1 1訓練目標會用空間向量解決立體幾何的證明、求空間角、求距離問題訓練題型(1)用空間向量證明平行與垂直；(2)用空間向量求空間角；(3)求長度與距離解題策略(1)選擇適當?shù)目臻g坐標系；(2)求出相關點的坐標，用坐標表示直線的方向向量及平面的法向量；(3)理解并記住用向量表示的空間角和距離的求解公式；(4)探索性問題，可利用共線關系設變量，引入?yún)?shù)，列方程求解.1.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14.(1)設，異面直線AC1與CD所成角的余弦值為，求實數(shù)的值；(2)若點D是AB的中點，求二面角DCB1B的余弦值2(20xx·甘肅天水一模)如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD為梯形，ADBC，AD平面SCD，ADDC2，BC1，SD2，SDC120°.(1)求SC與平面SAB所成角的正弦值；(2)求平面SAD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值3(20xx·南昌月考)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，B1BB1AABBC，B1BC90°，D為AC的中點，ABB1D.(1)求證：平面ABB1A1平面ABC；(2)在線段CC1(不含端點)上，是否存在點E，使得二面角EB1DB的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由4(20xx·太原質(zhì)檢)如圖所示，該幾何體是由一個直三棱柱ADEBCF和一個正四棱錐PABCD組合而成的，ADAF，AEAD2.(1)證明：平面PAD平面ABFE；(2)求正四棱錐PABCD的高h，使得二面角CAFP的余弦值是.答案精析立體幾何問題1解(1)由AC3，BC4，AB5得ACB90°，以C為原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.則A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，設D(x，y，z)，則由，得(33，4，0)，又(3,0,4)，由題意知|cos，|，解得或.(2)由題意得D(，2,0)，(，2,0)，(0,4,4)，設平面CDB1的法向量為n1，因為·n10，·n10，所以可取n1(4，3,3)；同理，平面CBB1的一個法向量為n2(1,0,0)，并且n1，n2與二面角DCB1B相等或互補，所以二面角DCB1B的余弦值為|cosn1，n2|.2解如圖，在平面SCD中，過點D作DC的垂線交SC于E，以D為原點，DA，DC，DE所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系Dxyz.則有D(0,0,0)，S(0，1，)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(1,2,0)(1)設平面SAB的法向量為n(x，y，z)，(1,2,0)，(2，1，)，·n0，·n0，取y，得n(2，5)又(0,3，)，設SC與平面SAB所成角為，則sin|cos，n|，故SC與平面SAB所成角的正弦值為.(2)設平面SAD的法向量為m(a，b，c)，(2,0,0)，(0，1，)，則有即取b，得m(0，1)cosn，m，故平面SAD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值是.3(1)證明取AB的中點O，連結OD，OB1.因為B1BB1A，所以OB1AB.又ABB1D，OB1B1DB1，OB1平面B1OD，B1D平面B1OD，所以AB平面B1OD，因為OD平面B1OD，所以ABOD.由已知條件知，BCBB1，又ODBC，所以ODBB1.因為ABBB1B，AB平面ABB1A1，BB1平面ABB1A1，所以OD平面ABB1A1.因為OD平面ABC，所以平面ABB1A1平面ABC.(2)解由(1)知OB，OD，OB1兩兩垂直，所以以O為坐標原點，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，|為單位長度1，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz，連結B1C.由題設知，B1(0,0，)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(1,0,0)，C(1,2,0)，C1(0,2，)，(0,1，)，(1,0，)，(1,0，)，(1,2，)，設(01)，由(1，2，(1)，設平面BB1D的法向量為m(x1，y1，z1)，則得令z11，則x1y1，所以平面BB1D的法向量為m(，1)設平面B1DE的法向量為n(x2，y2，z2)，則得令z21，則x2，y2，所以平面B1DE的一個法向量n(，1)設二面角EB1DB的大小為，則cos，解得.所以在線段CC1上存在點E，使得二面角EB1DB的余弦值為，此時(負值舍去)4(1)證明在直三棱柱ADEBCF中，AB平面ADE，AD平面ADE，所以ABAD.又ADAF，ABAFA，AB平面ABFE，AF平面ABFE，所以AD平面ABFE.因為AD平面PAD，所以平面PAD平面ABFE.(2)解由(1)知AD平面ABFE，以A為原點，AB，AE，AD所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系Axyz，則A(0,0,0)，F(xiàn)(2,2,0)，C(2,0,2)，P(1，h,1)，其中h為點P到平面ABCD的距離(2,2,0)，(2,0,2)，(1，h,1)設平面AFC的一個法向量為m(x1，y1，z1)，則取x11，則y1z11，所以m(1，1，1)設平面AFP的一個法向量為n(x2，y2，z2)，則取x21，則y21，z21h，所以n(1，1，1h)因為二面角CAFP的余弦值為，所以|cosm，n|，解得h1(負值舍去)