2018年高考數學二輪復習 專題07 三角恒等變換與解三角形講學案 文
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1、 專題07 三角恒等變換與解三角形 和差角公式、二倍角公式是高考的熱點,常與三角函數式的求值、化簡交匯命題.既有選擇題、填空題,又有解答題,難度適中,主要考查公式的靈活運用及三角恒等變換能力. 1.和差角公式 (1)cos(α±β)=cosαcosβ?sinαsinβ; (2)sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ; (3)tan(α±β)=. 2.倍角公式 (1)sin2α=2sinαcosα; (2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; (3) tan2α=. 3.半角公式 (1)sin=±; (2)cos
2、=±; (3)tan=±; (4)tan==. 4.正弦定理 ===2R(2R為△ABC外接圓的直徑). 5.余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA, b2=a2+c2-2accosB, c2=a2+b2-2abcosC. 6.面積公式 S△ABC=bcsinA=acsinB=absinC. 7.解三角形 (1)已知兩角及一邊,利用正弦定理求解; (2)已知兩邊及一邊的對角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的情況可能不唯一,需討論; (3)已知兩邊及其夾角,利用余弦定理求解; (4)已知三邊,利用余弦定理求解. 8.“變”是解決三角問題的主題,變角、變名、變表
3、達形式、變換次數等比比皆是,強化變換意識,抓住萬變不離其宗——即公式不變,方法不變,要通過分析、歸類把握其規(guī)律. 考點一 三角恒等變換及求值 例1、【2017山東,文7】函數 最小正周期為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因為,所以其周期,故選C 【變式探究】(1)(2016·高考全國卷Ⅰ)已知θ是第四象限角,且sin=,則tan=________. 【答案】- ∴θ=α-, ∴tan=tan=-tan. 如圖,在Rt△ACB中,不妨設∠A=α,由sin α=可得, BC=3,AB=5,AC=
4、4, ∴∠B=-α,∴tan B=, ∴tan=-tan B=-. (2)(2016·高考全國卷Ⅲ)若tan α=,則cos2α+2sin 2α=( ) A. B. C.1 D. 【答案】A (3)設α∈,β∈,且tan α=,則( ) A.3α-β= B.3α+β= C.2α-β= D.2α+β= 【答案】C 【解析】通解:由tan α=得=,即sin αcos β=cos α+sin βcos α,所以sin(α-β)=cos α,又cos α=sin,所以sin(α-β)=sin,又因為α∈,β∈,所以-<α-β<,0<-α<
5、,因為α-β=-α,所以2α-β=,故選C. 【方法規(guī)律】1.三角函數恒等變換“四大策略” (1)常值代換:特別是“1”的代換,1=sin2θ+cos2θ=tan 45°等; (2)項的分拆與角的配湊:如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α,α=(α-β)+β等; (3)降冪與升冪:正用二倍角公式升冪,逆用二倍公式降冪; (4)弦、切互化:切化弦,弦化切,減少函數種類. 2.解決條件求值問題的三個關注點 (1)分析已知角和未知角之間的關系,正確地用已知角來表示未知角. (2)正確地運用有關公式將所求角的三角函數值用已知角的三角函數值來表示.
6、(3)求解三角函數中給值求角的問題時,要根據已知求這個角的某種三角函數值,然后結合角的取值范圍,求出角的大?。? 【變式探究】已知sin=,cos 2α=,則sin α等于( ) A. B.- C.- D. 考點二 正、余弦定理的簡單應用 例2、【2017課標3,文15】△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,則A=_________. 【答案】75° 【解析】由題意: ,即 ,結合 可得 ,則. 【變式探究】(1)(2016·高考全國卷Ⅲ)在△ABC中,B=,BC邊上的高等于BC,則sin A=( ) A. B.
7、C. D. 【答案】D 【解析】通解:設BC邊上的高為AD,則BC=3AD,DC=2AD,所以AC==AD.由正弦定理,知=,即=,解得sin A=,故選D. 優(yōu)解:設出BC長度求邊,用正弦定理求sin A. 設BC=3,則高AD=BD=1,DC=2. ∴AC=, ∴sin A==. (2)已知a,b,c分別為△ABC三個內角A,B,C的對邊,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,則△ABC面積的最大值為________. 【答案】 形時,S=×22×sin 60°=. 【方法技巧】 1.解三角形時,如果式子中含有角的余弦或邊的二
8、次式,要考慮用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時,則考慮用正弦定理;以上特征都不明顯時,則考慮兩個定理都有可能用到. 2.關于解三角形問題,一般要用到三角形的內角和定理,正弦、余弦定理及有關三角形的性質,常見的三角恒等變換方法和原則都適用,同時要注意“三統(tǒng)一”,即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數、統(tǒng)一結構”. 【變式探究】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,已知sin(B+A)+sin(B-A)=3sin 2A,且c=,C=,則△ABC的面積是( ) A. B. C. D.或 考點三 正余弦定理的綜合應用 例3、【2017課標1,文11】△ABC的內角A
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