專題07 三角恒等變換與解三角形 和差角公式、二倍角公式是高考的熱點，常與三角函數(shù)式的求值、化簡交匯命題．既有選擇題、填空題，又有解答題，難度適中，主要考查公式的靈活運用及三角恒等變換能力． 1．和差角公式 (1)cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ； (2)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ； (3)tan(α±β)＝. 2．倍角公式 (1)sin2α＝2sinαcosα； (2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3) tan2α＝. 3．半角公式 (1)sin＝±； (2)cos＝±； (3)tan＝±； (4)tan＝＝. 4．正弦定理 ＝＝＝2R(2R為△ABC外接圓的直徑)． 5．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC. 6．面積公式 S△ABC＝bcsinA＝acsinB＝absinC. 7．解三角形 (1)已知兩角及一邊，利用正弦定理求解； (2)已知兩邊及一邊的對角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一，需討論； (3)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解； (4)已知三邊，利用余弦定理求解． 8．“變”是解決三角問題的主題，變角、變名、變表達(dá)形式、變換次數(shù)等比比皆是，強化變換意識，抓住萬變不離其宗——即公式不變，方法不變，要通過分析、歸類把握其規(guī)律. 考點一　三角恒等變換及求值 例1、【2017山東，文7】函數(shù) 最小正周期為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因為,所以其周期,故選C 【變式探究】(1)(2016·高考全國卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin＝，則tan＝________. 【答案】－ ∴θ＝α－， ∴tan＝tan＝－tan. 如圖，在Rt△ACB中，不妨設(shè)∠A＝α，由sin α＝可得， BC＝3，AB＝5，AC＝4， ∴∠B＝－α，∴tan B＝， ∴tan＝－tan B＝－. (2)(2016·高考全國卷Ⅲ)若tan α＝，則cos2α＋2sin 2α＝(　　) A.　　　　　　　　 B. C．1 D. 【答案】A (3)設(shè)α∈，β∈，且tan α＝，則(　　) A．3α－β＝ B．3α＋β＝ C．2α－β＝ D．2α＋β＝ 【答案】C 【解析】通解：由tan α＝得＝，即sin αcos β＝cos α＋sin βcos α，所以sin(α－β)＝cos α，又cos α＝sin，所以sin(α－β)＝sin，又因為α∈，β∈，所以－＜α－β＜，0＜－α＜，因為α－β＝－α，所以2α－β＝，故選C. 【方法規(guī)律】1．三角函數(shù)恒等變換“四大策略” (1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等； (2)項的分拆與角的配湊：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降冪與升冪：正用二倍角公式升冪，逆用二倍公式降冪； (4)弦、切互化：切化弦，弦化切，減少函數(shù)種類． 2．解決條件求值問題的三個關(guān)注點 (1)分析已知角和未知角之間的關(guān)系，正確地用已知角來表示未知角． (2)正確地運用有關(guān)公式將所求角的三角函數(shù)值用已知角的三角函數(shù)值來表示． (3)求解三角函數(shù)中給值求角的問題時，要根據(jù)已知求這個角的某種三角函數(shù)值，然后結(jié)合角的取值范圍，求出角的大小． 【變式探究】已知sin＝，cos 2α＝，則sin α等于(　　) A. B．－ C．－ D. 考點二　正、余弦定理的簡單應(yīng)用 例2、【2017課標(biāo)3，文15】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，則A=_________. 【答案】75° 【解析】由題意： ，即 ，結(jié)合 可得 ，則. 【變式探究】(1)(2016·高考全國卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC邊上的高等于BC，則sin A＝(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】通解：設(shè)BC邊上的高為AD，則BC＝3AD，DC＝2AD，所以AC＝＝AD.由正弦定理，知＝，即＝，解得sin A＝，故選D. 優(yōu)解：設(shè)出BC長度求邊，用正弦定理求sin A. 設(shè)BC＝3，則高AD＝BD＝1，DC＝2. ∴AC＝， ∴sin A＝＝. (2)已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，則△ABC面積的最大值為________． 【答案】 形時，S＝×22×sin 60°＝. 【方法技巧】 1．解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則考慮兩個定理都有可能用到． 2．關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正弦、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見的三角恒等變換方法和原則都適用，同時要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”． 【變式探究】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin 2A，且c＝，C＝，則△ABC的面積是(　　) A. B. C. D.或 考點三　正余弦定理的綜合應(yīng)用 例3、【2017課標(biāo)1，文11】△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c。