專題一 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題七 客觀題與創(chuàng)新題的解法 創(chuàng)新型數(shù)學(xué)試題大致可分為兩大類：一是新概念問題，二是新情境問題新概念問題是指試題中自定義一個概念、一種運(yùn)算、一個規(guī)定等，再提出一個與此相關(guān)的問題，要求結(jié)合所學(xué)數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解答；新情境問題是指給出一個陌生的數(shù)學(xué)背景，要求在深刻、準(zhǔn)確理解題意的基礎(chǔ)上，運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決相關(guān)問題，這類試題的設(shè)問方式多種多樣，具有開放性和探索性 創(chuàng)新型問題中包含著知識的再生與整合，創(chuàng)新問題的分析、研究和解決，也是一種探究性學(xué)習(xí)過程，通過對新概念、新情境提供的信息進(jìn)行感知、識別、加工，把創(chuàng)新問題化為常規(guī)數(shù)學(xué)問題來解決，是解題的基本策略 5“”5|0,1,2,3,4.201113301234“”0()A 1 B 2 C 3 kkknk nkababZZZ在整數(shù)集 中，被 除所得余數(shù)為 的所有整數(shù)組成一個 類 ，記為，即，給出如下四個結(jié)論：； 整數(shù) ， 屬于同一 類 的充要條件是“”其中，正確結(jié)論一、新概念、新定義下的創(chuàng)新型的個數(shù)是例題1問 D 4 2011540212011135123250,1,2,3,401234 Z因?yàn)?，則，結(jié)論正確；因?yàn)?，則，結(jié)論不正確；因?yàn)樗械恼麛?shù)被 除的解析：余數(shù)為五類，則，結(jié)論正確； 121212112212121212“”55()50055(C)50.“”abkankbnk nnabnnabankbnknnabnnkkkkabZZ若整數(shù) ， 屬于同一 類，可設(shè)，則；反之，若，可設(shè)，則；所以，則整數(shù) ， 屬于同一 類 ，結(jié)論正確解，故選析： 121212120000,10,1011001021(0,1 )0,1012213,xfxxfxfxxxxfxxfxfxfxfxfg xxfxxfxffxx對于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，如果同時滿足以下三個條件：對任意的，總有；若，都有成立，則稱函數(shù)為理想函數(shù)若函數(shù)為理想函數(shù)，求的值；判斷函數(shù)是否為理想函數(shù)，并予以證明；若函數(shù)為理想函數(shù)，假定存在，使得，且例000.fxx，求證： 12121212121212121221000000.00210,1011.001212121222121210. 00.2 1xxxfffffg xg xgxxxxg xxg xg xxxxxxxxxxxfg x 取，可得，所以又由條件，故顯然在上滿足條件；也滿足條件若，故則，即滿足條是理解析：件想函數(shù) 0000000000000,10,13.mnmnmnnmf nf nmmf nmf mf mxfxfxffxxxfxfxffxxfxx證明：由條件知，任給 、，當(dāng)時，由知，所以若，則，前后矛盾；若，則，所以前后矛盾 1 23中應(yīng)用新定義條件討論，判斷所求問題； 中利用新定義下的理想函數(shù)條件進(jìn)一步分析函數(shù)性質(zhì)，創(chuàng)新性解【點(diǎn)評】決問題 320003(0)0()_12“”fxaxbxcxd afxyfxyfxfxxxfxyfxfxxg二、新情境、新背景下的創(chuàng)新型對于三次函數(shù)，定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解 ，則稱點(diǎn)，為函數(shù)的“拐點(diǎn)”函數(shù)的“拐點(diǎn)”為；有同學(xué)發(fā)現(xiàn) 任何一個三次函數(shù)都有 拐點(diǎn) ；任意一個三次函數(shù)都有對稱中心；例且“拐點(diǎn)”就是對稱中心 請你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，寫問題出函數(shù)3 3231_xxxx 的對稱中心為 3203203236 .600“”0,04(1122322.22011313)3f xxfxxxfxxxf xxg xg xxxgxxgxxxg xxxx 由定義可知，將函數(shù)連續(xù)兩次求導(dǎo)可得令，即，所以函數(shù)的 拐點(diǎn)因?yàn)楣拯c(diǎn)就是對稱中心，對函數(shù)求導(dǎo)可得，所以令，即，所以函解數(shù)為，的對稱中心為析：考查閱讀理解能力，解決新概念、新符號等創(chuàng)新問題【點(diǎn)評】的能力 221201ypx pFlABOOA OBFlABPPA PB 已知拋物線，過焦點(diǎn) 的動直線 交拋物線于 、 兩點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值；由可知，過拋物線的焦點(diǎn) 的動直線 交拋物線于 、 兩點(diǎn)，存在定點(diǎn) ，使得為定值，請寫出關(guān)于橢圓的類似結(jié)論，并例4給出證明 11222222121222121212222222.