1.5.2 定積分定積分(1)概念概念第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧:1.曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積;12()()()nfxfxfx曲邊梯形的面積。2.變速運(yùn)動(dòng)的路程變速運(yùn)動(dòng)的路程; Sn=v(t1)t+v(t2)t+v(ti)t+v(tn)t火箭在火箭在10s內(nèi)運(yùn)行的總路程內(nèi)運(yùn)行的總路程.復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧:3.變力做功變力做功.分割分割以直代曲以直代曲作和作和逼近逼近4.基本思想是基本思想是: Sn=F（r1）r+F（r2）r+F（rn） r電荷電荷B移動(dòng)過(guò)程中庫(kù)侖力所做的功。移動(dòng)過(guò)程中庫(kù)侖力所做的功。12nf(x ) xf(x ) xf(x ) xnS 學(xué)生活動(dòng)學(xué)生活動(dòng) 前面幾個(gè)問(wèn)題有什么共性？前面幾個(gè)問(wèn)題有什么共性？問(wèn)題情境問(wèn)題情境 怎樣從數(shù)學(xué)角度去定義它們？怎樣從數(shù)學(xué)角度去定義它們？-定積分定積分1 1、定積分的定義、定積分的定義 如果如果xO(n)時(shí)，時(shí)，Sn 無(wú)限趨近某個(gè)常無(wú)限趨近某個(gè)常數(shù)數(shù)S，那么稱(chēng)該常數(shù)，那么稱(chēng)該常數(shù)S為函數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上上的的定積分定積分,記作記作:建構(gòu)數(shù)學(xué)建構(gòu)數(shù)學(xué): 一般地一般地,設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上有上有定義定義,將將區(qū)間區(qū)間a, b等分成等分成n個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間,每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為x (x=(b-a)/n),在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn),依次依次為為x1,x2, ,xn.作和作和 n12nS =f(x ) xf(x ) xf(x ) x ()baSfx d x2,定積分的相關(guān)名稱(chēng)：定積分的相關(guān)名稱(chēng)： 叫做積分號(hào)，叫做積分號(hào)， f(x) 叫做被積函數(shù)，叫做被積函數(shù)， f(x)dx 叫做被積表達(dá)式，叫做被積表達(dá)式， x 叫做積分變量，叫做積分變量， a 叫做積分下限，叫做積分下限， b 叫做積分上限，叫做積分上限， a, b 叫做積分區(qū)間。叫做積分區(qū)間。Oabxy)(xfy Sbaf (x)dx； 按定積分的定義，有按定積分的定義，有 (1) 由連續(xù)曲線(xiàn)由連續(xù)曲線(xiàn)y f(x) (f(x) 0) ，直線(xiàn)，直線(xiàn)x a、x b及及x軸所圍成的曲邊梯形的面積為軸所圍成的曲邊梯形的面積為 (2) 設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的速度v v(t)，則此物體在時(shí)間區(qū)間，則此物體在時(shí)間區(qū)間a, b內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離s為為 sbav(t)dt。 Oab( )vv ttv感受理解感受理解112001( )3Sf x dxx dx根據(jù)定積分的定義右邊圖形的面積為1x yOf(x)=x213S 1SD2SD2( )2v tt= -+O Ov t t12gggggg3SDjSDnSD1n2n3njn1nn-4SD112005( )(2)3Sv t dttdt根據(jù)定積分的定義左邊圖形的面積為 例例1.計(jì)算下列定積分計(jì)算下列定積分:21121(1).(1); (2 ).(1).2xd xxd x感受理解感受理解解解: (1)5/2; 1 2-21xyxy(2)9/4.3.定積分的幾何意義定積分的幾何意義：Ox yab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 x a、x b與與 x軸所圍成的曲邊梯形的面積。軸所圍成的曲邊梯形的面積。 當(dāng)當(dāng) f f( (x x) ) 0 0 時(shí)時(shí)，積積分分d dx xx xf fb ba a) )( ( 在在幾幾何何上上表表示示由由 y y= =f f ( (x x) )、 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) a a b b 時(shí)，有時(shí)，有 b ba af f ( (x x) )dxdx 0 0。 當(dāng)當(dāng)f(x) 0時(shí)，由時(shí)，由y f (x)、x a、x b 與與 x 軸所圍成的軸所圍成的曲邊梯形位于曲邊梯形位于 x 軸的下方，軸的下方，x yOdxxfSba)(，dxxfba)(ab yf (x) yf (x)dxxfSba)(baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 S上述曲邊梯形面積的負(fù)值。上述曲邊梯形面積的負(fù)值。 3.定積分的幾何意義定積分的幾何意義：積分 b ba af f ( (x x) )dxdx 在幾何上表在幾何上表示示 b ba af f ( (x x) )d d x x f f ( (x x) )d d x x f f ( (x x) )d d x x。 S S注注:一般定積分的幾何意義是一般定積分的幾何意義是,在區(qū)間在區(qū)間a,b上曲線(xiàn)與上曲線(xiàn)與x軸所圍軸所圍成圖形的面積的代數(shù)和成圖形的面積的代數(shù)和.數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)應(yīng)用例例2.計(jì)算下列定積分計(jì)算下列定積分:5001(1).(24);(2).xdxxdx2 5-1xyxy-1解解(1)5;(2)-1/2 基本練習(xí)基本練習(xí) P48.練習(xí)練習(xí)1. (3),(4)1 1、定積分的定義、定積分的定義 如果如果xO(n)時(shí)，時(shí)，Sn 無(wú)限趨近某個(gè)常無(wú)限趨近某個(gè)常數(shù)數(shù)S，那么稱(chēng)該常數(shù)，那么稱(chēng)該常數(shù)S為函數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上上的的定積分定積分,記作記作:回顧小結(jié)回顧小結(jié) 一般地一般地,設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上有上有定義定義,將將區(qū)間區(qū)間a, b等分成等分成n個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間,每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為x(x=b-a/n),在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn),依次為依次為x1,x2, ,xn.作和作和 n12nS =f(x ) xf(x ) xf(x ) x ()baSfx d xbaf(x)dx f (t)dt f(u)du。 回顧小結(jié)回顧小結(jié) baf(x)dx baf (x)dx -4.3.定積分是一個(gè)數(shù)值定積分是一個(gè)數(shù)值,它只與被積函數(shù)及積分區(qū)它只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無(wú)關(guān)，即間有關(guān)，而與積分變量的記法無(wú)關(guān)，即2.一般定積分的幾何意義是一般定積分的幾何意義是,在區(qū)間在區(qū)間a,b上曲線(xiàn)與上曲線(xiàn)與x軸所圍成圖形的面積的代數(shù)軸所圍成圖形的面積的代數(shù)和和.