已知，a=2，c=，則C= A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意得 ， 即，所以． 由正弦定理得，即， 因為c<a，所以C<A， 所以，故選B． 【變式探究】已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sin C＝－3cos Acos B，tan Atan B＝1－，c＝. (1)求的值； (2)若＋＝1，求△ABC的周長與面積． 【解析】(1)由sin C＝－3cos Acos B可得sin(A＋B)＝－3cos Acos B， 即sin Acos B＋cos Asin B＝－3cos Acos B，因為tan Atan B＝1－，所以A，B≠，兩邊同時除以cos Acos B，得到tan A＋tan B＝－3，因為tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，tan(A＋B)＝＝＝－，所以tan C＝ 【方法規(guī)律】 1．注意利用第(1)問的結(jié)果：在題設(shè)條件下，如果第(1)問的結(jié)果第(2)問能用得上，可以直接用，有些題目不用第(1)問的結(jié)果甚至無法解決，如本題即是在第(1)問的基礎(chǔ)上求解． 2．寫全得分關(guān)鍵：在三角函數(shù)及解三角形類解答題中，應(yīng)注意解題中的關(guān)鍵點，有則給分，無則不得分，所以在解答題時一定要寫清得分關(guān)鍵點，如第(1)問中，沒有將正弦定理表示出來的過程，則不得分；第(2)問中沒有將面積表示出來則不得分，只有將面積轉(zhuǎn)化為得分點⑦才得分． 【變式探究】在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,2acos C＋2ccos A＝a＋c. (1)若＝，求的值； (2)若C＝，且c－a＝8，求△ABC的面積S. 解：(1)∵2acos C＋2ccos A＝a＋c 由正弦定理：2sin Acos C＋2sin Ccos A＝sin A＋sin C ∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)＝2sin(π－B)＝2sin B ∴a＋c＝2b?、? ∵＝，∴＝　② 由①②得：＝. (2)∵c－a＝8，a＋c＝2b， ∴b＝a＋4，c＝a＋8， ∵C＝. 由余弦定理得：(a＋8)2＝a2＋(a＋4)2－2a·(a＋4)cos， 解得：a＝6，∴b＝10. 所以S＝absin C＝×6×10×＝15. 考點四　三角形的交匯問題 例4、已知向量m＝(sin x，－1)，n＝，函數(shù)f(x)＝(m＋n)·m (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)g(x)的圖象，在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，若a＝3，g＝，sin B＝cos A，求b的值． ∴cos A＝±， ∵在△ABC中，sin B＝cos A＞0，∴sin B＝. 由正弦定理：＝， ∴b＝＝＝3. 【方法規(guī)律】三角函數(shù)和平面向量是高中數(shù)學(xué)的兩個重要分支，內(nèi)容繁雜，且平面向量與三角函數(shù)交匯點較多，向量的平行、垂直 、夾角、數(shù)量積等知識都可以與三角函數(shù)進(jìn)行交匯.不論是哪類向量知識與三角函數(shù)的交匯試題，都會出現(xiàn)交匯問題中的難點，對于此類問題的解決方法就是利用向量的知識將條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的“數(shù)量關(guān)系”，再利用三角函數(shù)的相關(guān)知識進(jìn)行求解. 【變式探究】在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m＝(2sin(A＋C)，)，向量n＝，且m∥n. (1)求角B的大??； (2)若sin Asin C＝sin2B，求a－c的值． 1.【2017課標(biāo)1，文11】△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c。已知，a=2，c=，則C= A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意得 ， 即，所以． 由正弦定理得，即， 因為c<a，所以C<A， 所以，故選B． 2.【2017課標(biāo)3，文6】函數(shù)的最大值為（ ） A． B．1 C． D． 【答案】A 3.【2017課標(biāo)II，文3】函數(shù)的最小正周期為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題意，故選C. 4.【2017課標(biāo)3，文4】已知，則=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 . 所以選A. 5. 【2017山東，文4】已知,則 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由得,故選D. 5.【2017山東，文7】函數(shù) 最小正周期為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因為,所以其周期,故選C. 7.【2017浙江，13】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 點D為AB延長線上一點，BD=2，連結(jié)CD，則△BDC的面積是______，cos∠BDC=_______． 【答案】 綜上可得，△BCD面積為，． 8.【2017北京，文9】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱. 若sin=，則sin=_________． 【答案】 【解析】因為角與角的終邊關(guān)于軸對稱，所以，所以. 9.【2017課標(biāo)3，文15】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，則A=_________. 【答案】75° 【解析】由題意： ，即 ，結(jié)合 可得 ，則. 1.