專題37 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷圓與圓的位置關(guān)系。2能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問題。3初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。熱點(diǎn)題型一 直線與圓的位置關(guān)系例1、(1)已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2y21外，則直線axby1與圓O的位置關(guān)系是()A相切 B相交C相離 D不確定(2)直線xym0與圓x2y22x10有兩個(gè)不同交點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是()A3m1 B4m2C0m1 Dm1解析：(1)由點(diǎn)M在圓外，得a2b21，圓心O到直線axby1的距離d1，則直線與圓O相交?！咎岱置丶颗袛嘀本€與圓的位置關(guān)系常見的方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系。(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程隨之后利用判斷。(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交。上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問題。【舉一反三】 若圓x2y2r2(r0)上僅有4個(gè)點(diǎn)到直線xy20的距離為1，則實(shí)數(shù)r的取值范圍為()A(1，) B(1，1)C(0, 1) D(0，1)解析：計(jì)算得圓心到直線l的距離為1，如圖。直線l：xy20與圓相交，l1，l2與l平行，且與直線l的距離為1，故可以看出，圓的半徑應(yīng)該大于圓心到直線l2的距離1。答案：A熱點(diǎn)題型二 圓的切線與弦長(zhǎng)問題例2、(1)過點(diǎn)(3,1)作圓(x1)2y21的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為()A2xy30 B2xy30C4xy30 D4xy30(2)過點(diǎn)(3,1)作圓(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的長(zhǎng)為_。【提分秘籍】 圓的切線與弦長(zhǎng)問題的解題策略(1)處理直線與圓的弦長(zhǎng)問題時(shí)多用幾何法，即弦長(zhǎng)一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形。(2)圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑建立關(guān)系解決問題。 【舉一反三】 直線ykx3與圓(x2)2(y3)24相交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|2，則k的取值范圍是()A. B. C， D.解析：如圖，若|MN|2，則由圓與直線的位置關(guān)系可知圓心到直線的距離滿足d222()21。直線方程為ykx3，d1，解得k±。若|MN|2，則k。熱點(diǎn)題型三 圓與圓的位置關(guān)系 例3已知兩圓x2y22x6y10和x2y210x12ym0。(1)m取何值時(shí)兩圓外切？(2)m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切？(3)求m45時(shí)兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng)。解析：兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m，圓心分別為M(1,3)，N(5,6)，半徑分別為和。(1)當(dāng)兩圓外切時(shí)，解得m2510。(2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，因定圓的半徑小于兩圓圓心間距離5，故只有5，解得m2510。(3)兩圓的公共弦所在直線方程為(x2y22x6y1)(x2y210x12y45)0，即4x3y230，公共弦長(zhǎng)為22。【提分秘籍】圓與圓的位置關(guān)系的求解策略(1)判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法。(2)當(dāng)兩圓相交時(shí)求其公共弦所在的直線方程是公共弦長(zhǎng)，只要把兩圓方程相減消掉二次項(xiàng)所得方程就是公共弦所在的直線方程，再根據(jù)其中一個(gè)圓和這條直線就可以求出公共弦長(zhǎng)。【舉一反三】 若圓(xa)2(yb)2b21始終平分圓(x1)2(y1)24的周長(zhǎng)，則a，b滿足的關(guān)系是()Aa22a2b30Ba2b22a2b50Ca22a2b50Da22a2b50解析：兩圓的公共弦必過(x1)2(y1)24的圓心，兩圓相減得相交弦的方程為2(a1)x2(b1)ya210，將圓心坐標(biāo)(1，1)代入可得a22a2b50，故選C。答案：C 1.【2017課標(biāo)II，理9】若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，則的離心率為（ ）A2 B C D【答案】A1.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】圓的圓心到直線的距離為1，則a=（ ）（A） （B） （C） （D）2【答案】A【解析】圓的方程可化為，所以圓心坐標(biāo)為，由點(diǎn)到直線的距離公式得：，解得，故選A2.【2016高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分12分）設(shè)圓的圓心為A,直線l過點(diǎn)B（1,0）且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.