專題二 數(shù)學傳統(tǒng)文化的創(chuàng)新應用問題一、選擇題1宋元時期杰出的數(shù)學家朱世杰在其數(shù)學巨著四元玉鑒中提出了一個“茭草形段”問題：“今有茭草六百八十束，欲令落一形(同垛)之，問底子幾何？”他在這一問題中探討了“垛積術(shù)”中的落一形垛(“落一形”即是指頂上一束，下一層3束，再下一層6束)成三角錐的堆垛，故也稱三角垛，如圖，表示從上往下第二層開始的每層茭草束數(shù)，則本問題中三角垛倒數(shù)第二層茭草總束數(shù)為()A91B105C120 D210解析：由題意得，從上往下第n層茭草束數(shù)為123n.136680，即n(n1)(n2)680，n(n1)(n2)15×16×17，n15.故倒數(shù)第二層為第14層，該層茭草總束數(shù)為105.答案：B2張丘建算經(jīng)卷上第23題：今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈，問日益幾何？意思是：現(xiàn)有一女子善于織布，若第1天織5尺布，從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，現(xiàn)在一月(按30天計)共織930尺布(注：1匹10丈，1丈10尺)，則每天比前一天多織()A.尺布 B.尺布C.尺布 D.尺布解析：設(shè)公差為d，則由a15，S3030×5d930，解得d.答案：B3我國古代數(shù)學名著九章算術(shù)中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：第一步：構(gòu)造數(shù)列1，.第二步：將數(shù)列的各項乘以n，得數(shù)列(記為)a1，a2，a3，an.則a1a2a2a3an1an等于()An2 B(n1)2Cn(n1) Dn(n1)解析：a1a2a2a3an1an···n2n2n2·n(n1)答案：C4我國古代數(shù)學名著九章算術(shù)中“開立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九面一，所得開立方除之，即立圓徑“開立圓術(shù)”相當于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個近似公式d .人們還用過一些類似的近似公式，根據(jù)3.141 59判斷，下列近似公式中最精確的一個是()Ad Bd Cd Dd 解析：由球體積公式得d .因為1.777 777 78，1.910 828 03，1.909 090 91.而最接近于，所以選D.答案：D5(2016·河西五市二聯(lián))我國明朝著名數(shù)學家程大位在其名著算法統(tǒng)宗中記載了如下數(shù)學問題：“遠看巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈，”詩中描述的這個寶塔古稱浮屠，本題說它一共有7層，每層懸掛的紅燈數(shù)是上一層的2倍，共有381盞燈，那么塔頂有_盞燈()A2 B3C5 D6解析：本題可抽象為一個公比為2的等比數(shù)列anS7381，可解得a13，即塔頂有3盞燈，故選B.答案：B6(2017·武漢調(diào)研)中國古代數(shù)學名著九章算術(shù)中記載了公元前344年商鞅監(jiān)制的一種標準量器商鞅銅方升，其三視圖如圖所示(單位：寸)，若取3，其體積為12.6(單位：立方寸)，則圖中的x為()A1.2 B1.6C1.8 D2.4解析：該幾何體是一個組合體，左邊是一個底面半徑為的圓柱，右邊是一個長、寬、高分別為5.4x、3、1的長方體，組合體的體積VV圓柱V長方體·()2×x(5.4x)×3×112.6(其中3)，解得x1.6.故選B.答案：B7九章算術(shù)是我國古代著名數(shù)學經(jīng)典，其中對勾股定理的論術(shù)比西方早一千多年，其中有這樣一個問題：“今有圓材埋在壁中，不知大??；以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸該材料，鋸口深1寸，鋸道長1尺，問這塊圓柱形木料的直徑是多少？長為1丈的圓柱形木材部分鑲嵌在墻體中，截面圖如圖所示(陰影部分為鑲嵌在墻體內(nèi)的部分)已知弦AB1尺，弓形高CD1寸，估算該木材鑲嵌在墻中的體積約為()(注：1丈10尺100寸，3.14，sin 22.5°)A600立方寸 B610立方寸C620立方寸 D633立方寸解析：連接OA，OB，OD，設(shè)O的半徑為R，則(R1)252R2，R13.sinAOD.AOD22.5°，即AOB45°.