14個填空題專項強化練(七)平面向量與復數(shù)A組題型分類練題型一平面向量的線性運算1已知平面上不共線的四點O，A，B，C，若23，則的值為_解析：由23，得22，即2，所以.答案：2在ABCD中，a，b，3，M為BC的中點，則_(用a，b表示)解析：由3得(ab)，ab，所以(ab)ab.答案：ab3已知RtABC的面積為2，C90°，點P是RtABC所在平面內(nèi)的一點，滿足，則·的最大值是_解析：由條件可知|·|4，·0，因為，故··979|4|9712×273，當且僅當9|4|，即|，|3時等號成立答案：73題型二平面向量的坐標表示1在ABCD中，AC為一條對角線，(2,4)，(1,3)，則向量的坐標為_解析：因為(1，1)，所以(3，5)答案：(3，5)2已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，則實數(shù)x的值是_解析：因為u(12x,4)，v(2x,3)，uv，所以84x36x，所以x.答案：3已知向量a(1,2)，b(2，3)若向量c滿足(ca)b，c(ab)，則c_.解析：不妨設(shè)c(m，n)，則ac(1m,2n)，ab(3，1)，對于(ca)b，有3(1m)2(2n)對于c(ab)，有3mn0.聯(lián)立，解得m，n.故c.答案：題型三平面向量的數(shù)量積1已知向量a(3，2)，b(1,0)，向量ab與a2b垂直，則實數(shù)的值為_解析：依題意，ab(31，2)，a2b(1，2)，所以(ab)·(a2b)710，.答案：2已知非零向量a，b滿足|a|b|ab|，則a與2ab夾角的余弦值為_解析：法一：不妨設(shè)|a|b|ab|1，則|ab|2a2b22a·b22a·b1，所以a·b，所以a·(2ab)2a2a·b，又因為|a|1，|2ab|，所以a與2ab夾角的余弦值為.法二：(特殊化、坐標化)設(shè)|a|b|ab|1，則向量a，b，ab構(gòu)成以1為邊長的正三角形，故可設(shè)a(1,0)，b，ab，則a與2ab的夾角的余弦值為.答案：3已知向量與的夾角為120°，且|2，|3.若，且，則實數(shù)的值為_解析：由題意得，·3，由·()·()0，得·22·0，即34930，故.答案：4.如圖，已知ABC的邊BC的垂直平分線交AC于點P，交BC于點Q.若|3，|5，則()·()的值為_解析：由題意知，()·()(2)·2·()·()|2|2325216.答案：165在ABC中，已知AB，C60°，則·的最大值為_解析：因為，所以2222·，所以3|2|2|·|2|·|·|·|，即|·|3，當且僅當|時等號成立所以·|cos 60°|，所以· 的最大值為.答案：6在ABC中，ABAC，AB，ACt，P是ABC所在平面內(nèi)一點，若，則PBC面積的最小值為_解析：由于ABAC，故以AB，AC所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標系(圖略)，則B，C(0，t)，因為，所以點P坐標為(4,1)，直線BC的方程為t2xyt0，所以點P到直線BC的距離為d，BC，所以PBC的面積為××，當且僅當t時取等號答案：題型四復數(shù)1設(shè)復數(shù)zabi(a，bR，i為虛數(shù)單位)若z(43i)i，則ab的值是_解析：因為zabi且z(43i)i，所以abi4i3i234i，所以a3，b4，所以ab12.答案：122已知復數(shù)z滿足z(12i)(3i)，其中i為虛數(shù)單位，則|z|_.解析：復數(shù)z(12i)(3i)，i為虛數(shù)單位，則|z|12i|3i|×5.答案：53設(shè)復數(shù)z滿足z(1i)2，其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部為_解析：由(1i)z2，得z1i.所以z的虛部為1.答案：14若復數(shù)z滿足(2i)z1i，則復數(shù)z在復平面上對應(yīng)的點在第_象限解析：因為zi，所以復數(shù)z在復平面上對應(yīng)的點在第一象限答案：一B組高考提速練1復數(shù)z(12i)2，其中i為虛數(shù)單位，則z的實部為_解析：因為復數(shù)z(12i)234i，所以復數(shù)z的實部為3.