（I）證明為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；（II）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.【答案】（）（）（II）（）當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)的方程為，.由得.則，.所以.過點(diǎn)且與垂直的直線：，到的距離為，所以.故四邊形的面積.可得當(dāng)與軸不垂直時(shí)，四邊形面積的取值范圍為.當(dāng)與軸垂直時(shí)，其方程為，四邊形的面積為12.綜上，四邊形面積的取值范圍為.3.【2016高考江蘇卷】（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知以為圓心的圓及其上一點(diǎn)（1）設(shè)圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)平行于的直線與圓相交于兩點(diǎn)，且,求直線的方程；（3）設(shè)點(diǎn)滿足：存在圓上的兩點(diǎn)和,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍。【答案】（1）（2）（3）【解析】解：圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心M（6，7），半徑為5，.（1）由圓心N在直線x=6上，可設(shè).因?yàn)镹與x軸相切，與圓M外切，所以，于是圓N的半徑為，從而，解得.因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)橹本€lOA，所以直線l的斜率為.設(shè)直線l的方程為y=2x+m，即2x-y+m=0，則圓心M到直線l的距離 因?yàn)?而 所以，解得m=5或m=-15.故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0.（3）設(shè) 因?yàn)?，所?因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓M上，所以 .將代入，得.于是點(diǎn)既在圓M上，又在圓上，從而圓與圓沒有公共點(diǎn)，所以 解得.因此，實(shí)數(shù)t的取值范圍是. 1.【2015高考重慶，理8】已知直線l：x+ay-1=0（aR）是圓C：的對(duì)稱軸.過點(diǎn)A（-4，a）作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|=（）A、2 B、 C、6 D、【答案】C【解析】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，因此，即，.選C.2.【2015高考廣東，理5】平行于直線且與圓相切的直線的方程是（ ） A或 B. 或 C. 或 D. 或【答案】【解析】依題可設(shè)所求切線方程為，則有，解得，所以所求切線的直線方程為或，故選3.【2015高考山東，理9】一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（ ）（A）或 （B） 或 （C）或 （D）或【答案】D4.【2015高考湖北，理14】如圖，圓與軸相切于點(diǎn)，與軸正半軸交于兩點(diǎn)（在的上方）， 且（）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ；（）過點(diǎn)任作一條直線與圓相交于兩點(diǎn)，下列三個(gè)結(jié)論：； ； 其中正確結(jié)論的序號(hào)是 . （寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】（）；（） 【解析】（）依題意，設(shè)（為圓的半徑），因?yàn)?，所以，所以圓心，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（）聯(lián)立方程組，解得或，因?yàn)樵诘纳戏剑?，令直線的方程為，此時(shí)，所以，因?yàn)?，所?所以，正確結(jié)論的序號(hào)是.5.【2015江蘇高考，10】在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心且與直線相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 【答案】【解析】由題意得：半徑等于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以半徑最大為，所求圓為1（2014·安徽卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量a，b，|a|b|1，a·b0，點(diǎn)Q滿足(ab)曲線CP|acos bsin ，0<2，區(qū)域P|0r|PQ|R，rR若C為兩段分離的曲線，則()A1rR3 B1r3R Cr1R3 D1r3R【答案】A【解析】由已知可設(shè)a(1，0)，b(0，1)，P(x，y)，則(，)，|OQ|2.曲線CP|(cos ，sin )，0<2，即C：x2y21.區(qū)域P|0<r|R，r<R表示圓P1：(x)2(y)2r2與P2：(x)2(y)2R2所形成的圓環(huán)，如圖所示要使C為兩段分離的曲線，則有1<r<R<3.2（2014·北京卷）已知橢圓C：x22y24.(1)求橢圓C的離心率；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線y2上，且OAOB，試判斷直線AB與圓x2y22的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論【解析】解：(1)由題意，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.所以a24，b22，從而c2a2b22.