第四章 三角函數(shù)第4節(jié) 解三角形題型58 正弦定理的應(yīng)用1. （2013山東文7）的內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，若， ，則（ ）.A. B. C. D. 1.分析 先利用正弦定理，求出角，進(jìn)而求出角和角，得出角為直角，從而利用勾股定理求出邊.解析 由正弦定理得：，因?yàn)?，所?因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，所以.所以.又，所以，所以.所以，所以為直角三角形.由勾股定理得.故選B.2. (2013安徽文9） 設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長分別為，若，則角（ ）. A. B. C. D. 2. 解析 同理科卷12題.答案B.3.（2013浙江文3）若，則“”是“”的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.分析 分別判斷能否推出和能否推出.解析 若，則，所以，即；但當(dāng)時(shí)，有，此時(shí).所以是的充分不必要條件.故選A.4. (2013湖南文5）在銳角中，角所對(duì)的邊長分別為. 若，則角等于（ ）.A. B. C. D.4.分析 利用正弦定理將邊化為角的正弦.解析 在中，.因?yàn)椋?所以.又為銳角三角形，所以.故選A.5.（2014廣東文7）在中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為則“”是“”的（ ）.A. 充分必要條件 B.充分非必要條件 C.必要非充分條件 D.非充分非必要條件6.（2014江西文5）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則的值為（ ）. A. B. C. D.7.（2015安徽文）在中，則 .7.解析 由正弦定理可得，即，解得.8.（2015福建文）若在中，則_8.解析 由題意得由正弦定理得，則.9.(2015北京文)在中， .9.解析 在中，由正弦定理知，得，又，得.10.（2015全國1文）已知分別為內(nèi)角的對(duì)邊，.（1）若，求；（2）設(shè)，且，求的面積.10.解析 （1由正弦定理得，.又，所以，即.則.（2）解法一：因?yàn)?，所以，即，亦?又因?yàn)樵谥?，所以，則，得.所以為等腰直角三角形，得，所以.解法二：由（1）可知，因?yàn)椋?，將代入得，則，所以.11.（2015山東文）在中，角所對(duì)的邊長分別為. 已知，求和的值.11.解析 在中，由，得.因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，可得為銳角，所以，因此.由，可得.又，所以.12.（2016全國丙文9）在中，邊上的高等于，則（ ）.A. B. C. D.12. D 解析 解法一：，由正弦定理得，即，所以，所以，.故選D.解法二：如圖所示，由，知.由，則，.由正弦定理知，則.故選D.13.（2016北京文13）在中，則_.13.解析 由正弦定理及題設(shè)，可得，所以，則.由，得，.14.（2016全國甲文15）的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，.若，則_.14.解析 解法一：由題可知，.由正弦定理可得.由射影定理可得.解法二：同解法一，可得.又，由余弦定理可得.解法三：因?yàn)椋?由正弦定理得，解得.15.（2016江蘇15）在中，.（1）求的長；（2）求的值.15. 解析 （1）因?yàn)?，而，所?由正弦定理，故.（2）因?yàn)?，所?又，所以.故.16.（2016天津文15）在中，內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，已知.（1）求；（2）若，求的值.16.分析 （1）利用正弦定理，將邊化為角：，再根據(jù)三角形內(nèi)角范圍化簡得，；（2）已知兩角，求第三角，利用三角形內(nèi)角和為，將所求角化為兩已知角的和，再根據(jù)兩角和的正弦公式求解.解析 （1）在中，由正弦定理化簡，得，所以，得.（2）由，得，則，所以.17.（2016浙江文16）在中，內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，.已知.（1）求證：；（2）若，求的值.17.解析 （1）由正弦定理得，故，于是.又，故，所以或，因此（舍去）或，所以（2）由，得，故，.18.（2017全國3文15）的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，.