【2016高考新課標(biāo)2文數(shù)】若，則（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 2.【2016高考新課標(biāo)3文數(shù)】若 ，則（ ） (A) (B) (C) 1 (D) 【答案】A 【解析】 由，得或，所以，故選A． 3.【2016年高考四川文數(shù)】= . 【答案】 【解析】由二倍角公式得 1.【2016高考新課標(biāo)3文數(shù)】在中，，邊上的高等于,則（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 2.【2016高考新課標(biāo)2文數(shù)】的內(nèi)角的對邊分別為，若，，，則 ． 【答案】 【解析】因為，且為三角形的內(nèi)角，所以，，又因為，所以. 3.【2016高考天津文數(shù)】在△ABC中，若,BC=3， ,則AC= （ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【答案】A 【解析】由余弦定理得,選A. 4.【2016高考江蘇卷】在銳角三角形中，若，則的最小值是 ▲ . 【答案】8. 【解析】，又，因即最小值為8. 1.【2016年高考四川文數(shù)】（本小題滿分12分） 在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且. （I）證明：； （II）若，求. 【答案】（Ⅰ）證明詳見解析；（Ⅱ）4. 【解析】 所以sin A==． 由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B， 所以sin B=cos B+sin B， 故tan B==4． 2.【2016高考浙江文數(shù)】（本題滿分14分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c. 已知b+c=2a cos B. （I）證明：A=2B； （II）若△ABC的面積，求角A的大小. 【答案】（I）證明見解析；（II）或． 【解析】 3.【2016高考山東文數(shù)】（本小題滿分12分） 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知 （Ⅰ）證明：a+b=2c; （Ⅱ）求cosC的最小值. 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） 【解析】 【2015高考四川，文12】 . 【答案】. 【解析】法一、. 法二、. 法三、. 【2015高考浙江，文11】函數(shù)的最小正周期是 ，單調(diào)遞減區(qū)間是 ． 【答案】，，. 【解析】，故最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為 ，. 【2015高考天津，文15】（本小題滿分13分）已知函數(shù)， (I)求最小正周期； (II)求在區(qū)間上的最大值和最小值. 【答案】(I); (II) ,. . 【2015高考重慶，文18】 已知函數(shù) （1）求的最小正周期和最大值； （2）討論在上的單調(diào)性. 【答案】（1）最小正周期為，最大值為；（2）在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減. 【解析】 （1） , 【2015高考上海，文14】在銳角三角形中，，為邊上的點，與的面積分別為和．過作于，于，則 ． 【答案】 【解析】由題意得：，又,因為DEAF四點共圓，因此 【2015高考廣東，文11】設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若， ，，則 . 【答案】． 【解析】因為且，所以或，又，所以，，又，由正弦定理得即解得，故應(yīng)填入． 【2015高考湖北，文12】函數(shù)的零點個數(shù)為 ． 【答案】2 【2015高考湖北，文13】如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達(dá)處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度 m. 【答案】 【解析】依題意，，，在中，由， 所以，因為，由正弦定理可得，即m， 在中，因為，，所以，所以m． 【2015高考重慶，文13】在ABC中，B=，AB=，A的角平分線AD=,則AC=_______. 【答案】 【解析】由正弦定理得，即，解得，，從而，所以，. 【2015高考福建，文12】若銳角的面積為 ，且 ，則 等于________． 【答案】7 【2015高考新課標(biāo)2，文17】（本題滿分12分） 中，是上的點，平分，面積是面積的2倍． (Ⅰ) 求； (Ⅱ)若，，求和的長． 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)． 【解析】(Ⅰ)，，因為，，所以．由正弦定理可得．(Ⅱ)因為，所以．在和中，由余弦定理得 ，． ．由(Ⅰ)知，所以． 【2015高考浙江，文16】在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，=. （1）求的值； （2）若的面積為7，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【2015高考安徽，文16】在中，,點D在邊上，，求的長. 【答案】 【解析】如圖， 設(shè)的內(nèi)角所對邊的長分別是，由余弦定理得 ， 所以. 又由正弦定理得. 由題設(shè)知，所以. 在中，由正弦定理得. 【2015高考陜西，文17】（本小題滿分12分）的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．向量與平行． （I）求； （II）若，求的面積． 【答案】（I）；（II）． 【解析】 又由，知，所以. 故 所以的面積為. 1. 【2014高考江蘇卷第14題】 若的內(nèi)角滿足，則的最小值是 . 【答案】 【解析】由已知及正弦定理可得， ，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立． 【考點】正弦定理與余弦定理． 2. 