6個(gè)解答題專項(xiàng)強(qiáng)化練(四)數(shù)列1已知an為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，bn是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)求an和bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列a2nb2n1的前n項(xiàng)和(nN*)解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.由已知b2b312，得b1(qq2)12，而b12，所以q2q60.又因?yàn)閝0，解得q2.所以bn2n.由b3a42a1，可得3da18.由S1111b4，可得a15d16.由，解得a11，d3，由此可得an3n2.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n2，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn2n.(2)設(shè)數(shù)列a2nb2n1的前n項(xiàng)和為Tn，由a2n6n2，b2n12×4n1，得a2nb2n1(3n1)×4n，故Tn2×45×428×43(3n1)×4n，4Tn2×425×438×44(3n4)×4n(3n1)×4n1，上述兩式相減，得3Tn2×43×423×433×4n(3n1)×4n14(3n1)×4n1(3n2)×4n18.故Tn×4n1.所以數(shù)列a2nb2n1的前n項(xiàng)和為×4n1.2已知數(shù)列an滿足：a1，an1anp·3n1nq，nN*，p，qR.(1)若q0，且數(shù)列an為等比數(shù)列，求p的值；(2)若p1，且a4為數(shù)列an的最小項(xiàng)，求q的取值范圍解：(1)q0，an1anp·3n1，a2a1pp，a3a23p4p，由數(shù)列an為等比數(shù)列，得2，解得p0或p1.當(dāng)p0時(shí)，an1an，an，符合題意；當(dāng)p1時(shí)，an1an3n1，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)(133n2)·3n1，3.符合題意p的值為0或1.(2)法一：若p1，則an1an3n1nq，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)(133n2)12(n1)q3n1n(n1)q數(shù)列an的最小項(xiàng)為a4，對任意的nN*，有3n1n(n1)qa4(2712q)恒成立，即3n127(n2n12)q對任意的nN*恒成立當(dāng)n1時(shí)，有2612q，q；當(dāng)n2時(shí)，有2410q，q；當(dāng)n3時(shí)，有186q，q3；當(dāng)n4時(shí)，有00，qR；當(dāng)n5時(shí)，n2n12>0，所以有q恒成立，令cn(n5，nN*)，則cn1cn>0，即數(shù)列cn為遞增數(shù)列，qc5.綜上所述，q的取值范圍為.法二：p1，an1an3n1nq，又a4為數(shù)列an的最小項(xiàng)，即3q.此時(shí)a2a11q<0，a3a232q<0，a1>a2>a3a4.當(dāng)n4時(shí)，令bnan1an，bn1bn2·3n1q2·341>0，bn1>bn，0b4<b5<b6<，即a4a5<a6<a7<.綜上所述，當(dāng)3q時(shí)，a4為數(shù)列an的最小項(xiàng)，即q的取值范圍為.3數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a12，Snan(rR，nN*)(1)求r的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn(nN*)，記bn的前n項(xiàng)和為Tn.當(dāng)nN*時(shí)，<T2nTn恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；求證：存在關(guān)于n的整式g(n)，使得(Tn1)Tn·g(n)1對一切n2，nN*都成立解：(1)當(dāng)n1時(shí)，S1a1，r，Snan.當(dāng)n2時(shí)，Sn1an1.兩式相減，得ananan1，(n2)···×××××，即.ann(n1)(n2)，又a12適合上式ann(n1)(2)ann(n1)，bn，Tn.T2n，T2nTn.令BnT2nTn.則Bn1.Bn1Bn>0.Bn1>Bn，Bn單調(diào)遞增，故(Bn)minB1，<.實(shí)數(shù)的取值范圍為.證明：Tn，當(dāng)n2時(shí)，Tn1，TnTn1，即(n1)TnnTn1Tn11.當(dāng)n2時(shí)，(Tn1)(3T22T1)(4T33T2)(5T44T3)(n1)TnnTn1(n1)Tn2T1(n1)Tn1.存在關(guān)于n的整式g(n)n1，使得(Tn1)Tn·g(n)1對一切n2，nN*都成立4已知數(shù)列an滿足a1，對任意的正整數(shù)m，p，都有ampam·ap.(1)證明：數(shù)列an是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列bn滿足an(1)n1，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(3)在(2)的條件下，設(shè)cn2nbn，則是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列cn是單調(diào)遞增數(shù)列？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由解：(1)證明：對任意的正整數(shù)m，p，都有ampam·ap，令mn，p1，得an1a1·an，從而a1，數(shù)列an是首項(xiàng)和公比都為的等比數(shù)列(2)由(1)可知，an.