已知，則_.18.解析 由正弦定理有，所以，又，所以，所以.評(píng)注 考查用正、余弦定理解三角形問題以及三角形的內(nèi)角和定理，難度偏低.題型59 余弦定理的應(yīng)用1.（2014福建文14）在中，則等于 .2.（2015廣東文）設(shè)的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，若，且，則（ ）.2.解析 由余弦定理得，所以，即，解得或.因?yàn)椋?故選C3.（2015重慶文）設(shè)的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，且，則_.3.解析 因?yàn)?，所以根?jù)正弦定理得又因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以，代入解?.（2015江蘇文）在中，已知，（1）求的長；（2）求的值4.解析 （1）由余弦定理，解得（2），因?yàn)?，故，故評(píng)注 在運(yùn)算的過程中類似，可不化簡，有時(shí)候會(huì)利于下面的運(yùn)算5.（2015全國2文）中，是上的點(diǎn)，平分， .(1)求；(2)若，求.5.分析 (1)根據(jù)題意，由正弦定理可得.(2)由誘導(dǎo)公式可得，由(1)可知，所以，.解析 (1)由正弦定理得，.因?yàn)槠椒郑?(2)因?yàn)?，所?由(1)知，所以，即.評(píng)注 三角是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，在高考中主要是利用三角函數(shù)，三角恒等變換及解三角形的正弦定理及余弦定理，在求解時(shí)，注意角的轉(zhuǎn)化及定理的使用.6.（2015陜西文）的內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，向量與平行.（1）求；（2）若，求的面積.6.解析 (1)因?yàn)椋?由正弦定理得， 將式代入式，又，得到，由于，所以.(2)解法一：由余弦定理得，而，得，即.因?yàn)?，所以，故的面積為.解法二：由正弦定理，得，從而.又由知，所以.故，所以面積為.7（2015四川文）已知為的內(nèi)角，是關(guān)于方程的兩個(gè)實(shí)根.（1）求C的大??；（2）若，求p的值.7.解析 （1）由題意可得方程的判別式，所以或.由韋達(dá)定理，得，所以，可得.所以，所以.（2）由正弦定理，可得，解得或（舍去）.所以.則.所以.8.（2015天津文）在中，內(nèi)角， 所對(duì)的邊分別為，已知的面積為，.（1）求和的值；（2）求 的值.8.分析 （1）由面積公式可得，結(jié)合，可解得，.再由余弦定理求得.最后由正弦定理求的值；（2）直接展開求值.解析 （1）中，由，得，由，得，又由，解得，.由，可得. 又由，得.（2）.9.（2015浙江文）在中，內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，.已知.(1)求的值；(2)若，求的面積.9.解析 (1) ，得.(2) ，.由正弦定理得，所以，又，所以.10.（2016全國乙文4）的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，.已知，則（ ）.A. B. C. D.10. D 解析 由余弦定理得，即，整理得，解得.故選D.11.（2016山東文8）在中，角，的對(duì)邊分別是，已知，則（ ）.A. B. C. D.11. C解析 由余弦定理，得.因?yàn)?，所? 由已知得，所以，所以.因?yàn)椋?故選C.評(píng)注 考試的時(shí)候得到，若尋找不到因式分解可考慮代入選項(xiàng)檢驗(yàn).題型60 判斷三角形的形狀1. (2013陜西文9）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則的形狀為（ ）.A. 銳角三角形 B. 直角三角形 C. 鈍角三角形 D. 不確定1.分析 利用余弦定理的變形將角的余弦值轉(zhuǎn)化為三角形邊之間的關(guān)系解析 因?yàn)?所以.因?yàn)椋?，即是直角三角形故選B.題型61 解三角形的綜合應(yīng)用1. （2013江西文17）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知.（1）求證：成等差數(shù)列；（2）若，求的值.1.分析 （1）根據(jù)正弦定理把已知條件中的角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，從而證明成等差數(shù)列；（2）應(yīng)用（1）的結(jié)論和余弦定理得出的關(guān)系式，從而求出結(jié)論.