故AOB.S弓形ACBS扇形OACBSOAB××132×10×126.33平方寸該木材鑲嵌在墻中的體積為VS弓形ACB×100633立方寸選D.答案：D8(2017·石家莊模擬)李冶( 11921279)，真定欒城(今河北省石家莊市)人，金元時期的數(shù)學家、詩人，晚年在封龍山隱居講學，數(shù)學著作多部，其中益古演段主要研究平面圖形問題：求圓的直徑、正方形的邊長等其中一問：現(xiàn)有正方形方田一塊，內(nèi)部有一個圓形水池，其中水池的邊緣與方田四邊之間的面積為13.75畝，若方田的四邊到水池的最近距離均為二十步，則圓池直徑和方田的邊長分別是(注：240平方步為1畝，圓周率按3近似計算) ()A10步，50步 B20步，60步C30步，70步 D40步，80步解析：設(shè)圓池的半徑為r步，則方田的邊長為(2r40)步，由題意，得(2r40)23r213.75×240，解得r10或r170(舍)，所以圓池的直徑為20步，方田的邊長為60步故選B.答案：B二、填空題9九章算術(shù)“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列上面4節(jié)的容積共為3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為_升解析：設(shè)該數(shù)列an的首項為a1，公差為d，依題意即解得則a5a14da17d3d.答案：10“中國剩余定理”又稱“孫子定理”“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1到2 016這2 016個數(shù)中能被3除余1且被5除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列an，則此數(shù)列的項數(shù)為_解析：能被3除余1且被5除余1的數(shù)就是能被15除余1的數(shù)，故an15n14.由an15n142 016，解得n，又nN*，故此數(shù)列的項數(shù)為135.答案：13511傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家經(jīng)常在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù)他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1, 3,6,10，記為數(shù)列an，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列bn，可以推測：(1)b2 012是數(shù)列an中的第_項；(2)b2k1_(用k表示)解析：由題意可得an123n，nN*，故b1a4，b2a5，b3a9，b4a10，b5a14，b6a15，由上述規(guī)律可知：b2ka5k(k為正整數(shù))，b2k1a5k1，故b2 012b2×1 006a5×1 006a5 030，即b2 012是數(shù)列an中的第5 030項答案：(1)5 030(2)12我國南北朝時期的偉大科學家祖暅在數(shù)學上有突出貢獻，他在實踐的基礎(chǔ)上，于5世紀末提出下面的體積計算原理(祖暅原理)：“冪勢既同，則積不容異”“勢”是幾何體的高，“冪”是截面積意思是，兩等高立方體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩立方體體積相等現(xiàn)有下題：在xOy平面上，將兩個半圓弧(x1)2y21(x1)和(x3)2y21(x3)、兩條直線y1和y1圍成的封閉圖形記為D，如圖所示陰影部分記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為，過(0，y)(|y|1)作的水平截面，所得截面面積為48，試利用祖暅原理、一個平放的圓柱和一個長方體，得出的體積值為_解析：根據(jù)提示，一個底面半徑為1，高為2的圓柱平放，一個高為2，底面積為8的長方體，這兩個幾何體與放在一起，根據(jù)祖暅原理，每個平行水平面的截面面積都相等，故它們的體積相等，即的體積為·12·22·82216.