專題05 不等式與線性規(guī)劃與區(qū)域有關的面積、距離、參數(shù)范圍問題及線性規(guī)劃問題；利用基本不等式求函數(shù)最值、運用不等式性質求參數(shù)范圍、證明不等式是高考熱點備考時，應切實文解與線性規(guī)劃有關的概念，要熟練掌握基本不等式求最值的方法，特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧方法要特別加強綜合能力的培養(yǎng)，提升運用不等式性質分析、解決問題的能力1(1)若ax2bxc0有兩個不等實根x1和x2(x1<x2)ax2bxc>0(a>0)的解為x|x>x2，或x<x1，ax2bxc<0(a>0)的解為x|x1<x<x2；(2)ax2bxc>0(a0)恒成立的條件是(3)ax2bxc<0(a0)恒成立的條件是2(1)ab2(a，bR)；(2) (a>0，b>0)；(3)不等關系的倒數(shù)性質<；(4)真分數(shù)的變化性質若0<n<m，c>0，則<；(5)形如yax(a>0，b>0)，x(0，)取最小值時，axx，即“對號函數(shù)”單調變化的分界點；(6)a>0，b>0，若abP，當且僅當ab時，ab的最大值為2；若abS，當且僅當ab時，ab的最小值為2.3不等式y(tǒng)>kxb表示直線ykxb上方的區(qū)域；y<kxb表示直線ykxb下方的區(qū)域考點一不等式性質及解不等式例1、(1)已知實數(shù)x，y滿足ax<ay(0<a<1)，則下列關系式恒成立的是()A.Bln(x21)ln(y21)Csin xsin y Dx3y3【答案】D【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質得xy，此時x2，y2的大小不確定，故選項A、B中的不等式不恒成立；根據(jù)三角函數(shù)的性質知，選項C中的不等式也不恒成立；根據(jù)不等式的性質知，選項D中的不等式恒成立 (2)若對任意的x，yR，不等式x2y2xy3(xya)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()A(，1 B1，)C1，) D(，1【答案】B【方法規(guī)律】1解一元二次不等式主要有兩種方法：圖象法和因式分解法2解含參數(shù)的“一元二次不等式”時，要把握好分類討論的層次，一般按下面次序進行討論：首先根據(jù)二次項系數(shù)的符號進行討論；其次根據(jù)相應一元二次方程的根是否存在，即的符號進行討論；最后在根存在時，根據(jù)根的大小進行討論3解決恒成立問題可以利用分離參數(shù)法，一定要弄清楚誰是自變量，誰是參數(shù)一般地，知道誰的范圍，誰就是自變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù)4對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方5解決不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題，可先求出相應函數(shù)這個區(qū)間上的最值，再轉化為與最值有關的不等式問題【變式探究】已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x0時，f(x)x24x，則不等式f(x)x的解集用區(qū)間表示為_【答案】(5,0)(5，)【解析】通解：先求出函數(shù)f(x)在R上的解析式，然后分段求解不等式f(x)>x，即得不等式的解集設x<0，則x>0，于是f(x)(x)24(x)x24x，由于f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(x)x24x，即f(x)x24x，且f(0)0，于是f(x)當x>0時，由x24x>x得x>5；看出當f(x)>x時，x(5，)及(5,0)考點二基本不等式及應用例2、【2017江蘇，10】某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為萬元,要使一年的總運費與總存儲之和最小,則的值是 .【答案】30【解析】總費用，當且僅當，即時等號成立. 【變式探究】(1)設a0，b0.若關于x，y的方程組無解，則ab的取值范圍是_【答案】(2，)【解析】通解：依題意，由axy1得y1ax，代入xby1得xb(1ax)1，即(1ab)x1b.由原方程組無解得，關于x的方程(1ab)x1b無解，因此1ab0且1b0，即ab1且b1.又a0，b0，ab，ab1，因此ab22，即ab的取值范圍是(2，)優(yōu)解：由題意，關于x，y的方程組無解，則直線axy1與xby1平行且不重合，從而可得ab1，且ab.又a0，b0，故ab22，即ab的取值范圍是(2，) (2)若直線1(a0，b0)過點(1,1)，則ab的最小值等于()A2 B3C4 D5【答案】C【解析】通解：因為直線1(a0，b0)過點(1,1)，所以1.