解析 （1）由已知得.因?yàn)?，所?由正弦定理得，即成等差數(shù)列.（2）由及余弦定理得，即有，所以.2. (2013天津文16）在中， 內(nèi)角所對(duì)的邊分別是. 已知， . （1）求的值; （2）求的值. 2.分析 （1）先用正弦定理求出，再用余弦定理求出；（2）用二倍角公式和兩角差公式求值.解析 （1）在中，由可得又由可得.又故由可得（2）由得進(jìn)而得所以3.（2013湖北文18）在中，角，對(duì)應(yīng)的邊分別是，. 已知（1）求角的大??；（2）若的面積，求的值3.分析 利用倍角公式和誘導(dǎo)公式化簡已知條件，求得的值，即得角的大小；由面積求出邊，再利用余弦定理求出邊，最后利用正弦定理求出的值.解析 （1）由，得，即，解得.因?yàn)?，所?（2）由，得，又，所以.由余弦定理得，所以.從而由正弦定理得.4. （2013四川文17）在中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求的值；推導(dǎo)的前項(xiàng)和公式；（2）若，求向量在方向上的投影.4.分析 （1）由三角形內(nèi)角和定理得，即，然后利用兩角和的余弦公式求得.（2）借助正、余弦定理求角后再利用向量投影公式求解解析 （1）由，得.則，即.又，則.（2）由正弦定理，有，所以.故題意知，則，故.根據(jù)余弦定理，有.解得或（負(fù)值舍去）.故向量在方向上的投影為.5. (2013浙江文18）在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且. （1）求角的大?。唬?）若，求的面積. 5.分析 （1）利用已知條件和正弦定理可求出，進(jìn)而求出；（2）利用余弦定理求出，再用面積公式求面積.解析 （1）由及正弦定理，得.因?yàn)槭卿J角，所以.（2）由余弦定理，得.又，所以.由三角形面積公式，得的面積為.6.（2014四川文8）如圖所示，從氣球上測得正前方的河流的兩岸，的俯角分別為，此時(shí)氣球的高是，則河流的寬度等于（ ）.A. B.C. D.7.（2014新課標(biāo)文16）如圖所示，為測量山高，選擇和另一座山的山頂為測量觀測點(diǎn).從點(diǎn)測得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角以及；從點(diǎn)測得.已知山高，則山高 .8（2014湖北文13）在中，角所對(duì)的邊分別為. 輸入開始否是結(jié)束輸出已知，則 .9.（2014北京文12）在中，則 ； .9. 解析 由余弦定理知，故；由，知，由知.10.（2014陜西文16）（本小題滿分12分） 的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.（1）若成等差數(shù)列，求證：；（2）若成等比數(shù)列，且，求的值. 11. （2014安徽文16）（本小題滿分12分）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長分別是，且，的面積為，求與的值.11. 解析 由三角形面積公式，得，故.因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，由余弦定理得，所以.當(dāng)時(shí)，由余弦定理得，所以.評(píng)注 本題考查解三角形，解題時(shí)要注意已知求時(shí)有兩解，防止漏解.12.（2014大綱文18）（本小題滿分12分）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，求B.13.（2014遼寧文17）（本小題滿分12分） 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，已知，求：（1）和的值；（2）的值.14.（2014山東文17）（本小題滿分12分）中，角所對(duì)的邊分別為. 已知.（1）求的值；（2）求的面積.15.（2014浙江文18）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.（1）求角的大??；（2）已知，的面積為，求邊長的值.16.（2014重慶文18）（本小題滿分12分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.（1）若，求的值；（2）若，且的面積，求和的值.17. （2014新課標(biāo)文17）（本小題滿分12分）四邊形的內(nèi)角與互補(bǔ)，.（1）求和；（2）求四邊形的面積.18.（2014湖南文19）（本小題滿分13分）如圖所示，在平面四邊形中，.