù)學(xué)文化的傳承和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)我國(guó)古代數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)“經(jīng)世濟(jì)用”，涉及的研究大多與實(shí)際生活、生產(chǎn)聯(lián)系緊密，體現(xiàn)出明顯的問(wèn)題式、綜合性的特征立體幾何中幾何體體積公式是常考內(nèi)容，例如2014年湖北卷第10題和2015年高考全國(guó)卷第6題考查圓錐的體積公式例2“牟合方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過(guò)程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體，它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)其直觀(guān)圖如圖1，圖2中四邊形是為體現(xiàn)其直觀(guān)性所作的輔助線(xiàn)，當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，它的正視圖和俯視圖分別可能是()Aa，b Ba，cCc，b Db，d思路分析觀(guān)察題目所給直觀(guān)圖，理解題干中有關(guān)“牟合方蓋”的特征敘述，結(jié)合“當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)”這個(gè)關(guān)鍵條件作答解析：當(dāng)正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，“牟合方蓋”相對(duì)的兩個(gè)曲面正對(duì)前方，正視圖為一個(gè)圓，俯視圖為一個(gè)正方形，且兩條對(duì)角線(xiàn)為實(shí)線(xiàn)，故選A.答案：A體會(huì)領(lǐng)悟“牟合方蓋”是我國(guó)古代利用立體幾何模型和數(shù)學(xué)思想方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的代表之一本題取材于“牟合方蓋”，通過(guò)加工改造，添加解釋和提供直觀(guān)圖的方式降低了理解題意的難度解題從識(shí)“圖”到想“圖”再到構(gòu)“圖”，考生要經(jīng)歷分析、判斷的邏輯過(guò)程另外，我國(guó)古代數(shù)學(xué)中的其他著名幾何體，如“陽(yáng)馬”“鱉臑”和“塹堵”等的三視圖問(wèn)題都有可能在高考中考查例3我國(guó)南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高，意思是兩等高立方體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩立方體體積相等已知某不規(guī)則幾何體與如圖所對(duì)應(yīng)的幾何體滿(mǎn)足“冪勢(shì)同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為()A4 B8C8 D82思路分析根據(jù)題設(shè)所給的三視圖，想象出圖中所對(duì)應(yīng)幾何體是從一個(gè)正方體中挖去一個(gè)半圓柱，再根據(jù)祖暅原理和有關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算即可解析：由祖暅原理可知，該不規(guī)則幾何體的體積與已知三視圖的幾何體體積相等根據(jù)題設(shè)所給的三視圖，可知圖中的幾何體是從一個(gè)正方體中挖去一個(gè)半圓柱，正方體的體積為238，半圓柱的體積為×(×12)×2，因此該不規(guī)則幾何體的體積為8，故選C.答案：C體會(huì)領(lǐng)悟祖暅原理是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖暅提出的一個(gè)有關(guān)幾何求積的著名定理，祖暅提出這個(gè)原理，要比其他國(guó)家的數(shù)學(xué)家早一千多年人民教育出版社數(shù)學(xué)必修2(A版)第30頁(yè)“探究與發(fā)現(xiàn)”中專(zhuān)門(mén)介紹了祖暅原理本題取材于祖暅原理，考查幾何體的三視圖和體積計(jì)算，既檢測(cè)了考生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，又展示了中華民族的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化題例4九章算術(shù)是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有五人分五錢(qián)，令上二人所得與下三人等問(wèn)各得幾何？”其意思為：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢(qián)，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列問(wèn)五人各得多少錢(qián)？”(“錢(qián)”是古代的一種重量單位)這個(gè)問(wèn)題中，甲所得為()A.錢(qián) B.錢(qián)C.