答案：2216傳統(tǒng)文化訓練二一、選擇題1(2017·長沙模擬)九章算術(shù)是我國古代第一部數(shù)學專著，全書收集了246個問題及其解法，其中一個問題為“現(xiàn)有一根九節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面四節(jié)容積之和為3升，下面三節(jié)的容積之和為4升，求中間兩節(jié)的容積各為多少？”該問題中第2節(jié)、第3節(jié)、第8節(jié)竹子的容積之和為()A.升B.升C.升 D.升解析：自上而下依次設(shè)各節(jié)竹子的容積分別為a1，a2，a9，依題意有，因為a2a3a1a4，a7a92a8，故a2a3a8.選A.答案：A 2.(2017·沈陽模擬)中國古代數(shù)學著作孫子算經(jīng)中有這樣一道算術(shù)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”人們把此類題目稱為“中國剩余定理”若正整數(shù)N除以正整數(shù)m后的余數(shù)為n，則記為Nn(mod m)，例如112(mod 3)現(xiàn)將該問題以程序框圖給出，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的n等于()A21 B22C23 D24解析：當n21時，21被3整除，執(zhí)行否當n22時，22除以3余1，執(zhí)行否；當n23時，23除以3余2，執(zhí)行是；又23除以5余3，執(zhí)行是，輸出的n23.故選C.答案：C3(2017·南昌模擬)我國古代數(shù)學名著九章算術(shù)中有如下問題：今有甲乙丙三人持錢，甲語乙丙：各將公等所持錢，半以益我，錢成九十(意思是把你們兩個手上的錢各分我一半，我手上就有90錢)；乙復語甲丙，各將公等所持錢，半以益我，錢成七十；丙復語甲乙：各將公等所持錢，半以益我，錢成五十六，則乙手上有_錢()A28 B32C56 D70解析：設(shè)甲、乙、丙三人各持有x，y，z錢，則，解方程組得，所以乙手上有32錢答案：B4(2017·石家莊模擬)在九章算術(shù)中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑ABCD中，AB平面BCD.且BDCD，ABBDCD，點P在棱AC上運動，設(shè)CP的長度為x，若PBD的面積為f(x)，則f(x)的圖象大致是()解析：如圖，作PQBC于Q，作QRBD于R，連接PR，則由鱉臑的定義知PQAB，QRCD.設(shè)ABBDCD1，則，即PQ，又，所以QR，所以PR，所以f(x)，故選A.答案：A5歐拉公式eixcos xisin x是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，它在復變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”根據(jù)歐拉公式，復數(shù)ei·ei(1i)2的虛部是()A1 B1C2 D2解析：依題意得，ei·ei(1i)2(cos isin )(cosisin)2i12i，其虛部是2，選D.答案：D6宋元時期數(shù)學名著算學啟蒙中有關(guān)于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等下圖是源于其思想的一個程序框圖，若輸入的a，b分別為5,2，則輸出的n()A2 B3C4 D5解析：程序運行如下：n1，a5，b4，ab，繼續(xù)循環(huán)；n2，a×，b8，ab，繼續(xù)循環(huán)；n3，a×，b16，ab，繼續(xù)循環(huán)；n4，a×，b32，此時，ab.輸出n4，故選C.答案：C7(2017·衡水中學調(diào)研)今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復還迎駑馬，問：幾何日相逢？()A12日 B16日C8日 D9日解析：由題易知良馬每日所行里數(shù)構(gòu)成一等差數(shù)列其通項公式為an10313(n1)13n90，駑馬每日所行里數(shù)也構(gòu)成一等差數(shù)列，其通項公式為bn97(n1)n，二馬相逢時所走路程之和為2×1 1252 250，所以2 250，即2 250，化簡得n231n3600，解得n9或n40(舍去)，故選D.