所以ab(ab)·2224，當且僅當ab2時取“”，故選C.優(yōu)解：如圖a，b分別是直線1在x，y軸上的截距，A(a,0)，B(0，b)，當a1時，b，當b1時，a，只有點(1,1)為AB的中點時，ab最小，此時a2，b2，ab4.【方法技巧】1常數(shù)代換法求最值的關鍵在于常數(shù)的變形，利用此方法求最值應注意以下三個方面：(1)注意條件的靈活變形，確定或分離出常數(shù)，這是解題的基礎；(2)將常數(shù)化成“1”，這是代數(shù)式等價變形的基礎；(3)利用基本不等式求解最值時要滿足“一正、二定、三相等”，否則容易出現(xiàn)錯解2拼湊法就是將代數(shù)式進行適當?shù)淖冃危ㄟ^添項、拆項等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法此方法適用于已知關于變量的等式，求解相關代數(shù)式的最值問題，或已知函數(shù)解析式，求函數(shù)的最值問題【變式探究】已知函數(shù)f(x)x2的值域為(，04，) ，則a的值是()A. B.C1 D2考點三求線性規(guī)劃中線性目標函數(shù)的最值例3、【2017山東，文3】已知x,y滿足約束條件,則z=x+2y的最大值是A.-3 B.-1 C.1 D.3【答案】D【解析】畫出約束條件表示的可行域,如圖中陰影部分所示，平移直線,可知當其經(jīng)過直線與的交點時, 取得最大值，為,故選D. 【變式探究】(1)(2016·高考全國卷)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為_元【答案】216 000 (2)(2016·高考全國卷)若x，y滿足約束條件則zx2y的最小值為_【答案】5【解析】通解：作出可行域如圖中陰影部分所示，由zx2y得yxz，作直線yx并平移，觀【方法技巧】求目標函數(shù)的最值的方法1幾何意義法(1)常見的目標函數(shù)截距型：形如zaxby，求這類目標函數(shù)的最值常將函數(shù)zaxby轉化為yx，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值距離型：形如z(xa)2(yb)2，設動點P(x，y)，定點M(a，b)，則z|PM|2.斜率型：形如z，設動點P(x，y)，定點M(a，b)，則zkPM.(2)目標函數(shù)zxy的幾何意義由已知得y，故可理解為反比例函數(shù)y的圖象，最值需根據(jù)該函數(shù)圖象與可行域有公共點時進行判斷設P(x，y)，則|xy|表示以線段OP(O為坐標原點)為對角線的矩形面積2界點定值法，利用可行域所對應圖形的邊界頂點求最值【變式探究】設x，y滿足約束條件且zxay的最小值為7，則a()A5B3C5或3 D5或3【解析】通解：選B.二元一次不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，其中A.平移直線xay0，可知在點A處，z取得最小值，1.【2017課標1，文7】設x，y滿足約束條件則z=x+y的最大值為A0 B1 C2 D3【答案】D【解析】如圖，作出不等式組表示的可行域，則目標函數(shù)經(jīng)過時z取得最大值，故，故選D2.【2017課標II，文7】設滿足約束條件 ,則的最小值是A. B. C. D 【答案】A3.【2017課標3，文5】設x，y滿足約束條件，則的取值范圍是（ ）A3,0B3,2C0,2 D0,3【答案】B【解析】作出約束條件表示的可行域，如圖中陰影部分所示.4.【2017北京，文4】若滿足則的最大值為（A）1 （B）3（C）5 （D）9【答案】D【解析】如圖，畫出可行域，表示斜率為的一組平行線，當過點時，目標函數(shù)取得最大值，故選D.5.【2017山東，文3】已知x,y滿足約束條件,則z=x+2y的最大值是A.-3 B.-1 C.1 D.3【答案】D6.【2017浙江，4】若，滿足約束條件，則的取值范圍是A0，6 B0，4C6，D4，【答案】D【解析】如圖，可行域為一開放區(qū)域，所以直線過點時取最小值4，無最大值，選D7.【2017江蘇，10】某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為萬元,要使一年的總運費與總存儲之和最小,則的值是 .【答案】30【解析】總費用，當且僅當，即時等號成立.1. 【2016高考新課標1卷】若,則( )（A） （B） （C） （D）【答案】C2.【2016高考天津文數(shù)】設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)的最小值為（ ）（A）（B）6（C）10（D）17【答案】B【解析】可行域為一個三角形ABC及其內(nèi)部，其中，直線過點B時取最小值6，選B.3.