第二十四講第二十四講平面向量的基本定理及坐標表示平面向量的基本定理及坐標表示回歸課本回歸課本1.平面向量基本定理及坐標表示平面向量基本定理及坐標表示(1)平面向量基本定理平面向量基本定理定理定理:如果如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個是同一平面內(nèi)的兩個不共線不共線向量向量,那么對于這那么對于這一平面內(nèi)的任意向量一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有有且只有一對實數(shù)一對實數(shù)1、2,使使a=1e1+2e2.其中其中,不共線的向量不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底組基底. (2)平面向量的正交分解平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個把一個向量分解為兩個互相垂直互相垂直的向量的向量,叫做把向量正交分叫做把向量正交分解解.(3)平面向量的坐標表示平面向量的坐標表示在平面直角坐標系中在平面直角坐標系中,分別取與分別取與x軸軸 y軸方向相同的兩個軸方向相同的兩個單位向量單位向量e1,e2作為基底作為基底.對于平面內(nèi)的一個向量對于平面內(nèi)的一個向量a,有且只有且只有一對實數(shù)有一對實數(shù)a1、a2,使使a=a1e1+a2e2.把有序數(shù)對把有序數(shù)對(a1,a2)叫叫做向量做向量a的坐標的坐標,記作記作a=(a1,a2),其中其中a1叫叫a在在x軸上的坐軸上的坐標標,a2叫叫a在在y軸上的坐標軸上的坐標.設(shè)設(shè) =a1e1+a2e2,則則向量向量 的坐標的坐標(a1,a2)就是終點就是終點A的坐標的坐標,即若即若 =(a1,a2),則則A點坐標為點坐標為(a1,a2),反反之亦成立之亦成立(O是坐標原點是坐標原點).OA OA OA 2.平面向量的坐標運算平面向量的坐標運算(1)加法加法 減法減法 數(shù)乘運算數(shù)乘運算向量向量 aba+ba-ba坐標坐標 (x1,y1)(x2,y2)(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(x1,y1)(2)向量坐標的求法向量坐標的求法已知已知A(x1,y1),B(x2,y2),則則 =(x2-x1,y2-y1),即一個向量的即一個向量的坐標等于該向量坐標等于該向量終點終點的坐標減去的坐標減去始點始點的坐標的坐標.(3)平面向量共線的坐標表示平面向量共線的坐標表示設(shè)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中其中b0,則則a與與b共線共線 a=bx1y2-x2y1=0.AB 考點陪練考點陪練1.下列各組向量中下列各組向量中,可以作為基底的是可以作為基底的是()A.e1=(0,0),e2=(1,-2)B.e1=(-1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=13,24解析解析:根據(jù)基底的定義知根據(jù)基底的定義知,非零且不共線的兩個向量才可以作非零且不共線的兩個向量才可以作為平面內(nèi)的一組基底為平面內(nèi)的一組基底.A中顯然中顯然e1e2;C中中e2=2e1,所以所以e1e2;D中中e1=4e2,所以所以e1e2.答案答案:B2.已知已知a=(-2,3),b=(1,5),則則3a+b等于等于()A.(-5,14)B.(5,14)C.(7,4)D.(5,9)解析解析:3a+b=3(-2,3)+(1,5)=(-6,9)+(1,5)=(-5,14).答案答案:A3.設(shè)設(shè)a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),則則(a+2b)c=()A.(-15,12)B.0C.-3D.-11解析解析:a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6),(a+2b)c=-3.答案答案:C4.m1,m2).(1, 3),(2, 1),A B C,m()A.m2B.mC.m1D.