第五章第五章 四邊形四邊形 第二節(jié)第二節(jié) 矩形、菱形和正方形矩形、菱形和正方形第一部分第一部分 教材知識梳理教材知識梳理中招考點清單考點一考點一 矩形的性質(zhì)及判定矩形的性質(zhì)及判定(高頻考點高頻考點)定義定義有一個角是直角的平行四邊形是矩形有一個角是直角的平行四邊形是矩形圖形圖形性質(zhì)性質(zhì)1.具有平行四邊形的所有性質(zhì)具有平行四邊形的所有性質(zhì)2.邊邊:對邊對邊_且相等且相等3.角角:四個角都是四個角都是_4.對角線對角線:對角線互相平分，且對角線互相平分，且_5.既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，它有既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，它有_條對稱軸條對稱軸平行平行直角直角相等相等2判定判定1.有一個角是直角的有一個角是直角的_是矩形是矩形2.有三個角是有三個角是_的四邊形是矩形的四邊形是矩形3.對角線對角線_的平行四邊形是矩形的平行四邊形是矩形面積面積計算計算S=_(a、b分別表示矩形的長和寬分別表示矩形的長和寬)平行四邊形平行四邊形直角直角相等相等ab定義定義有一個角是直角的平行四邊形是矩形有一個角是直角的平行四邊形是矩形 考點二考點二 菱形的性質(zhì)及判定菱形的性質(zhì)及判定(高頻考點高頻考點)定義定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形圖形性質(zhì)有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形圖形性質(zhì)圖形圖形性質(zhì)性質(zhì)1.具有平行四邊形的所有性質(zhì)具有平行四邊形的所有性質(zhì)2.邊邊:對邊平行，四邊都對邊平行，四邊都_3.角角:對角對角_4.對角線對角線:對角線互相對角線互相 _，每條對角線，每條對角線 _一組對角一組對角5.既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，它有既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，它有 _條對稱軸條對稱軸相等相等相等相等垂直平分垂直平分2平分平分11 11 12 12 13 13 判定判定1.有一組有一組 _相等的相等的 _是菱形是菱形2. _邊都相等的四邊形是菱形邊都相等的四邊形是菱形3.對角線對角線 _的四邊形是菱形的四邊形是菱形面積面積計算計算S= _ (l1、l2表示對角線的長表示對角線的長)l1l212鄰邊鄰邊平行四邊形平行四邊形四條四條互相垂直平分互相垂直平分14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 定義定義有一個角是直角，一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正有一個角是直角，一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形方形圖形圖形考點三考點三 正方形的性質(zhì)及判定正方形的性質(zhì)及判定性質(zhì)性質(zhì)1.既有矩形的性質(zhì)，又有菱形的性質(zhì)既有矩形的性質(zhì)，又有菱形的性質(zhì)2.邊邊:對邊平行，四邊都對邊平行，四邊都 _3.角角:四個角都是四個角都是 _4.對角線對角線:對角線互相對角線互相 _且相等，每條對且相等，每條對角線角線平分一組對角平分一組對角5.正方形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，正方形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有它有 _條對稱軸條對稱軸相等相等直角直角垂直平分垂直平分419 19 20 20 21 21 22 22 判定判定1.有一組有一組 _相等，并且有一個角是相等，并且有一個角是 _的平行四邊形是正方形的平行四邊形是正方形2.有一組鄰邊相等的有一組鄰邊相等的 _是正方形是正方形3.有一個角是直角的有一個角是直角的 _是正方形是正方形4.