錢(qián) D.錢(qián)思路分析讀懂題意，將古代實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代數(shù)學(xué)問(wèn)題，本題相當(dāng)于已知等差數(shù)列an中，前5項(xiàng)和為5，a1a2a3a4a5，求a1.解析：設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，依題意有解得故選D.答案：D體會(huì)領(lǐng)悟我國(guó)古代數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)“經(jīng)世濟(jì)用”，注重算理算法，其中很多問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問(wèn)題例5中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還”其意思為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)第二天走了()A192里 B96里C48里 D24里思路分析讀懂題意，將古代實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代數(shù)學(xué)問(wèn)題，本題相當(dāng)于：已知等比數(shù)列an中，公比q，前6項(xiàng)和S6378，求a2.解析：設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q，依題意有 378，解得a1192，則a2192× 96，即第二天走了96里，故選B.答案：B體會(huì)領(lǐng)悟與等差數(shù)列一樣，我國(guó)古代數(shù)學(xué)涉及等比數(shù)列問(wèn)題也有很多，因此，涉及等比數(shù)列的數(shù)學(xué)文化題也頻繁出現(xiàn)在各級(jí)各類(lèi)考試試卷中解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是將古代實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代數(shù)學(xué)問(wèn)題，掌握等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式例6意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1,1,2,3,5,8，該數(shù)列的特點(diǎn)是：從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列an稱(chēng)為“斐波那契數(shù)列”，則是斐波那契數(shù)列中的第_項(xiàng)思路分析本題先根據(jù)題意明確該數(shù)列的遞推公式，再依據(jù)所給式子中項(xiàng)的特點(diǎn)把遞推公式恰當(dāng)變形得出結(jié)論解析：依題意得a1a21，an2an1an，an1·an2aanan1，則a2 015a2 016aa2 014a2 015，a2 014·a2 015aa2 013a2 014，a2 013a2 014aa2 012a2 013，a2a3aa1a2，又aa1a2，因此a2 015a2 016aaaaa，即a2 016，即是斐波那契數(shù)列中的第2 016項(xiàng)答案：2 016體會(huì)領(lǐng)悟該題的命制以人民教育出版社數(shù)學(xué)必修5(A版)第32頁(yè)“閱讀與思考”中的“斐波那契數(shù)列”為背景，考查考生靈活處理遞推數(shù)列問(wèn)題的能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力斐波那契數(shù)列有很多有趣的性質(zhì)，在實(shí)際生活中也有廣泛應(yīng)用在高考中，也曾經(jīng)很多次考查斐波那契數(shù)列問(wèn)題算法中的數(shù)學(xué)文化題例7如圖所示程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的“更相減損術(shù)”執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為8,12，則輸出的a()A4 B2C0 D14思路分析讀懂程序框圖，按程序框圖依次執(zhí)行即可解析：由程序框圖輸入的a8，b12，按程序框圖所示依次執(zhí)行，可得b1284，a8；a844，b4，ab，所以輸出a4.故選A.