由an(1)n1得，an1(1)n·(n2)，故anan1(1)n1(n2)，故bn(1)n(n2)當(dāng)n1時(shí)，a1，解得b1，不符合上式bn(3)cn2nbn，當(dāng)n2時(shí)，cn2n(1)n，當(dāng)n3時(shí)，cn12n1(1)n1，根據(jù)題意，當(dāng)n3時(shí)，cncn12n1(1)n·>0，即(1)n>.當(dāng)n為大于等于4的偶數(shù)時(shí)，有>恒成立，又隨著n的增大而增大，此時(shí)min，即>，故的取值范圍為.當(dāng)n為大于等于3的奇數(shù)時(shí)，有<恒成立，此時(shí)min，即<.故的取值范圍為；當(dāng)n2時(shí)，由c2c1>0，得<8.綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.5已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a11，Snpanan1(nN*)，pR.(1)若a1，a2，a3成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)p的值；(2)若a1，a2，a3成等差數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；在an與an1間插入n個(gè)正數(shù)，共同組成公比為qn的等比數(shù)列，若不等式(qn)(n1)(na)e(e為自然對數(shù)的底數(shù))對任意的nN*恒成立，求實(shí)數(shù)a的最大值解：(1)當(dāng)n1時(shí)，a1pa1a2，a2；當(dāng)n2時(shí)，a1a2pa2a3，a31.由aa1a3，得1，即p2p10，解得p.(2)因?yàn)閍1，a2，a3成等差數(shù)列，所以2a2a1a3，得p，故a22，a33，所以Snanan1.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1anan1an1an，因?yàn)閍n0，所以an1an12.故數(shù)列an的所有奇數(shù)項(xiàng)組成以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式an1×2n，同理，數(shù)列an的所有偶數(shù)項(xiàng)組成以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式是an2×2n，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式是ann.由知，ann，在n與n1間插入n個(gè)正數(shù)，組成公比為qn的等比數(shù)列，故有n1nq，即qn，所以(qn)(n1)(na)e，即nae，兩邊取對數(shù)得(na)ln1，分離參數(shù)得an恒成立 .令x，x(1,2，則a，x(1,2，令f(x)，x(1,2，則f(x)， 下證ln x，x(1,2, 令g(x)x2ln x，x1，), 則g(x)>0，所以g(x)>g(1)0，即2ln x<x，用替代x可得ln x<，x(1,2，所以f(x)<0，所以f(x)在(1,2上遞減，所以af(2)1.所以實(shí)數(shù)a的最大值為1.6設(shè)三個(gè)各項(xiàng)均為正整數(shù)的無窮數(shù)列an，bn，cn記數(shù)列bn，cn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對任意的nN*，都有anbncn，且SnTn，則稱數(shù)列an為可拆分?jǐn)?shù)列(1)若an4n，且數(shù)列bn，cn均是公比不為1的等比數(shù)列，求證：數(shù)列an為可拆分?jǐn)?shù)列；(2)若an5n，且數(shù)列bn，cn均是公差不為0的等差數(shù)列，求所有滿足條件的數(shù)列bn，cn的通項(xiàng)公式；(3)若數(shù)列an，bn，cn均是公比不為1的等比數(shù)列，且a13，求證：數(shù)列an為可拆分?jǐn)?shù)列解：(1)證明：由an4n4·4n13·4n14n1，令bn3·4n1，cn4n1.則bn是以3為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，cn是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，故Sn4n1，Tn.所以對任意的nN*，都有anbncn，且Sn>Tn. 所以數(shù)列an為可拆分?jǐn)?shù)列(2)設(shè)數(shù)列bn，cn的公差分別為d1，d2.由an5n，得b1(n1)d1c1(n1)d2(d1d2)nb1c1d1d25n對任意的nN*都成立所以即 由Sn>Tn，得nb1d1>nc1d2，則n2n>0.由n1，得n>0對任意的nN*成立則0且>0即d1d2且b1>c1.由數(shù)列bn，cn各項(xiàng)均為正整數(shù)，則b1，c1，d1，d2均為正整數(shù)，當(dāng)d1d2時(shí)，由d1d25，得d1d2N*，不符合題意，所以d1>d2. 聯(lián)立，可得或或或所以或或或(3)證明：設(shè)ana1qn1，a1N*，q>0，q1，則q2.當(dāng)q為無理數(shù)時(shí)，a2a1q為無理數(shù)，與anN*矛盾故q為有理數(shù)，設(shè)q(a，b為正整數(shù)，且a，b互質(zhì))此時(shí)ana1·.則對任意的nN*，an1均為a1的約數(shù)，則an11，即a1，故qbN*，所以qN*，q2. 所以ana1qn1(a11)qn1qn1，令bn(a11)·qn1，cnqn1.則bn，cn各項(xiàng)均為正整數(shù)因?yàn)閍13，所以a112>1，則Sn>Tn，所以數(shù)列an為可拆分?jǐn)?shù)列9