（1）求的值；（2）求的長.19.（2015湖北文）如圖所示，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時(shí)測得公路北側(cè)一山頂在西偏北的方向上，行駛m后到達(dá)處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度= m.19.解析 中，所以，因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫磎，在中，因?yàn)?，所以，所以m. 20.（2015湖南）設(shè)的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，.（1）證明：；（2）若，且為鈍角，求，.20.解析 （1）由及正弦定理，得，所以.（2）因?yàn)樗?.由（1）知，因此，所以，又為鈍角，故，由知，從而.綜上所述，.21.（2016上海文10）已知的三邊長分別為，則該三角形的外接圓半徑等于 .21.解析 不妨設(shè)，則，故，因此.22.（2016四川文18）在中，角，所對(duì)的邊分別是，且.（1）求證：；（2）若，求.22.解析 （1）根據(jù)正弦定理，可設(shè)，則，.代入中，有，可變形得在中，由，有，所以（2）由已知，根據(jù)余弦定理，有.所以.由（1）得，所以，故23.（2017全國1文11）的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，已知，則（ ）.A B C D23.解析 由題意得，即，所以.由正弦定理，得，即，得.故選B.24.（2017全國2文16）的內(nèi)角，B，C的對(duì)邊分別為，若，則 .24.解析 解法一:由正弦定理可得.解法二：如圖所示，由射影定理知，所以，所以，所以.25.（2017山東文17）在中，角，的對(duì)邊分別為，已知，求和.25.解析 因?yàn)?，所以，?，所以，因此， 且，所以.又，所以.由余弦定理，得，所以.26.（2017天津文15）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，.（1）求的值；（2）求的值.26.解析 （1）因?yàn)?，所以由正弦定理得，則. 又因?yàn)?，所以由余弦定理?（2）因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，所以由正弦定理?又因?yàn)?，所以，所以，所以，所?27.（2017浙江14）已知，. 點(diǎn)為延長線上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，則的面積是_，_.27.解析 如圖所示，取的中點(diǎn)為，在等腰中,，所以，所以的面積為因?yàn)椋允堑妊切?，所以，解?8.（2017江蘇18）如圖所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱臺(tái)形玻璃容器的高均為，容器的底面對(duì)角線的長為，容器的兩底面對(duì)角線，的長分別為和 分別在容器和容器中注入水，水深均為 現(xiàn)有一根玻璃棒，其長度為（容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì)）.（1）將放在容器中，的一端置于點(diǎn)處，另一端置于側(cè)棱上，求沒入水中部分的長度；（2） 將放在容器中，的一端置于點(diǎn)處，另一端置于側(cè)棱上，求沒入水中部分的長度 28.解析 （1）由正棱柱的定義，平面，所以平面平面，記玻璃棒的另一端落在上點(diǎn)處，如圖所示為截面的平面圖形因?yàn)椋?，從?記與水面的交點(diǎn)為， 過點(diǎn)作，為垂足，則平面，故，從而答：玻璃棒沒入水中部分的長度為（2）如圖所示為截面的平面圖形，是正棱臺(tái)兩底面的中心由正棱臺(tái)的定義，平面， 所以平面平面，同理，平面平面，記玻璃棒的另一端落在上點(diǎn)處過作，為垂足，則因?yàn)?，所以，從而設(shè)，則因?yàn)?，所以在中，由正弦定理可得，解?因?yàn)?，所以，于是記與水面的交點(diǎn)為，過作，為垂足，則平面，故，從而答：玻璃棒沒入水中部分的長度為評(píng)注 此題本質(zhì)上考查解三角形的知識(shí)，但在這樣的大背景下構(gòu)造的應(yīng)用題讓學(xué)生有畏懼之感，且該應(yīng)用題的實(shí)際應(yīng)用性也不強(qiáng)也有學(xué)生第（1）問采用相似法解決，解法如下：，所以，所以由，即，解得答：玻璃棒沒入水中部分的長度為題型 正、余弦定理與向量的綜合暫無