(m221OAOBOC 已知向量若點 能構(gòu)成三角形 則實數(shù) 應(yīng)滿足的條件是:A( ,1),B C,(1m m 1m 1m1 ,m1,).,1,C,ACm mBCmmACBC 解析 由題意因為 能構(gòu)成三角形 所以即有得到故選:C答案5.a(1,b2,0 ,ab_).3 已知向量則3),: ab( 1,1 32.ab 解析答案答案:2類型一類型一平面向量基本定理的應(yīng)用平面向量基本定理的應(yīng)用解題準備解題準備:已知已知e1,e2是平面的一組基底是平面的一組基底,如果向量如果向量a,e1,e2共共面面,那么有且只有一對實數(shù)那么有且只有一對實數(shù)1,2,使使a=1e1+2e2.反之反之,如果如果有且只有一對實數(shù)有且只有一對實數(shù)1,2,使使a=1e1+2e2,那么那么a,e1,e2共面共面.這是平面向量基本定理的一個主要考查點這是平面向量基本定理的一個主要考查點,也是高考本部也是高考本部分知識考查的重點內(nèi)容分知識考查的重點內(nèi)容.11,1,OAB,ADBCM,a,2.b4,OCOA ODOBOAa OBbOM 【典例 】如圖 在中與交于點設(shè)以為基底表示( ,),(1),11,221,11A M D,.2m2n1OMmanb m nRAMOMOAmanbADODOAbaabmn 解 設(shè)因為 三點共線所以即1(),41114,14414121137,.C M B,4mn.41377.71CMOMOCmanb CBOBOCmnbaabmmnOMabmnn 而因為 三點共線 所以即由解得所以 反思感悟反思感悟(1)本題先利用平面向量基本定理設(shè)出未知向量本題先利用平面向量基本定理設(shè)出未知向量,然后利用共線向量的條件列出方程組然后利用共線向量的條件列出方程組,通過待定系數(shù)法從通過待定系數(shù)法從而確定參數(shù)的值而確定參數(shù)的值.(2)由平面向量基本定理知由平面向量基本定理知:平面內(nèi)的任一向量都可用兩個不平面內(nèi)的任一向量都可用兩個不共線的向量惟一表示共線的向量惟一表示,根據(jù)向量的加法和減法法則及幾何根據(jù)向量的加法和減法法則及幾何性質(zhì)即可解題性質(zhì)即可解題.類型二類型二平面向量的坐標運算平面向量的坐標運算解題準備解題準備:向量的坐標運算向量的坐標運算,使得向量的線性運算都可用坐標使得向量的線性運算都可用坐標來進行來進行,實現(xiàn)了向量運算完全代數(shù)化實現(xiàn)了向量運算完全代數(shù)化,將數(shù)與形緊密結(jié)合起將數(shù)與形緊密結(jié)合起來來,就可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量就可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運算運算.2A2,4 ,B3,23, 1 ,C,3, 4 ,M N.CMCACNCBMN 【典例 】已知且求 及的坐標(1,8),(6,3).3(3,24),2(12,6).33,(3,4)(3,24)A2,4 ,B 3, 1 ,C,424,0,20.3, 4 ,M x,y ,M 0,20 .CACBCMCACNCBxCMxyyxy 解設(shè)則N 9,2 ,M 0,20 ,N 9,(9, 18).(9, 18)2 ,.MNMN 同理可求因此所求反思感悟反思感悟由由A B C三點坐標易求得三點坐標易求得 坐標坐標,再根再根據(jù)向量坐標的定義就可以求出據(jù)向量坐標的定義就可以求出M N的坐標的坐標.向量的坐標是向量的另一種表示形式向量的坐標是向量的另一種表示形式,它只與起點它只與起點 終點終點 相對位置有關(guān)相對位置有關(guān),三者中給出任意兩個三者中給出任意兩個,可求第三個可求第三個.在求解時在求解時,應(yīng)將向量坐標看作一應(yīng)將向量坐標看作一“整體整體”,運用方程的思想求解運用方程的思想求解.向量向量的坐標運算是向量中最常用也是最基本的運算的坐標運算是向量中最常用也是最基本的運算,必須靈活必須靈活應(yīng)用應(yīng)用. CA CB 、類型三類型三平面向量共線的坐標表示平面向量共線的坐標表示解題準備解題準備:兩平面向量共線的充要條件有兩種形式兩平面向量共線的充要條件有兩種形式:若若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則則ab的充要條件是的充要條件是x1y2-x2y1=0;若若ab(a0),則則b=a.