大題加練(一)姓名：班級(jí)：用時(shí)：分鐘1 .數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問(wèn)題：如圖1,AGBD是四邊形ABCD的對(duì)角線，若/ACB=/ACD=ZABD=/ADB=60°,則線段BC,CDAC三者之間有何等量關(guān)系？經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種正確的思路：如圖2,延長(zhǎng)CB到E,使BE=CD連接AE,證彳AB圖ADC從而容易證明ACE是等邊三角形，故AC=CE,所以AC=BJCD.小亮展示了另一種正確的思路：如圖3,將ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,使AB與AD重合，從而容易證明ACF是等邊三角形，故AC=CF,所以AC=BC+CD.在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：小穎提出：如圖4,如果把“/ACB=/ACD=/ABD=/ADB=60°”改為/ACB=/ACD=/ABD=ZADB=45°”，其他條件不變，那么線段BC,CD,AC三者之間有何等量關(guān)系？針對(duì)小穎提出的問(wèn)題，請(qǐng)你寫(xiě)出結(jié)論，并給出證明；(2)小華提出：如圖5,如果把“/ACB=/ACD=/ABD=/ADB=60°”改為“/ACB=/ACD=/ABD=ZADB=30°”，其他條件不變，那么線段BC,CD,AC三者之間有何等量關(guān)系？針對(duì)小華提出的問(wèn)題，請(qǐng)你寫(xiě)出結(jié)論，并給出證明.A圖4C圖52 .【問(wèn)題情境】在4ABC中，BA=BC,ZABCa(0°Va<180°)，點(diǎn)P為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合)，連接AP,將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段PQ旋轉(zhuǎn)角為a）,連接CQ.【特例分析】（1）當(dāng)a=90°,點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，過(guò)P作PF/AC交直線AB于點(diǎn)F,如圖1,易得圖中與APF全等的一個(gè)三角形是,ZACQ=°【拓展探究】（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上，AB：AC=m：n時(shí)，如圖2,試求線段BP與CQ的比值；【問(wèn)題解決】（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上，a=60°,ZAPB=30°,CP=4時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CQ的長(zhǎng).圖I圖2參考答案1.解：(1)BC+CD=平AC.證明如下：如圖，延長(zhǎng)CD至E,使D&BC,連接AE./ABD=ZADB=45°,AB=AD,/BAD=180°-ZABD-/ADB=90°./ACB=ZACD=45°,./ACB/ACD=90°,/BA*/BCD=180°,ABO/ADC=180°./ADO/ADE=180°,ABC=ZADE.AB=AD,在ABCADE中，/ABC=/ADEBC=DE,.AB(CADE(SAS),，/ACB=/AED=45°,AC=AE,ACE是等腰直角三角形，.CE=2AC.CE=C*DE=CABC,.BaCD=2AC.(2)BC+CD=點(diǎn)AC.證明如下：如圖，延長(zhǎng)CD至E,使DE=BC./ABD=ZADB=30°,AB=AD,/BAD=180°/ABD-ZADB=120°./ACB=ZACD=30°,.ACB/ACD=60°,/BA*/BCD=180°,ABO/ADC=180°./ADO/ADE=180°,ABC=ZADE.千AB=AD,在AB麗ADE中，/ABC=/ADEBC=DE,AB(CADE(SAS),，/ACB=/AED=30°,AC=AE,./AEC=30°如圖，過(guò)點(diǎn)A作AUCE于F,CE=2CF.在RtMCF中，/ACD=30°,CF=AC-cos/ACD=乎AC,CE=2CF=3AC.CE=C*DE=Ct>BC,BOCD=3AC.c2.解：(1)APQC90BABC(2)如圖，過(guò)P作PF/AG交BA的延長(zhǎng)線于F,則丘=AFCPHCP又AB=BC,.1.AF=CP./FAP=/ABO/APB=a+ZAPB,/CPQ=/APQF/APB=a+ZAPB./FAP=/CPQ.由旋轉(zhuǎn)可得PA=PQ.AFPPC(QFP=CQ.PF/AC,ABSFBPBPFP-'一=一.BCACbpbp.BPABmocTFp=actActn.(3)線段CQ的長(zhǎng)為2或8.理由如下：如圖，當(dāng)P在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，Q/CPQ=/APQ-/APB=60°30°=30°,./APC=/QPC.ApAAP=QP,PC=PC,AP黃QPCCQ=AC.又.任人:BC,/ABC=60°,.ABB等邊三角形，/ABC=60°,/BAP=/ABC-ZAPB=30°,1BP=AB=BC=PC=2,.QG=AC=BC=2.如圖，當(dāng)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AQ.BCP由旋轉(zhuǎn)可得AP=QP/APQ=/ABC=60°,.APQ等邊三角形，AQ=PQZAPQ=60°=ZAQP.又./APB=30°,ZACB=60°,./CAP=30°,/CPQ=90°,.CAP=/CPAAC=PC,AC隼PCQ1，/AQC=ZPQC=2/AQP=30,.RtPCQ中，CQ=2CP=8.綜上所述，線段CQW長(zhǎng)為2或8.