答案：D8埃及數(shù)學中有一個獨特現(xiàn)象：除用一個單獨的符號表示以外，其他分數(shù)都要寫成若干個單位分數(shù)和的形式，例如，可以這樣理解：假定有兩個面包，要平均分給5個人，若每人分得一個面包的，不夠，若每人分得一個面包的，還余，再將這分成5份，每人分得，這樣每人分得.形如(n5,7,9,11，)的分數(shù)的分解：，按此規(guī)律，()A.B.C.D.解析：根據(jù)分面包原理知，等式右邊第一個數(shù)的分母應是等式左邊數(shù)的分母加1的一半，第二個數(shù)的分母是第一個數(shù)的分母與等式左邊數(shù)的分母的乘積，兩個數(shù)的原始分子都是1，即.故選A.答案：A二、填空題9某同學想求斐波那契數(shù)列0,1,1,2，(從第三項起每一項等于前兩項的和)的前10項和，他設(shè)計了一個程序框圖，則滿足條件的整數(shù)P的值為_解析：由題意，第1次循環(huán)：a0，b1，i3，S011，求出第3項c1，求出前3項和S0112，a1，b1，滿足條件，i4，執(zhí)行循環(huán)體；第2次循環(huán)：求出第4項c112，求出前4項和S01124，a1，b2，滿足條件，i5，執(zhí)行循環(huán)體，第8次循環(huán)：求出第10項c，求出前10項和S，此時i10，由題意不滿足條件，跳出循環(huán)，輸出S的值，故判斷框內(nèi)應為“i9？”，所以P的值為9.答案：910古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù)如三角形數(shù)1,3,6,10，第n個三角形數(shù)為n2n.記第n個k邊形數(shù)為N(n，k)(k3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式：三角形數(shù)N(n,3)n2n，正方形數(shù)N(n,4)n2，五邊形數(shù)N(n,5)n2n，六邊形數(shù)N(n,6)2n2n，可以推測N(n，k)的表達式，由此計算N(10,24)_.解析：由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推測：當k為偶數(shù)時，N(n，k)n2n，于是N(n,24)11n210n，故N(10,24)11×10210×101 000.答案：1 00011(2017·貴陽模擬)輾轉(zhuǎn)相除法，又名歐幾里得算法，乃求兩個正整數(shù)之最大公因子的算法它是已知最古老的算法之一，在中國則可以追溯至東漢時期出現(xiàn)的九章算術(shù)圖中的程序框圖所描述的算法就是歐幾里得輾轉(zhuǎn)相除法若輸入m5 280，n12 155，則輸出的m的值為_解析：通解：依題意，當輸入m5 280，n12 155時，執(zhí)行題中的程序框圖，進行第一次循環(huán)時，m除以n的余數(shù)r5 280，m12 155，n5 280，r0；進行第二次循環(huán)時，m除以n的余數(shù)r1 595，m5 280，n1 595，r0；進行第三次循環(huán)時，m除以n的余數(shù)r495，m1 595，n495，r0；進行第四次循環(huán)時，m除以n的余數(shù)r110，m495，n110，r0；進行第五次循環(huán)時，m除以n的余數(shù)r55，m110，n55，r0；進行第六次循環(huán)時，m除以n的余數(shù)r0，m55，n0，r0，此時結(jié)束循環(huán)，輸出的m的值為55.優(yōu)解：依題意，注意到5 28025×3×5×11,12 1555×11×221，因此5 280與12 155的最大公因子是55，即輸出的m的值為55.答案：5512(2017·合肥模擬)中國古代數(shù)學有著很多令人驚嘆的成就北宋沈括在夢溪筆談卷十八技藝篇中首創(chuàng)隙積術(shù)隙積術(shù)意即：將木桶一層層堆放成壇狀，最上一層長有a個，寬有b個，共計ab個木桶，每一層長寬各比上一層多一個，共堆放n層，設(shè)最底層長有c個，寬有d個，則共計有木桶個，假設(shè)最上層有長2寬1共2個木桶，每一層的長寬各比上一層多一個，共堆放15層，則木桶的個數(shù)為_個解析：根據(jù)題意可知，a2，b1，n15，則c21416，d11415，代入題中所給的公式，可計算出木桶的個數(shù)為1 360.答案：1 360- 11 -