(0).22()()2022244124ABppFlxmyA xyB xypxmyypmypypxyypmy ypmppx xm y yyyppm pm p 思路：由直線與拋物線、橢圓的位置關(guān)系，求 、 兩點(diǎn)對應(yīng)坐標(biāo)的積，通過計(jì)算確定結(jié)論過焦點(diǎn)，的直線的方程為設(shè)，由，得，解則，析:， 212122222222222112234123.4010,0 ()()(OA OBpOA OBx xy ypxyabFablABPPA PBxylababF ccabA xyB xy 所以，所以關(guān)于橢圓有類似的結(jié)論：過橢圓的一個焦點(diǎn) 的動直線交橢圓于 、 兩點(diǎn)，存在定點(diǎn) ，使為定值證明：不妨設(shè)直線 過橢圓的右焦點(diǎn)其中與橢圓相交于，定值，為2)222222222222222222222212122222221212221212()1202.,01lxyk xcyk xcxyaba kbxa ck xa c ka ba cka c ka bxxx xa kba kbPxmPA PBxmxmy ykx xmckxx 若直線 不與 軸垂直，則設(shè)其方程為由，所以，由對稱性可知，設(shè)點(diǎn) 在 軸上，其坐標(biāo)為，所以22222222222222222222221mc ka c ka ba ckkmckmc ka kba kb2422422222222242242222224224222222 2262244224(2)().22(2)22(2)44(4) 4aa bba ma cm kma ba kbPA PBaa bba ma cmamaaa bbab cma caabcaPA PBmaab caa 要使為定值，只要，即，此時4224(3).4babalx 若 垂直于 軸，222222242224222242244224,0(2)(3(0()()(2)(0)2(2)2(4)(3) .4)42bbxcA cB caaab cPaabF clABab cbaPPA PBacbPA PBcaab cababaa 綜上，過焦點(diǎn)的任意直線 交橢圓于 、 兩點(diǎn)，存在定點(diǎn)，則其方程為， ，取，有使24)4ba為定值 1通過過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線位置關(guān)系證明的結(jié)論，類比推理橢圓中的性質(zhì)，并由定值條件確定定點(diǎn)的坐標(biāo)，探究并證【點(diǎn)評】明結(jié)論 121212120001.24()123MfxxfxxfxxsinxfxMfxMfxxxxxfxfxxxMfxfxDmnDxmnf nf mnm fx設(shè)是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：關(guān)于 的方程有實(shí)根；試判斷函數(shù)是否屬于，并說明理由；若，求證：對于定義域內(nèi)任意的 、，有成立；已知集合中的元素具有如下性質(zhì)：若的定義域?yàn)?，對于任意，都存在， ，使得等式備選題 0“0”fxMfxx成立，試?yán)眠@一性質(zhì)推斷命題 若，則方程只有一個實(shí)根 的真假 002400.111 3cos0,1244 401.1Mxsinxf xff xxxfxxfxf xM思路：以集合的元素的性質(zhì)為依據(jù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)進(jìn)行推理和證明對于函數(shù)，有，所以方程有實(shí)根又，所以，故解析： 121121211222112221.011002.xxfxf xf xf xf xf xxfxfxyf xxf xxf xxf xf xxxxxx 證明：不妨設(shè)因?yàn)?，所以為增函?shù)，從而又，即，則為減函故數(shù)，所以，即， 00000()( )( )()( )()0013)(1f xMf xxxfffxfffxfxxxfxf 當(dāng)，假設(shè)方程存在所以方程兩實(shí)根 、，則存在，使成立因?yàn)?，只有一個實(shí)，則數(shù)根，即，這與，故命矛盾，題為真M依據(jù)集合的元素性質(zhì)進(jìn)行演繹推理，是解題的基本策略對含絕對值的不等式，通常去掉絕對值符號，對唯一性問題的證明，一般采用【點(diǎn)評】反證法1創(chuàng)新意識是理性的高層次表現(xiàn)，對數(shù)學(xué)問題的“觀察、猜想、抽象、概括、證明”是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的重要途徑，對數(shù)學(xué)知識的遷移、組合、整合的程度越高，顯示出的創(chuàng)新意識就越強(qiáng)，因此提高處理創(chuàng)新題的能力，關(guān)鍵是提高自己觀察、猜想、抽象、概括、證明的能力，提高自己對知識的遷移能力 2解“新概念、新定義創(chuàng)新題”，關(guān)鍵是閱讀理解所定義的新概念、新運(yùn)算，從中獲得解題所需信息、知識，并設(shè)法將其轉(zhuǎn)化到已學(xué)知識上去，用已學(xué)知識解決新問題 3對于新背景問題、探究性問題的解決，關(guān)鍵是理解題目給出的新概念，提取相關(guān)信息，研究其中的一般規(guī)律，由此解決較為復(fù)雜的相關(guān)問題