【2014全國1高考文第16題】已知分別為三個內(nèi)角的對邊，，且，則面積的最大值為____________． 【答案】 【考點定位】正弦定理和余弦定理、三角形的面積公式． 3. 【2014全國2高考文第4題】鈍角三角形ABC的面積是，AB=1，BC= ，則AC=( ) A. 5 B. C. 2 D. 1 【答案】B 【考點定位】余弦定理及三角形的面積公式、解三角形 4. 【2014山東高考文第12題】在中，已知，當(dāng)時，的面積為________. 【答案】 【解析】由得，， 所以，. 【考點定位】 三角形的面積. 5. 【2014高考廣東卷文第12題】在中，角、、所對應(yīng)的邊分別為、、，已知，則 . 【答案】. 【解析】，由邊角互化得， 即，即，所以. 【考點定位】正弦定理中的邊角互化思想的應(yīng)用以及兩角和的三角函數(shù)， 6. 【2014全國1高考文第8題】設(shè)且則（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【考點定位】和角的正弦公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式． 7. 【2014高考福建卷第12題】在中，,則的面積等于_________. 【答案】 【解析】由正弦定理可得.所以的面積等于. 【考點定位】正弦定理、三角形的面積. 8. 【2014江西高考文第4題】在中，內(nèi)角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為，若則的面積（ ） A.3 B. C. D. 【答案】C 【解析】因為所以由余弦定理得：，即，因此的面積為選C. 【考點定位】余弦定理 9. 【2014四川高考文第13題】如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為，，此時氣球的高是，則河流的寬度BC約等于 .（用四舍五入法將結(jié)果精確到個位.參考數(shù)據(jù)：，，，，） 【答案】60 【解析】 ，，. 【考點定位】解三角形. 10. 【2014浙江高考文第17題】如圖，某人在垂直于水平地面的墻面前的點處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點到墻面的距離為，某目標(biāo)點沿墻面的射擊線移動，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點，需計算由點觀察點的仰角的大小.若則的最大值 . 【答案】 ，令得，，代入得，，故的最大值為． 【考點定位】解三角形,求最值. 11．【2014重慶高考文第10題】 已知的內(nèi)角，面積滿足 所對的邊，則下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【考點定位】兩角和與差的三角函數(shù)、正弦定理、三角形的面積公式. 12. 【2014天津高考文第12題】在中，內(nèi)角所對的邊分別是．已知，，則的值為_______． 【答案】． 【解析】∵代入得，由余弦定理得． 【考點定位】正弦定理、余弦定理的推論． 13. 【2014大綱高考文第3題】設(shè)則 （ ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】故選C． 【考點定位】三角函數(shù)基本關(guān)系式 14. 【2014高考安徽卷第16題】（本小題滿分12分）設(shè)的內(nèi)角所對邊的長分別是，且 （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【考點定位】正、余弦定理、三角函數(shù)恒等變形. 15. 【2014高考北京文第15題】如圖，在中，，點在邊上，且，. （1）求； （2）求，的長. 【答案】（1）；（2）7. 【考點定位】同角三角函數(shù)的關(guān)系，兩個角的差的正弦公式，正弦定理與余弦定理. 16. 【2014高考福建文第16題】已知函數(shù). （1） 若，且，求的值； （2） 求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. 【答案】(1) ;(2) , 【解析】 (1)因為所以.所以 (2)因為 ,所以.由得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為. 【考點定位】1.三角函數(shù)的性質(zhì).2.三角的恒等變形. 17. 【2014高考廣東文第16題】已知函數(shù)，，且. （1）求的值； （2）若，，求. 【答案】（1）；（2）. ， ，，則， . 【考點定位】本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及兩角和的三角函數(shù) 18. 【2014高考湖北文第17題】某實驗室一天的溫度（單位：）隨時間（單位：）的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系； . （1）求實驗室這一天的最大溫差； （2）若要求實驗室溫度不高于11，則在哪段時間實驗室需要降溫？ 【答案】（1）4；（2）在10時至18時實驗室需要降溫. 【考點定位】兩個角的和的正弦公式、三角不等式的解法. 19. 【2014高考湖南文第18題】如圖5,在平面四邊形中,. (1)求的值; (2)若,,求的長. 【答案】(1) (2) 【解析】 且,再由正弦的和差角公式可得 ,再由的正弦定理可得 . 【考點定位】三角形正余弦定理、正余弦之間的關(guān)系與和差角公式 20. 【2014高考江蘇第15題】已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【考點】三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式、兩角和與差的正弦、余弦公式． 21. 【2014高考遼寧文第17題】在中，內(nèi)角A，B，C的對邊a，b，c，且，已知，，，求： （1）a和c的值； （2）的值. 【答案】（1）a=3，c=2；（2）. 【解析】（1）由得，，又，所以ac=6. 由余弦定理，得. 又b=3，所以. 解，得a=2，c=3或a=3，c=2. 因為a>c,∴ a=3，c=2. （2）在中， 由正弦定理，得，又因為，所以C為銳角，因此. 于是=. 【考點定位】解三角形、三角恒等變換. 