空間向量在求空間角及距離中的應(yīng)用【考點梳理】 1.異面直線所成的角 設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則a與b的夾角l1與l2所成的角范圍(0，)求法cos cos |cos | 2.求直線與平面所成的角 設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角為，則sin|cosa，n|. 3.求二面角的大小 (1)如圖，AB，CD是二面角l的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小，. (2)如圖，n1，n2 分別是二面角l的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小滿足|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角).4.利用空間向量求距離（1）兩點間的距離設(shè)點，點，則（2）點到平面的距離如圖所示，設(shè)為平面的一條斜線段，為平面的法向量，則點到平面的距離【教材改編】1(選修21 P111A組T1改編)在正方體ABCD­A1B1C1D1中，點M為棱CC1上的中點，則A1M與D1C所成的角為()A30° B45°C60° D90°答案 B解析 以，為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，設(shè)正方體棱長為2，則D1(0,0,2)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，M(0,2,1)，(2,2，1)，(0,2，2)，設(shè)A1M與D1C所成角為，cos |cos，|，45°.2. (選修21 P118A組T10改編)如圖，棱長為a的正方體OEAC­BFGD中，P是AB上的一點，Q是CD上的一點當點P為對角線AB的中點，點Q在棱CD上運動時，則PQ的最小值為()Aa B.aC.a D.a答案 B解析 建立如圖所示的空間直角坐標系O­xyz，當點P為對角線AB的中點時，點P的坐標是.因為點Q在線段CD上，設(shè)Q(0，a，z)PQ .當z時，PQ的最小值為a.即點Q在棱CD的中點時，PQ有最小值a.故選B.3(選修21 P112A組T4改編)在正方體ABCD­A1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為()A. B.C. D.答案 B解析 以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)­xyz，設(shè)棱長為1，則A1(0，0,1)，E(1,0，)，D(0,1,0)，(0,1，1)，所以有，即解得(1,2,2)平面ABCD的一個法向量為(0,0,1)，cos，.即所成的銳二面角的余弦值為.4(選修21 P97練習T3改編)如圖，正方體ABCD­A1B1C1D1中，點M是AB的中點，則D1B與CM所成角的余弦值為()A. B.C. D.答案 C解析 建立如圖所示的空間直角坐標系D­xyz.設(shè)正方體棱長為2，則M(2,1,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)，(2，1，0)，(2,2，2)，cos，.D1B與CM所成角的余弦值為，故選C.5(選修21 P111練習T3改編)如圖，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E為BC1的中點，則DE與平面BCC1B1所成角的正切值為()A. B.C. D.答案 C解析 設(shè)正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長為2， 以D為原點，以DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系， E為BC1的中點，D(0,0,0)，E(1,2,1)，(1,2,1)， 設(shè)DE與平面BCC1B1所成角的平面角為， 平面BCC1B1的法向量(0,1,0)， sin |cos，|， cos ， tan ，故選C.6(選修21 P98A組T4改編)正四面體ABCD棱長為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD中點，則EF的長為_答案 解析 |22()22222(···)1222122(1×2×cos 120°02×1×cos 120°)2，|，EF的長為.7.(選修21 P118A組T12改編)如圖將正方形紙片ABCD沿對角線AC折成直二面角，點E、F分別為AD、BC的中點，O是原正方形ABCD的中心，則折疊后EOF的大小為_答案 解析 如圖所示，以，方向為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，設(shè)正方形邊長為2，則A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(2,0,0)，D(0,0,2)E(1,0,1)，F(xiàn)(1,1,0)，(1,0,1)，(1,1,0)，cos， EOF120°. 8(選修21 P117A組T5改編)已知三點A(0,2,3)，B(2，1,6)，C(1，1,5)，則ABC的面積為_答案 解析 (2，1,3)，(1，3,2)，|，|.cos，.則sin，.SABC|·|sin，×××. 9. (選修21 P112A組T6改編)如圖，BCD與MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2，則點A到平面MBC的距離為_，平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值為_ 答案 解析 取CD的中點O，連接OB，OM，則OBCD，OMCD，又平面MCD平面BCD，則MO平面BCD.以O(shè)為原點，直線OC，BO，OM為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，OBOM，則各點的坐標分別為O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，0)，A(0，2)設(shè)(x，y，z)是平面MBC的法向量，則(1，0)，(0，)由，得xy0；由，得yz0.取(，1,1)，(0,0,2)，則距離d.(1,0，)，(1，2)設(shè)平面ACM的法向量為(x，y，z)，由得解得xz，yz，取(，1,1)平面BCD的法向量為(0,0,1)，則cos，.設(shè)所求二面角為，則sin . 10(選修21 P118A組T11改編)某幾何體ABC­A1B1C1的三視圖和直觀圖如圖所示 (1)求證：A1C平面AB1C1； (2)求二面角C1­AB1­C的余弦值 解析 (1)證明：由三視圖可知，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1底面A1B1C1，B1C1A1C1，且|AA1|AC|4，|BC|3.以點C為原點，分別以CA、CB、CC1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示由已知可得A(4,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,0)，A1(4,0,4)，B1(0,3,4)，C1(0,0,4)(4,0，4)，(4,0，4)，(0,3,0)·0，·0.A1CC1A，A1CC1B1.又C1AC1B1C1，A1C平面AB1C1.(2)由(1)得，(4,0,0)，(0,3,4)設(shè)平面AB1C的法向量為(x，y，z)，則，.，即.令y4，得平面AB1C的一個法向量為(0,4，3)由(1)知，是平面AB1C1的一個法向量cos，.故二面角C1­AB1­C的余弦值為.11(選修21 P119B組T3改編)在四棱錐S­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，DABCDA90°，SA平面ABCD，CD2AB，E為SC中點(1)求證：BE平面SAD；(2)若SAAD2，且平面SBC與平面SAD所成的二面角的余弦值為，求四棱錐S­ABCD的體積解析 (1)證明：設(shè)點F為SD的中點，連接AF，EF，E點為SC的中點，EF為SDC的中位線，EFDC，又DABCDA90°且CD2AB，ABCD，ABEF，四邊形ABEF為平行四邊形，BEAF，又AF平面SAD，BE平面SAD，BE平面SAD.(2)SA平面ABCD，則可建以A為原點的空間直角坐標系(如圖所示)，SAAD2，A(0,0,0)，D(2,0,0)，S(0,0,2)，設(shè)B(0，m,0)，C(2,2m,0)，(0，m，2)，(2，m,0)，設(shè)平面SBC的法向量為(x，y，z)且SBBCB，(，1，)，顯然，平面SAD的法向量為(0，m,0)，又平面SBC與平面SAD所成的二面角的余弦值為，|cos，|，m1，|AB|1，|CD|2，S直角梯形ABCD3，V四棱錐S­ABCD×3×22.11