【2016高考山東文數(shù)】若變量x，y滿足則的最大值是（ ）（A）4 （B）9 （C）10 （D）12【答案】C【解析】不等式組表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)為頂點的三角形區(qū)域,表示點（x,y）到原點距離的平方,最大值必在頂點處取到,經(jīng)驗證最大值為,故選C.4.【2016高考浙江文數(shù)】在平面上，過點P作直線l的垂線所得的垂足稱為點P在直線l上的投影由區(qū)域 中的點在直線x+y2=0上的投影構成的線段記為AB，則AB=（ ）A2 B4 C3 D【答案】C5.【2016年高考北京文數(shù)】若，滿足，則的最大值為（ ）A.0 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】作出如圖可行域，則當經(jīng)過點時，取最大值，而，所求最大值為4，故選C. 6.【2016年高考四川文數(shù)】設p：實數(shù)x，y滿足，q：實數(shù)x，y滿足 則p是q的( )（A）必要不充分條件 （B）充分不必要條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件【答案】A7.【2016高考新課標3文數(shù)】若滿足約束條件 則的最大值為_.【答案】8.【2016高考新課標1卷】某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個工時生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過600個工時的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為 元【答案】【解析】設生產(chǎn)產(chǎn)品、產(chǎn)品分別為、件,利潤之和為元,那么目標函數(shù).二元一次不等式組等價于作出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域（如圖）,即可行域.將變形,得,平行直線,當直線經(jīng)過點時, 取得最大值.9.【2016高考江蘇卷】 已知實數(shù)滿足 ，則的取值范圍是 .【答案】【解析】由圖知原點到直線距離平方為最小值，為，原點到點距離平方為最大值，為，因此取值范圍為 1.【2015高考北京，文2】若，滿足則的最大值為（ ）A0B1CD2【答案】D2【2015高考廣東，文6】若變量，滿足約束條件則的最小值為（ ）A B. 6 C. D. 4【答案】C 【解析】不等式組對應的平面區(qū)域如圖： 由z=3x+2y得y=x+，平移直線y=x+，則由圖象可知當直線y=x+，經(jīng)過點A時直線y=x+的截距最小，此時z最小，由，解得，即A（1，），此時z=3×1+2×=，故選：B3.【2015高考天津，文2】設變量 滿足約束條件 ，則目標函數(shù)的最大值為( )（A）3 （B）4 （C）18 （D）40【答案】C4.【2015高考陜西，文10】某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為（ ）A12萬元 B16萬元 C17萬元 D18萬元甲乙原料限額（噸）（噸）【答案】D5.【2015高考福建，文5】若變量 滿足約束條件 則 的最小值等于 ( )A B C D2【答案】A6.【2015高考山東，文6】已知滿足約束條件，若的最大值為4，則 （ ）（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3【答案】B 【解析】不等式組 在直角坐標系中所表示的平面區(qū)域如下圖中的陰影部分所示，若的最大值為4，則最優(yōu)解可能為 或 ，經(jīng)檢驗，是最優(yōu)解，此時 ；不是最優(yōu)解.故選B.7.【2015高考新課標1，文15】若滿足約束條件，則的最大值為 .【答案】3【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，由斜率的意義知，是可行域內(nèi)一點與原點連線的斜率，由圖可知，點A（1,3）與原點連線的斜率最大，故的最大值為3.8.【2015高考浙江，文14】若實數(shù)滿足，則的最小值是 【答案】.9【2015高考新課標2，文14】若x，y滿足約束條件，則的最大值為_【答案】【考點定位】線性規(guī)劃10.【2015高考湖南，文4】若變量，滿足約束條件，則的最小值為（ ）A.-7 B.-1 C.1 D.2【答案】A.【解析】如下圖所示，畫出線性約束條件所表示的區(qū)域，即可行域，作直線：，平移，從而可知當，時，的最小值是，故選A.11.【2015高考四川，文9】如果函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則mn的最大值為（ ）（A）16 （B）18 （C）25 （D）【答案】B12.【2015高考陜西，文9】設，若，則下列關系式中正確的是（ ）A B C D【答案】C【解析】，函數(shù)在上單調遞增，因為，所以，所以，故選C1. 