答案：A體會(huì)領(lǐng)悟九章算術(shù)系統(tǒng)總結(jié)了我國(guó)古代人民的優(yōu)秀數(shù)學(xué)思想，開(kāi)創(chuàng)了構(gòu)造算法以解決各類(lèi)問(wèn)題的東方數(shù)學(xué)發(fā)展的光輝道路，這與當(dāng)今計(jì)算機(jī)科學(xué)的飛速發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)提出的要求不謀而合本題程序框圖的算法思路源于九章算術(shù)中計(jì)算兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的“更相減損術(shù)”算法，2015年高考全國(guó)卷第8題也是此類(lèi)問(wèn)題例8秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州安岳(現(xiàn)四川省安岳縣)人，他在所著的數(shù)書(shū)九章中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法，如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入n，x的值分別為4,3，則輸出v的值為()A20 B61C183 D548思路分析讀懂程序框圖，按程序框圖依次執(zhí)行即可解析：初始值n，x的值分別為4,3，程序運(yùn)行過(guò)程如下：v1，i30，v1×336，i20；v6×3220，i10；v20×3161，i00；v61×30183，i10，結(jié)束循環(huán)，此時(shí)輸出v的值為183.故選C.答案：C體會(huì)領(lǐng)悟秦九韶算法是一種將一元n次多項(xiàng)式的求值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為n個(gè)一次式的求值問(wèn)題的算法其大大簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，即使在現(xiàn)代，利用計(jì)算機(jī)解決多項(xiàng)式的求值問(wèn)題時(shí)，秦九韶算法依然是最優(yōu)的算法本題程序框圖的算法思路源于數(shù)書(shū)九章中多項(xiàng)式求值的“秦九韶算法”例9公元263年左右，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，多邊形面積可無(wú)限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率”如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖，則輸出n的值為_(kāi)(參考數(shù)據(jù)：sin15°0.258 8，sin 7.5°0.130 5)思路分析讀懂程序框圖，按程序框圖依次執(zhí)行即可解析：n6，S×6×sin 60°2.5983.1，不滿(mǎn)足條件，進(jìn)入循環(huán)；n12，S×12×sin 30°33.1，不滿(mǎn)足條件，繼續(xù)循環(huán)；n24，S×24×sin 15°12×0.258 83.105 63.1，滿(mǎn)足條件，退出循環(huán)，輸出n的值為24.答案：24體會(huì)領(lǐng)悟更相減損術(shù)、秦九韶算法和割圓術(shù)分別在人民教育出版社數(shù)學(xué)必修3(A版)第36頁(yè)，第37頁(yè)，第45頁(yè)“算法案例”中出現(xiàn)其中更相減損術(shù)和秦九韶算法分別在2015年和2016年高考全國(guó)卷中考過(guò)，因此以后全國(guó)卷考查割圓術(shù)的可能性較大概率統(tǒng)計(jì)中的數(shù)學(xué)文化題例10歐陽(yáng)修的賣(mài)油翁中寫(xiě)到：“(翁)乃取一葫蘆，置于地，以錢(qián)覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢(qián)孔入，而錢(qián)不濕”可見(jiàn)“行行出狀元”，賣(mài)油翁的技藝讓人嘆為觀(guān)止若銅錢(qián)是直徑為3 cm的圓，中間有邊長(zhǎng)為1 cm的正方形孔，若隨機(jī)向銅錢(qián)上滴一滴油(油滴的直徑忽略不計(jì))，則正好落入孔中的概率是_思路分析將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的幾何概型問(wèn)題，關(guān)鍵是要求出銅錢(qián)的面積和中間正方形孔的面積，然后代入幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解解析：依題意，所求概率為P.答案：體會(huì)領(lǐng)悟從中國(guó)古代文學(xué)作品中選取素材考查數(shù)學(xué)問(wèn)題，豐富了數(shù)學(xué)文化題的取材途徑試題插圖的創(chuàng)新是本題的一個(gè)亮點(diǎn)，其一，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)問(wèn)題的生活化，使數(shù)學(xué)的應(yīng)用更貼近考生的生活實(shí)際；其二，有利于考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，這對(duì)穩(wěn)定考生在考試中的情緒和心態(tài)起到了較好的效果；其三，探索了數(shù)學(xué)試題插圖的新形式，給出了如何將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀(guān)化的范例三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)文化題例11第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計(jì)的如圖，會(huì)標(biāo)是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較大的銳角為，那么tan ()_.