【典例典例3】平面內(nèi)給定三個向量平面內(nèi)給定三個向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列問題回答下列問題:(1)求求3a+b-2c;(2)求滿足求滿足a=mb+nc的實數(shù)的實數(shù)m,n;(3)若若(a+kc)(2b-a),求求k;(4)若若(d-c)(a+b),且且|d-c|=1,求求d. 分析分析(1)直接用向量加減法的坐標運算公式直接用向量加減法的坐標運算公式.(2)借助于向量相等的條件借助于向量相等的條件,建立關(guān)于建立關(guān)于m,n的方程組的方程組.(3)利用向量共線的充要條件利用向量共線的充要條件,建立關(guān)于實數(shù)建立關(guān)于實數(shù)k的充要條件的充要條件.(4)利用利用(d-c)(a+b)及及|d-c|=1建立關(guān)于建立關(guān)于x,y的方程組的方程組. 解解(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(9-1-8,6+2-2)=(0,6).(2)a=mb+nc,(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n),5439,.2289mmnmnn解得 (3)(a+kc)(2b-a),又又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,k=(4)設(shè)設(shè)d=(x,y),d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4).又又(d-c)(a+b)且且|d-c|=1,16.134(4)2(1)0,(4)2(1)21xyxy554455.2 52 51155205 52 5205 52 5,.5555xxyydd 解得或或 反思感悟反思感悟向量的坐標表示實際上就是向量的代數(shù)表示向量的坐標表示實際上就是向量的代數(shù)表示.在在引入向量的坐標表示后引入向量的坐標表示后,可以使向量的運算完全化為代數(shù)可以使向量的運算完全化為代數(shù)運算運算.這樣就可以將這樣就可以將“形形”和和“數(shù)數(shù)”緊密結(jié)合在一起緊密結(jié)合在一起.因此因此,很多幾何問題很多幾何問題,特別是共線特別是共線 共點等較難問題的證明共點等較難問題的證明,通過通過建立坐標系建立坐標系,設(shè)出點的坐標就可轉(zhuǎn)化為坐標運算來解決設(shè)出點的坐標就可轉(zhuǎn)化為坐標運算來解決.如如:要證平行要證平行,只需相關(guān)向量共線只需相關(guān)向量共線,要證垂直要證垂直,只需相關(guān)向量數(shù)量只需相關(guān)向量數(shù)量積等于積等于0.錯源一錯源一遺漏零向量遺漏零向量【典例典例1】若若a=(3,2-m)與與b=(m,-m)平行平行,求求m的值的值.錯解錯解因為因為b=(m,-m)=m(1,-1),令令c=(1,-1),bc,又又ab,所以所以ac,即即3(-1)-1(2-m)=0,解得解得m=5. 剖析剖析零向量與任一向量平行零向量與任一向量平行,當當m=0時時,b為零向量為零向量,也與也與a平行平行.正解正解由由ab,得得-3m-m(2-m)=0,即即m2-5m=0,解得解得m=5或或m=0,所以所以m的值為的值為0或或5.評析評析零向量與任一向量都是平行零向量與任一向量都是平行(共線共線)向量向量,這是在解題中這是在解題中常常容易被忽視的常常容易被忽視的.錯源二錯源二忽視平面向量基本定理的使用條件致誤忽視平面向量基本定理的使用條件致誤,2tR,3ac,2bd,et ab ,t,C D E?,OAa OBb OCc ODd OEe 【典例 】已知設(shè)如果那么 為何值時 三點在一條直線上 剖析剖析本題可以根據(jù)向量共線的充要條件列出等式解決本題可以根據(jù)向量共線的充要條件列出等式解決,但在得出等式后根據(jù)平面向量基本定理列式解決時但在得出等式后根據(jù)平面向量基本定理列式解決時,容易容易忽視平面向量基本定理的使用條件忽視平面向量基本定理的使用條件,出現(xiàn)漏解出現(xiàn)漏解,漏掉了當漏掉了當a,b共線時共線時,t可為任意實數(shù)這個解可為任意實數(shù)這個解. 