22. 【2014高考山東卷第16題】已知向量，，設(shè)函數(shù)，且的圖象過點和點. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）將的圖象向左平移（）個單位后得到函數(shù)的圖象.若的圖象上各最高點到點的距離的最小值為1，求的單調(diào)增區(qū)間. 【答案】（I）. （II）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為. 【解析】 解得. 【考點定位】平面向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的化簡，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì). 23. 【2014高考四川第16題】已知函數(shù). （1）求的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）若是第二象限角，，求的值. 【答案】（1）；（2）,. 【解析】 （1）； （2）由題設(shè)得：， 即，. 若，則， 若，則. 【考點定位】三角函數(shù)的性質(zhì)、三角恒等變換三角函數(shù)的求值. 24.【2014高考浙江文第18題】在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知， （I）求角的大小； （II）若，求的面積. 【答案】（1）；（2）． ，所以； （2）由，，得，由，得，從而，故，所以的面積為． 【考點定位】誘導(dǎo)公式，、兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、三角形面積公式 25.【2014高考重慶文科第17題】已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，且圖像上相鄰兩個最高點的距離為. （I）求和的值； （II）若，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因的圖象上相鄰兩個最高點的距離為，所以的最小正周期，從而. 【考點定位】誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì). 1．已知2sin 2α＝1＋cos 2α，則tan 2α＝(　　) A．－ B. C．－或0 D.或0 【答案】D 【解析】基本法：∵， ∴或 ∴tan 2α＝0或tan 2α＝. 2．若tan α＝2tan，則＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】基本法：＝ ＝＝ ＝， ∵tan α＝2tan，∴＝＝3.故選C. 3．已知tan β＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，則sin α的值為(　　)(導(dǎo)學(xué)號 55460112) A. B. C. D.或 【答案】A 【解析】依題意得sinβ＝，cos β＝.注意到sin(α＋β)＝<sinβ，因此有α＋β>(否則，若α＋β≤，則有0<β<α＋β≤，0<sin β<sin(α＋β)，這與“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，則cos(α＋β)＝－，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sin β＝. 4．函數(shù)f(x)＝sin 2x＋tancos 2x的最小正周期為(　　) A.　　　B．π　　　C．2π　　　D． 4π 【答案】B 【解析】∵f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin， ∴函數(shù)f(x)的最小正周期T＝＝π. 5．已知tan(3π－α)＝－，tan(β－α)＝－，則tan β＝________. 【答案】 【解析】基本法：依題意得tan α＝， 又tan(β－α)＝－， ∴tan β＝tan[(β－α)＋α]＝＝. 6．已知sin α＋2cos α＝0，則2sin αcos α－cos2α的值是________． 【答案】－1 【解析】基本法：由sin α＋2cos α＝0得tan α＝－2. ∴2sin αcos α－cos2α＝＝＝＝＝－1. 7．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2asin A＝(2sin B＋sin C)b＋(2c＋b)·sin C，則A＝________． 【答案】120° 8.如圖，山上原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC，小李在山腳B處看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角∠ABC＝120°；從B處攀登400米到達(dá)D處，回頭看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角∠ADC＝150°；從D處再攀登800米方到達(dá)C處，則索道AC的長為________米． 【答案】400 (400)2＋8002－2×400×800×cos 150°＝4002×1 3，解得AC＝400(米)．故索道AC的長為400米． 9．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知2(tan A＋tan B)＝＋. (1)證明：a＋b＝2c； (2)求cos C的最小值． (1)證明：由題意知2＝＋ ， 化簡得2(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin A＋sin B， 即2sin(A＋B)＝sin A＋sin B. ∵A＋B＋C＝π， ∴sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， 從而sin A＋sin B＝2sin C， 由正弦定理得a＋b＝2c. (2)解：由(1)知c＝，[ ∴cos C＝＝＝ －≥， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立， 故cos C的最小值為. 45