因此a2，c.故橢圓C的離心率e.(2)直線AB與圓x2y22相切證明如下：設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x0，y0)，(t，2)，其中x00.因?yàn)镺AOB，所以·0，即tx02y00，解得t.當(dāng)x0t時(shí)，y0，代入橢圓C的方程，得t±，故直線AB的方程為x±.圓心O到直線AB的距離d，此時(shí)直線AB與圓x2y22相切當(dāng)x0t時(shí)，直線AB的方程為y2(xt)，即(y02)x(x0t)y2x0ty00.圓心O到直線AB的距離d.又x2y4，t，故d.此時(shí)直線AB與圓x2y22相切3（2014·福建卷）直線l：ykx1與圓O：x2y21相交于A，B兩點(diǎn)，則“k1”是“OAB的面積為”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分又不必要條件【答案】A【解析】由直線l與圓O相交，得圓心O到直線l的距離d<1，解得k0.當(dāng)k1時(shí)，d，|AB|2，則OAB的面積為××；當(dāng)k1時(shí)，同理可得OAB的面積為，則“k1”是“OAB的面積為”的充分不必要條件4（2014·湖北卷）直線l1：yxa和l2：yxb將單位圓C：x2y21分成長(zhǎng)度相等的四段弧，則a2b2_.【答案】2【解析】依題意得，圓心O到兩直線l1：yxa，l2：yxb的距離相等，且每段弧長(zhǎng)等于圓周的，即1×sin 45°，得 |a|b|1.故a2b22.5（2014·全國(guó)卷）直線l1和l2是圓x2y22的兩條切線若l1與l2的交點(diǎn)為(1，3)，則l1與l2的夾角的正切值等于_【答案】【解析】如圖所示，根據(jù)題意，OAPA，OA，OP，所以PA2 ，所以tanOPA，故tanAPB，即l1與l2的夾角的正切值等于.6（2014·山東卷）已知函數(shù)yf(x)(xR)，對(duì)函數(shù)yg(x)(xI)，定義g(x)關(guān)于f(x)的“對(duì)稱函數(shù)”為函數(shù)yh(x)(xI)，yh(x)滿足：對(duì)任意xI，兩個(gè)點(diǎn)(x，h(x)，(x，g(x)關(guān)于點(diǎn)(x，f(x)對(duì)稱若h(x)是g(x)關(guān)于f(x)3xb的“對(duì)稱函數(shù)”，且h(x)g(x)恒成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_【答案】(2，)7（2014·陜西卷）若圓C的半徑為1，其圓心與點(diǎn)(1，0)關(guān)于直線yx對(duì)稱，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_【答案】x2(y1)21【解析】由圓C的圓心與點(diǎn)(1，0)關(guān)于直線yx對(duì)稱，得圓C的圓心為(0，1)又因?yàn)閳AC的半徑為1，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y1)21.8（2014·四川卷）設(shè)mR，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線xmy0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mxym30交于點(diǎn)P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是_【答案】5【解析】由題意可知，定點(diǎn)A(0，0)，B(1，3)，且兩條直線互相垂直，則其交點(diǎn)P(x，y)落在以AB為直徑的圓周上，所以|PA|2|PB|2|AB|210.|PA|PB|5，當(dāng)且僅當(dāng)|PA|PB|時(shí)等號(hào)成立9（2014·重慶卷）已知直線axy20與圓心為C的圓(x1)2(ya)24相交于A，B兩點(diǎn)，且ABC為等邊三角形，則實(shí)數(shù)a_【答案】4±【解析】由題意可知圓的圓心為C(1，a)，半徑r2，則圓心C到直線axy20的距離d.ABC為等邊三角形，|AB|r2.又|AB|2，22，即a28a10，解得a4±.10（2014·重慶卷）如圖1­4所示，設(shè)橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)D在橢圓上，DF1F1F2，2，DF1F2的面積為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)圓心在y軸上的圓與橢圓在x軸的上方有兩個(gè)交點(diǎn)，且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn)，求圓的半徑圖1­4【解析】解：(1)設(shè)F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，其中c2a2b2.由2得|DF1|c.從而SDF1F2|DF1|F1F2|c2，故c1.從而|DF1|，由DF1F1F2得|DF2|2|DF1|2|F1F2|2，因此|DF2|，所以2a|DF1|DF2|2，故a，b2a2c21.因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)如圖所示，設(shè)圓心在y軸上的圓C與橢圓y21相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是兩個(gè)交點(diǎn)，y1>0，y2>0，F(xiàn)1P1，F(xiàn)2P2是圓C的切線，且F1P1F2P2.由圓和橢圓的對(duì)稱性，易知，x2x1，y1y2，|P1P2|2|x1|.由(1)知F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，所以(x11，y1)，(x11，y1)再由F1P1F2P2得(x11)2y0.由橢圓方程得1(x11)2，即3x4x10，解得x1或x10.