正解正解由題設(shè)知由題設(shè)知, =d-c=2b-3a, =e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三點在一條直線上的充要條件是存在實數(shù)三點在一條直線上的充要條件是存在實數(shù)k,使得使得 即即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.CD CE ,CEkCD 若若a,b共線共線,則則t可為任意實數(shù)可為任意實數(shù);若若a,b不共線不共線,則有則有 解之得解之得綜上綜上,a,b共線時共線時,t可為任意實數(shù)可為任意實數(shù);a,b不共線時不共線時330,20,tktk 6.5t 6,.5t 評析評析平面向量基本定理平面向量基本定理如果如果e1,e2是一平面內(nèi)的兩個不共線向量是一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對該平面內(nèi)的那么對該平面內(nèi)的任一向量任一向量a,有且只有一對實數(shù)有且只有一對實數(shù)1 2,使使a=1e1+2e2,特別特別地地,當當a=0時時,1=2=0,本題在本題在a,b不共線時不共線時,就是根據(jù)這個定就是根據(jù)這個定理得出的方程組理得出的方程組.在平面向量的知識體系里在平面向量的知識體系里,平面向量基本平面向量基本定理是基石定理是基石,共線向量定理是重要工具共線向量定理是重要工具,在復(fù)習(xí)這部分時要在復(fù)習(xí)這部分時要充分注意這兩個定理在解決問題中的作用充分注意這兩個定理在解決問題中的作用,在使用平面向在使用平面向量基本定理時要注意其使用是兩個基向量不共線量基本定理時要注意其使用是兩個基向量不共線.技法一技法一基向量法基向量法【典例典例1】在下圖中在下圖中,對于平行四邊形對于平行四邊形ABCD,點點M是是AB的中的中點點,點點N在在BD上上,且且 .求證求證:M、N、C三點共線三點共線.13BNBDMNC,.MNMCMNMC 解題切入點 欲證、 、 三點共線 只需證向量也即只需選擇一組基底來表示這兩個向量 然后證存在實數(shù)使得成立1212212121211212,11113331,.211ee ,ee ,11,2233111 1e ,2ee633ABADBDBAADBNBDeMBe BCADeMCMBBCee MNMBBNeeeee 證明 令有.1.3MNC.MNMC 可得、 、 三點共線,.MN MC 方法與技巧 本題的關(guān)鍵是在幾何圖形中選一對不共線向量 進一步表示出我們需要的向量、再證明向量共線 從而得點共線 這是證明三點共線常用的方法本方法常稱作基向量法技法二技法二方程的思想方程的思想2A 1, 2 ,B 2,1.,C 3,2 ,D2,3 ,AB ACADBDCD 【典例 】已知以、為一組基底來表示(1,3),(2,4),( 3,5),( 4,2),( 5,1),( 12,8),xy,12,.,212,8x 1,334y 2,4 .8,ABACADBDCDADBDCDADBDCDxAByACxyxy 解由平面向量基本定理 一定存在實數(shù) 、使得即解32,22.3222.xyADBDCDABAC 得 方法與技巧方法與技巧重視平面向量基本定理的應(yīng)用重視平面向量基本定理的應(yīng)用,同時體現(xiàn)了方同時體現(xiàn)了方程的思想程的思想,用對應(yīng)系數(shù)相等建立方程組用對應(yīng)系數(shù)相等建立方程組.技法三技法三函數(shù)的思想函數(shù)的思想【典例典例3】已知已知a=(-3,2),b=(2,1),求求|a+tb|(tR)的最小值的最小值及相應(yīng)的及相應(yīng)的t值值.2222(23)(2)58134497 55,5554atb3,2t 2,12t3,t27 5,atbt, atb.55ttttt 解即當時有最小值方法與技巧方法與技巧實質(zhì)上是利用配方法求實質(zhì)上是利用配方法求|a+tb|的最小值的最小值.