【2014高考安徽卷文第5題】滿足約束條件，若取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)的值為（ ）A, B. C.2或1 D.【答案】D【考點定位】線性規(guī)劃2. 【2014高考北京版文第6題】若、滿足，且的最小值為，則的值為（ ）A2 B C D【答案】D【解析】若，沒有最小值，不合題意；【考點定位】不等式組表示的平面區(qū)域，求目標函數(shù)的最小值3. 【2014高考福建卷第11題】若變量滿足約束條件則的最小值為_.【答案】1【解析】依題意如圖可得目標函數(shù)過點A時截距最大.即.【考點定位】線性規(guī)劃.4. 【2014高考福建卷第13題】要制作一個容器為4，高為的無蓋長方形容器，已知該容器的底面造價是每平方米20元，側面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是_（單位：元）.【答案】88 【解析】假設底面長方形的長寬分別為, . 則該容器的最低總造價是.當且僅當?shù)臅r區(qū)到最小值.【考點定位】函數(shù)的最值.5. 【2014高考廣東卷文第3題】若變量、滿足約束條件，且的最大值和最小值分別為和，則（ ） A. B. C. D.【答案】C上的截距最大，此時取最大值，即；當直線經(jīng)過可行域上的點時，此時直線在軸上的截距最小，此時取最小值，即.因此，故選C. 【考點定位】線性規(guī)劃中線性目標函數(shù)的最值6. 【2014高考湖南卷第14題】若變量滿足約束條件，且的最小值為，則.【答案】【解析】求出約束條件中三條直線的交點為,且不等式組限制的區(qū)域如圖,所以,則當為最優(yōu)解時,當為最優(yōu)解時, 因為,所以,故填.【考點定位】線性規(guī)劃7. 【2014遼寧高考文第16題】對于，當非零實數(shù)a，b滿足，且使最大時，的最小值為 . 【答案】當時，綜上可知當時，【考點定位】柯西不等式. 8. 【2014全國1高考文第9題】不等式組的解集為D,有下面四個命題：， ， ，其中的真命題是（ ）A B C D【答案】B【考點定位】線性規(guī)劃、存在量詞和全稱量詞10. 【2014山東高考文第5題】已知實數(shù)滿足，則下面關系是恒成立的是（ ）A. B.C. D.【答案】【解析】由及指數(shù)函數(shù)的性質得，所以，選.【考點定位】指數(shù)函數(shù)的性質，不等式的性質.11. 【2014山東高考文第9題】 已知滿足約束條件，當目標函數(shù)在該約束條件下取到最小值時，的最小值為（ ）A.5 B.4 C. D.2【答案】【解析】畫出可行域（如圖所示），由于，所以，經(jīng)過直線與直【考點定位】簡單線性規(guī)劃的應用，二次函數(shù)的圖象和性質.12. 【2014四川高考文第4題】若，則一定有（ ）A B C D4若，則一定有（ ）A B C D【答案】D【解析】，又.選D【考點定位】不等式的基本性質.13. 【2014四川高考文第5題】執(zhí)行如圖1所示的程序框圖，如果輸入的，則輸出的的最大值為（ ）A B C D 【答案】C【解析】【考點定位】程序框圖與線性規(guī)劃.14. 【2014浙江高考文第13題】當實數(shù)，滿足時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】作出不等式組所表示的區(qū)域，由得，由圖可知，且在點取得最小值在取得最大值，故，故取值范圍為【考點定位】線性規(guī)劃.15. 【2014天津高考文第2題】設變量，滿足約束條件則目標函數(shù)的最小值為 （）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5【答案】B【解析】由題畫出如圖所示的可行域，由圖可知當直線經(jīng)過點時，故選B【考點定位】二元一次不等式組表示的平面區(qū)域、線性目標函數(shù)的最值問題16. 【2014大綱高考文第14題】設滿足約束條件，則的最大值為 .【答案】5.【解析】畫出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域（圖4陰影部分），把平移可知當直線過點時，取最大值：【考點定位】二元一次不等式組表示的平面區(qū)域、線線目標函數(shù)的最值的計算17. 【2014高考上海文科】若實數(shù)x,y滿足xy=1,則+的最小值為_.【答案】【解析】，當且僅當時等號成立.【考點定位】基本不等式.18.【2014高考安徽卷第21題】設實數(shù)，整數(shù)， .（1）證明：當且時，；（2）數(shù)列滿足，證明：.【答案】（1）證明：當且時，；（2）.【解析】綜上所述，.證法2：設，則，并且.由此可得，在上單調遞增，因而，當時，.當時，由，即可知，并且，從而.故當時，不等式成立.假設時，不等式成立，則當時，即有.所以當時，原不等式也成立.綜合可得，對一切正整數(shù)，不等式均成立.【考點定位】數(shù)學歸納法證明不等式、構造函數(shù)法證明不等式.34