2019年中考數(shù)學(xué)同步復(fù)習(xí)重點(diǎn)題型訓(xùn)練大題加練一
大題加練(一)姓名:班級(jí):用時(shí):分鐘1 .數(shù)學(xué)課上,張老師出示了問(wèn)題:如圖1,AGBD是四邊形ABCD的對(duì)角線,若/ACB=/ACD=ZABD=/ADB=60°,則線段BC,CDAC三者之間有何等量關(guān)系?經(jīng)過(guò)思考,小明展示了一種正確的思路:如圖2,延長(zhǎng)CB到E,使BE=CD連接AE,證彳AB圖ADC從而容易證明ACE是等邊三角形,故AC=CE,所以AC=BJCD.小亮展示了另一種正確的思路:如圖3,將ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,使AB與AD重合,從而容易證明ACF是等邊三角形,故AC=CF,所以AC=BC+CD.在此基礎(chǔ)上,同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究:小穎提出:如圖4,如果把“/ACB=/ACD=/ABD=/ADB=60°”改為/ACB=/ACD=/ABD=ZADB=45°”,其他條件不變,那么線段BC,CD,AC三者之間有何等量關(guān)系?針對(duì)小穎提出的問(wèn)題,請(qǐng)你寫(xiě)出結(jié)論,并給出證明;(2)小華提出:如圖5,如果把“/ACB=/ACD=/ABD=/ADB=60°”改為“/ACB=/ACD=/ABD=ZADB=30°”,其他條件不變,那么線段BC,CD,AC三者之間有何等量關(guān)系?針對(duì)小華提出的問(wèn)題,請(qǐng)你寫(xiě)出結(jié)論,并給出證明.A圖4C圖52 .【問(wèn)題情境】在4ABC中,BA=BC,ZABCa(0°Va<180°),點(diǎn)P為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),連接AP,將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段PQ旋轉(zhuǎn)角為a),連接CQ.【特例分析】(1)當(dāng)a=90°,點(diǎn)P在線段BC上時(shí),過(guò)P作PF/AC交直線AB于點(diǎn)F,如圖1,易得圖中與APF全等的一個(gè)三角形是,ZACQ=°【拓展探究】(2)當(dāng)點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上,AB:AC=m:n時(shí),如圖2,試求線段BP與CQ的比值;【問(wèn)題解決】(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上,a=60°,ZAPB=30°,CP=4時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CQ的長(zhǎng).圖I圖2參考答案1.解:(1)BC+CD=平AC.證明如下:如圖,延長(zhǎng)CD至E,使D&BC,連接AE./ABD=ZADB=45°,AB=AD,/BAD=180°-ZABD-/ADB=90°./ACB=ZACD=45°,./ACB/ACD=90°,/BA*/BCD=180°,ABO/ADC=180°./ADO/ADE=180°,ABC=ZADE.AB=AD,在ABCADE中,/ABC=/ADEBC=DE,.AB(CADE(SAS),,/ACB=/AED=45°,AC=AE,ACE是等腰直角三角形,.CE=2AC.CE=C*DE=CABC,.BaCD=2AC.(2)BC+CD=點(diǎn)AC.證明如下:如圖,延長(zhǎng)CD至E,使DE=BC./ABD=ZADB=30°,AB=AD,/BAD=180°/ABD-ZADB=120°./ACB=ZACD=30°,.ACB/ACD=60°,/BA*/BCD=180°,ABO/ADC=180°./ADO/ADE=180°,ABC=ZADE.千AB=AD,在AB麗ADE中,/ABC=/ADEBC=DE,AB(CADE(SAS),,/ACB=/AED=30°,AC=AE,./AEC=30°如圖,過(guò)點(diǎn)A作AUCE于F,CE=2CF.在RtMCF中,/ACD=30°,CF=AC-cos/ACD=乎AC,CE=2CF=3AC.CE=C*DE=Ct>BC,BOCD=3AC.c2.解:(1)APQC90BABC(2)如圖,過(guò)P作PF/AG交BA的延長(zhǎng)線于F,則丘=AFCPHCP又AB=BC,.1.AF=CP./FAP=/ABO/APB=a+ZAPB,/CPQ=/APQF/APB=a+ZAPB./FAP=/CPQ.由旋轉(zhuǎn)可得PA=PQ.AFPPC(QFP=CQ.PF/AC,ABSFBPBPFP-'一=一.BCACbpbp.BPABmocTFp=actActn.(3)線段CQ的長(zhǎng)為2或8.理由如下:如圖,當(dāng)P在CB的延長(zhǎng)線上時(shí),Q/CPQ=/APQ-/APB=60°30°=30°,./APC=/QPC.ApAAP=QP,PC=PC,AP黃QPCCQ=AC.又.任人:BC,/ABC=60°,.ABB等邊三角形,/ABC=60°,/BAP=/ABC-ZAPB=30°,1BP=AB=BC=PC=2,.QG=AC=BC=2.如圖,當(dāng)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí),連接AQ.BCP由旋轉(zhuǎn)可得AP=QP/APQ=/ABC=60°,.APQ等邊三角形,AQ=PQZAPQ=60°=ZAQP.又./APB=30°,ZACB=60°,./CAP=30°,/CPQ=90°,.CAP=/CPAAC=PC,AC隼PCQ1,/AQC=ZPQC=2/AQP=30,.RtPCQ中,CQ=2CP=8.綜上所述,線段CQW長(zhǎng)為2或8.