答案：32.如圖，已知a，b，3，用a，b表示，則_.解析：因為ab，又3，所以(ab)，所以b(ab)ab.答案：ab3已知|a|3，|b|4，且a與b不共線，若向量akb與akb垂直，則k_.解析：因為(akb)(akb)，所以(akb)·(akb)0，即|a|2k2|b|20.又因為|a|3，|b|4，所以k2，即k±.答案：±4設(shè)復數(shù)z11i，z2a2i，若的虛部是實部的2倍，則實數(shù)a的值為_解析：，故該復數(shù)的實部是，虛部是.由題意，知2×.解得a6.答案：65已知復數(shù)z(1i)(12i)，其中i是虛數(shù)單位，則z的模是_解析：法一：復數(shù)z12ii213i，則|z|.法二：|z|1i|·|12i|×.答案：6若a，b均為單位向量，且a(a2b)，則a，b的夾角大小為_解析：設(shè)a，b的夾角為.因為a(a2b)，所以a·(a2b)a22a·b0，所以12cos 0，所以cos ，而0，故.答案：7若復數(shù)z滿足z232i，其中i為虛數(shù)單位，為復數(shù)z的共軛復數(shù)，則復數(shù)z的模為_解析：設(shè)zxyi，x，yR，則xyi，因為z232i，所以z2(xyi)2(xyi)3xyi32i，所以x1，y2，所以z12i，所以復數(shù)z的模為.答案：8平面向量a，b滿足|a|2，|ab|4，且向量a與向量ab的夾角為，則|b|為_解析：因為向量a與向量ab的夾角為，所以cos ，解得a·b0，即ab.所以|a|2|b|2|ab|2，從而解得|b|2.答案：29.如圖，在ABC中，ABAC3，cosBAC，2，則·的值為_解析：由2，得(2)又，ABAC3，cosBAC，所以· (2)·()×(93)2.答案：210已知邊長為1的正方形ABCD，2，則|_.解析：法一：由題意得，2(2)24224·.又四邊形ABCD是邊長為1的正方形，所以，所以·0.又|，|，所以24×2210，所以|.法二：由題意，作出2，如圖所示，則|為邊長分別為，2的矩形CFME的對角線的長，所以| .答案：11已知AB為圓O的直徑，M為圓O的弦CD上一動點，AB8，CD6，則·的取值范圍是_解析：因為AB為圓O的直徑，所以2，又， 22，得4·422，所以·216，因為M為圓O的弦CD上一動點，AB8，CD6，所以根據(jù)圓的幾何性質(zhì)知|，4，所以·9,0答案：9,012在ABC中，若·2··，則的值為_解析：法一：設(shè)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.由·2··，得ac2bcab，化簡可得ac.由正弦定理得.法二：建立平面直角坐標系，設(shè)A(0，a)，B(b,0)，C(c，0)，所以(c，a)，(b，a)，(cb,0)，(b，a)，(c，a)，(bc,0)，則由·2··，得b22cb2a2c20，所以b22cbc2(cb)22(a2b2)，所以BCAB.由正弦定理得.答案：13已知平面向量，滿足|1，且與的夾角為120°，則|的取值范圍為_解析：法一：由|1，且與的夾角為120°，作向量，則，在OAB中，OAB60°，OB1，則由正弦定理，得OAsinABO，即0<|.法二：設(shè)|u，|v，由|2|()|222·()()2，得v2uvu210，再由關(guān)于v的一元二次方程有解，得u24(u21)0，又u>0，故0<u，即0<|.答案：14在平面直角坐標系xOy中，設(shè)點A(1,0)，B(0,1)，C(a，b)，D(c，d)，若不等式2(m2)·m(·)·(·)對任意實數(shù)a，b，c，d都成立，則實數(shù)m的最大值是_解析：原不等式可化為(ac)2(bd)2(m2)·(acbd)mbc，即a2b2c2d2m(acbdbc)0，整理成關(guān)于實數(shù)a的不等式為a2mcab2c2d2mbdmbc0恒成立，從而1m2c24(b2c2d2mbdmbc)0，再整理成關(guān)于實數(shù)d的不等式為d2mbdb2c2mbcm2c20，從而2m2b240，再整理成關(guān)于實數(shù)b的不等式為(4m2)b24mcb4c2m2c20，從而解得1m1，所以m的最大值是1.答案：19