對角線對角線 _的平行四邊形是正方的平行四邊形是正方形形面積面積計算計算S= _(a表示邊長表示邊長)= _ (l表示對角表示對角線長線長)a2 l212鄰邊鄰邊直角直角矩形矩形菱形菱形互相垂直且相等互相垂直且相等23 23 24 24 25 25 26 26 27 27 28 28 29 29 考點四考點四 平行四邊形、矩形、菱形和正方形之間的關系平行四邊形、矩形、菱形和正方形之間的關系?？碱愋推饰鲱愋鸵活愋鸵?矩形性質(zhì)的有關計算矩形性質(zhì)的有關計算 (15新鄉(xiāng)模擬新鄉(xiāng)模擬)如圖，矩形如圖，矩形ABCD中，中，AB=2,BC=4，點，點E為邊為邊AD上一動點，把上一動點，把CDE沿沿CE折疊，當點折疊，當點D的對應點的對應點D與點與點B、E在同一條直線上時，在同一條直線上時，DE的長為的長為_.例例1例例1題圖題圖 【解析解析】由折疊性質(zhì)可得由折疊性質(zhì)可得CED=CED，DE=DE，CD=CD=2，D=CDE=90，點點D與點與點B、E在在同一直線上，同一直線上，CDB=90.在在RtBCD中，由勾股中，由勾股定理得定理得BD= 2 .又又ADBC，BCE=CED,BCE=CED，BE=BC=4，則，則DE=DE=BE-BD=4-2 .33【答案答案】4-23例例1題圖題圖 【方法指導方法指導】對于解答矩形中的折疊問題，可以從以下對于解答矩形中的折疊問題，可以從以下3個個方面考慮：方面考慮：(1)折疊的性質(zhì)：位于折痕兩側的圖形關于折折疊的性質(zhì)：位于折痕兩側的圖形關于折痕痕(對稱軸對稱軸)成軸對稱圖形；滿足折疊性質(zhì)即折疊前后的成軸對稱圖形；滿足折疊性質(zhì)即折疊前后的兩部分圖形全等，對應邊、角、線段、周長、面積都分別兩部分圖形全等，對應邊、角、線段、周長、面積都分別相等；折疊前后對應點的連線被折痕垂直平分；相等；折疊前后對應點的連線被折痕垂直平分；(2)找出找出隱含的折疊前后的位置關系和數(shù)量關系；隱含的折疊前后的位置關系和數(shù)量關系；(3)一般運用三角一般運用三角形全等、勾股定理、相似三角形性質(zhì)、特殊角的銳角三角形全等、勾股定理、相似三角形性質(zhì)、特殊角的銳角三角函數(shù)等知識，以及方程思想，設比較恰當?shù)奈粗獢?shù)，通過函數(shù)等知識，以及方程思想，設比較恰當?shù)奈粗獢?shù)，通過解方程計算線段長度解方程計算線段長度.拓展題拓展題1圖圖 如圖，矩形如圖，矩形ABCD中，中，AB=8，AD=10.E是是CD上的點，將上的點，將ADE沿折痕沿折痕AE折疊，使點折疊，使點D落在落在BC邊上的點邊上的點F處，點處，點P是線段是線段CB延長線上的動點，連接延長線上的動點，連接PA，若，若PAF是是等腰三角形，則等腰三角形，則PB的長為的長為_.拓展題拓展題1【解析解析】四邊形四邊形ABCD是矩形，由折疊對稱性得：是矩形，由折疊對稱性得：AF=AD=10,FE=DE.在在RtABF中，中，BF= ,FC=4,要使要使PAF為等腰三角形，分三種情形討論：為等腰三角形，分三種情形討論：(1)若若AP=AF,ABPF,PB=BF=6;(2)若若PF=AF,則則PB+6=10,解得解得PB=4;(3)若若AP=PF,在在RtAPB中，中，AP2=PB2+AB2,即即(PB+6)2=PB2+82,解得解得PB= ,綜上得綜上得PB為為6或或4或或 .221086737373【答案答案】6或或4或或拓展題拓展題1圖圖 類型二類型二 菱形的判定菱形的判定 (15荊門荊門)已知：如圖，在四邊形已知：如圖，在四邊形ABCD中，中，ABCD，E,F為對角線為對角線AC上兩點，且上兩點，且AECF，DFBE,AC平分平分BAD.求證：四邊形求證：四邊形ABCD為菱形為菱形.例例2題圖題圖 例例2【思路分析思路分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)、等角的補角相等可得根據(jù)平行線的性質(zhì)、等角的補角相等可得DCF=EAB，CFD=AEB，然后利用，然后利用“角邊角角邊角”證明證明ABE和和CDF全等，得出全等，得出AB=CD，從而得到四邊，從而得到四邊形形ABCD是平行四邊形是平行四邊形.由由AC平分平分BAD易得易得DAC=BAC=DCA根據(jù)等腰三角形等角對等邊的根據(jù)等腰三角形等角對等邊的性質(zhì)得到性質(zhì)得到DA=DC.