思路分析本題先根據(jù)題意確定大、小正方形的邊長(zhǎng)，再由直角三角形中銳角的三角函數(shù)值確定角滿(mǎn)足的條件，由此依據(jù)相關(guān)的三角函數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算即可解析：依題意得大、小正方形的邊長(zhǎng)分別是5,1，于是有5sin 5cos 1(0)，即有sin cos .從而(sin cos )22(sin cos )2，則sin cos ，因此sin ，cos ，tan ，故tan()7.答案：7體會(huì)領(lǐng)悟 1700多年前，趙爽繪制了極富創(chuàng)意的弦圖，采用“出入相補(bǔ)”原理使得勾股定理的證明不證自明該題取材于第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)，題干大氣，設(shè)問(wèn)自然，流露出豐富的文化內(nèi)涵既巧妙地考查了三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，又豐富了弦圖的內(nèi)涵，如正方形四邊相等寓言各國(guó)及來(lái)賓地位平等，小正方形和三角形緊緊簇?fù)碓谝黄穑砻鞲鲊?guó)數(shù)學(xué)家要密切合作交流，等等不等式中的數(shù)學(xué)文化題例12設(shè)a0，b0，則為a，b的調(diào)和平均數(shù)如圖，C為線(xiàn)段AB上的點(diǎn)，ACa，CBb，O為AB的中點(diǎn)，以AB為直徑作半圓過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn)交半圓于D，連接OD，AD，BD.過(guò)點(diǎn)C作OD的垂線(xiàn)，垂足為E.則圖中線(xiàn)段OD的長(zhǎng)度是a，b的算術(shù)平均數(shù)，線(xiàn)段CD的長(zhǎng)度是a，b的幾何平均數(shù)，線(xiàn)段_的長(zhǎng)度是a，b的調(diào)和平均數(shù)思路分析將線(xiàn)段OD，CD融入相關(guān)直角三角形中，利用三角形相似進(jìn)行計(jì)算，再結(jié)合調(diào)和平均數(shù)的定義即可得到正確結(jié)果解析：因?yàn)镽tDECRtDCO，所以，從而DE.依題意可得OD，CD，所以DE，即線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度是a，b的調(diào)和平均數(shù)答案：DE體會(huì)領(lǐng)悟早在4世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家帕波斯在其代表作數(shù)學(xué)匯編第3卷第2部分就給出了算術(shù)平均、幾何平均、調(diào)和平均三種平均數(shù)的理論嵌入幾何意義考查不等式，凸顯經(jīng)典數(shù)學(xué)名題的深邃內(nèi)涵和命題專(zhuān)家的過(guò)人之處解析幾何中的數(shù)學(xué)文化題例132016年1月14日，國(guó)防科工局宣布，“嫦娥四號(hào)”任務(wù)已經(jīng)通過(guò)了探月工程重大專(zhuān)項(xiàng)領(lǐng)導(dǎo)小組審議通過(guò)，正式開(kāi)始實(shí)施如圖所示，假設(shè)“嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道和的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道和的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，給出下列式子：a1c1a2c2；a1c1a2c2；c1a2a1c2.其中正確式子的序號(hào)是()A BC D思路分析注意到橢圓和共一個(gè)頂點(diǎn)P和一個(gè)焦點(diǎn)F，題目所給四個(gè)式子涉及長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和半焦距，因此可以從橢圓的焦距入手求解解析：觀(guān)察圖形可知a1c1a2c2，即式不正確；a1c1a2c2|PF|，即式正確；由a1c1a2c20，c1c20，知，即，從而c1a2a1c2，即式正確，式不正確故選D.答案：D體會(huì)領(lǐng)悟命題者抓住“嫦娥奔月”這個(gè)古老而又現(xiàn)代的浪漫話(huà)題，以探測(cè)衛(wèi)星軌道為背景，抽象出共一條對(duì)稱(chēng)軸、一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)的兩個(gè)橢圓的幾何性質(zhì)，并以加減乘除的方式構(gòu)造兩個(gè)等式和兩個(gè)不等式，考查橢圓的幾何性質(zhì)，可謂匠心獨(dú)運(yùn)本題對(duì)考生的數(shù)學(xué)能力進(jìn)行了比較全面的考查，是一道名副其實(shí)的小中見(jiàn)大、常中見(jiàn)新、蘊(yùn)文化于應(yīng)用之中的好題- 9 -