當(dāng)x10時(shí)，P1，P2重合，此時(shí)題設(shè)要求的圓不存在當(dāng)x1時(shí)，過P1，P2分別與F1P1，F(xiàn)2P2垂直的直線的交點(diǎn)即為圓心C.由F1P1，F(xiàn)2P2是圓C的切線，且F1P1F2P2，知CP1CP2.又|CP1|CP2|，故圓C的半徑|CP1|P1P2|x1|.1過點(diǎn)P(，1)的直線l與圓x2y21有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍是()A. B.C. D.解析：方法一：設(shè)直線l的傾斜角為，數(shù)形結(jié)合可知：min0，max2×。方法二：因?yàn)橹本€l與x2y21有公共點(diǎn)，所以設(shè)l：y1k(x)，即l：kxyk10，則圓心(0,0)到直線l的距離1，得k2k0，即0k，故直線l的傾斜角的取值范圍是。答案：D2若圓C1：x2y21與圓C2：x2y26x8ym0外切，則m()A21 B19C9 D11解析：圓C1的圓心是原點(diǎn)(0,0)，半徑r11，圓C2：(x3)2(y4)225m，圓心C2(3,4)，半徑r2，由兩圓相外切，得|C1C2|r1r215，所以m9。答案：C3已知圓x2y22x2ya0截直線xy20所得弦的長(zhǎng)度為4，則實(shí)數(shù)a的值是()A2 B4C6 D8解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y1)22a，圓心C(1,1)，半徑r滿足r22a，則圓心C到直線xy20的距離d。所以r2422aa4。答案：B4已知圓C：(x3)2(y4)21和兩點(diǎn)A(m,0)，B(m,0)(m0)。若圓C上存在點(diǎn)P，使得APB90°，則m的最大值為()A7 B6C5 D4解析：因?yàn)閳AC的圓心為(3,4)，半徑為1，|OC|5，所以以原點(diǎn)為圓心、以m為半徑與圓C有公共點(diǎn)的最大圓的半徑為6，所以m的最大值為6，故選B。答案：B5若圓C：x2y22x4y30關(guān)于直線2axby60對(duì)稱，則由點(diǎn)(a，b)向圓所作的切線長(zhǎng)的最小值是()A2 B3C4 D66設(shè)點(diǎn)M(x0,1)，若在圓O：x2y21上存在點(diǎn)N，使得OMN45°，則x0的取值范圍是()A1,1 B.C， D.解析：當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1)時(shí)，圓上存在點(diǎn)N(1,0)，使得OMN45°，所以x01符合題意，故排除B，D；當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，1)時(shí)，OM，過點(diǎn)M作圓O的一條切線MN，連接ON，則在RtOMN中，sinOMN，則OMN45°，故此時(shí)在圓O上不存在點(diǎn)N，使得OMN45°，即x0不符合題意，排除C，故選A。答案：A7圓心在直線x2y0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長(zhǎng)為2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_。解析：依題意，設(shè)圓心的坐標(biāo)為(2b，b)(其中b0)，則圓C的半徑為2b，圓心到x軸的距離為b，所以22，b0，解得b1，故所求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)24。答案：(x2)2(y1)248已知直線xya0與圓心為C的圓x2y22x4y40相交于A，B兩點(diǎn)，且ACBC，則實(shí)數(shù)a的值為_。解析：圓C：x2y22x4y40的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y2)29，所以圓心為C(1,2)，半徑為3.因?yàn)锳CBC，所以圓心C到直線xya0的距離為，即，所以a0或6。答案：0或69已知圓O：x2y21和點(diǎn)A(2,0)，若定點(diǎn)B(b,0)(b2)和常數(shù)滿足：對(duì)圓O上任意一點(diǎn)M，都有|MB|MA|，則(1)b_；(2)_。解析：設(shè)M(x，y)，則x2y21，y21x2，2。為常數(shù)，b2b10，解得b或b2(舍去)。2，解得或(舍去)。答案：10已知：圓C：x2y28y120，直線l：axy2a0。(1)當(dāng)a為何值時(shí)，直線l與圓C相切；(2)當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|2時(shí)，求直線l的方程。解析：將圓C的方程x2y28y120化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y4)24，則此圓的圓心為(0,4)，半徑為2。(1)若直線l與圓C相切，則有2，解得a。11已知圓M：x2(y2)21，Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA，QB分別切圓M于A，B兩點(diǎn)。(1)若Q(1,0)，求切線QA，QB的方程；(2)求四邊形QAMB面積的最小值；(3)若|AB|，求直線MQ的方程。解析：(1)設(shè)過點(diǎn)Q的圓M的切線方程為xmy1，則圓心M到切線的距離為1，1，m或0，QA，QB的方程分別為3x4y30和x1。(2)MAAQ，S四邊形MAQB|MA|·|QA|QA|。四邊形QAMB面積的最小值為。(3)設(shè)AB與MQ交于P，則MPAB，MBBQ，|MP|。在RtMBQ中，|MB|2|MP|MQ|，即1|MQ|，|MQ|3，x2(y2)29.設(shè)Q(x,0)，則x2229，x±，Q(±，0)，MQ的方程為2xy20或2xy20。12已知點(diǎn)P(2,2)，圓C：x2y28y0，過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。(1)求M的軌跡方程；(2)當(dāng)|OP|OM|時(shí)，求l的方程及POM的面積。- 20 -