例例2題圖題圖 證明證明：ABCD，BAEDCFDFBE，BECDFAAEBCFD在在AEB和和CFD中，中，BAE=DCF,AE=CF,AEB=DFC,AEB CFDABCD例例2題圖題圖 ABCD，四邊形四邊形ABCD是平行四邊形是平行四邊形AC平分平分BAD，BAE=DAFBAE=DCF，DAF=DCFDA=DC四邊形四邊形ABCD是菱形是菱形例例2題圖題圖 【方法指導方法指導】證明一個四邊形是菱形常用的方法有：證明一個四邊形是菱形常用的方法有：(1)首先判定這個四邊形為平行四邊形首先判定這個四邊形為平行四邊形(一般是全等三角形的一般是全等三角形的應用應用)，再判定其鄰邊是否相等，或判定其對角線是否相，再判定其鄰邊是否相等，或判定其對角線是否相互垂直；互垂直；(2)直接證明四條邊都相等直接證明四條邊都相等.注意不能將兩種判定注意不能將兩種判定方法相混淆方法相混淆. 如圖，在如圖，在ABC中，中，F(xiàn)是是BC的中點，的中點，E是線段是線段AB的延長線上的動點，連接的延長線上的動點，連接EF，過點，過點C作作AE的平行線與的平行線與線段線段EF的延長線交于點的延長線交于點D，連接，連接CE.(1)求證：四邊形求證：四邊形DBEC是平行四邊形；是平行四邊形；(2)若已知若已知AB=BC=2,ABC=120，則在點，則在點E運動過程中：運動過程中：當當BE=_時，四邊形時，四邊形BDCE是矩形；是矩形；當當BE=_時，四邊形時，四邊形BDCE是菱形是菱形.拓展題拓展題2拓展題拓展題2圖圖 【思路分析思路分析】(1)首先由中點得到相等線段，再由平行線得首先由中點得到相等線段，再由平行線得到兩組相等的角，利用到兩組相等的角，利用“AAS”可證明可證明DCF EBF,從而從而得到對應線段相等，再結合已知條件即可得證；得到對應線段相等，再結合已知條件即可得證；(2)先由已先由已知條件可得四邊形知條件可得四邊形BDCE是平行四邊形，再讓它滿足矩形是平行四邊形，再讓它滿足矩形和菱形的特征，再根據(jù)矩形和菱形的性質(zhì)可得和的解和菱形的特征，再根據(jù)矩形和菱形的性質(zhì)可得和的解.(1)證明證明：F是是BC的中點的中點,BF=FC,DCAE，F(xiàn)DC=FEB，F(xiàn)CD=FBE，DCF EBF(AAS)，DC=BE，四邊形四邊形DBEC是平行四邊形；是平行四邊形；拓展題拓展題2圖圖 (2)解解：【解法提示解法提示】由由(1)得四邊形得四邊形DBEC是平行四邊是平行四邊形形.當當CEB=90時，四邊形時，四邊形DBEC是矩形，是矩形， AB=BC=2，ABC=120，CBE=60，在在RtCEB中，中，BE=BCcosCBE=BCcos60=2 =1；當當CE=BE時，四邊形時，四邊形BDCE是菱形，是菱形，AB=BC=2ABC=120，CBE=60，CEB是是等邊三角形等邊三角形BE=BC=AB=2.12類型三類型三 正方形性質(zhì)的有關計算正方形性質(zhì)的有關計算 (15長春長春)如圖，點如圖，點E在正方形在正方形ABCD的邊的邊CD上，若上，若ABE的面積為的面積為8，CE3，則線段，則線段BE的長為的長為_.例例3例例3題圖題圖 【解析解析】如解圖，過點如解圖，過點E作作EMAB于于M，四邊形四邊形ABCD是正方形，是正方形，AD=BC=CD=AB,EM=AD,BM=CE,ABE的面積為的面積為8， ABEM=8，解得：，解得：EM=4,即即AD=DC=BC=AB=4,CE=3,由勾股定理得：由勾股定理得：BE=1222BCCE22435例例3題解圖題解圖 【答案答案】5【方法指導方法指導】對于正方形性質(zhì)的有關計算問題，一般注意對于正方形性質(zhì)的有關計算問題，一般注意以下知識的應用：以下知識的應用：(1)四邊相等，四角相等且均為四邊相等，四角相等且均為90；(2)對角線垂直且相等；對角線垂直且相等；(3)對角線平分一組對角得到對角線平分一組對角得到45角；角；(4)邊長與對角線的長度比為邊長與對角線的長度比為1 .2 如圖，正方形如圖，正方形ABCD的面積為的面積為4，點，點F，G分別是分別是AB,DC的中點，將點的中點，將點A折到折到FG上的點上的點P處，折痕為處，折痕為BE，點，點E在在AD上，則上，則AE長為長為_.拓展題拓展題3圖圖 拓展題拓展題3【解析解析】正方形正方形ABCD的面積為的面積為4，正方形正方形ABCD的邊的邊長為長為2，點點A折到折到FG上的點上的點P處，折痕為處，折痕為BE，BA=BP=2,ABE=PBE,點點F，G分別是分別是AB,DC的中點，的中點，F(xiàn)GAB,BF=1,在在RtBPF中，中，PB=2,BF=1,FPB=30，ABP=60，ABE=30，在，在RtABE中，中，AE=ABtan30=2 .32 333拓展題拓展題3圖圖 【答案答案】2 33