第四節(jié)函數(shù)yAsin(x)的圖像及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用最新考綱1.了解函數(shù)yAsin(x)的物理意義；能畫出函數(shù)的圖像，了解參數(shù)A，對函數(shù)圖像變化的影響.2.會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型(對應(yīng)學(xué)生用書第67頁)1yAsin(x)的有關(guān)概念yAsin(x)(A0，0，x0)表示一個簡諧運動振幅周期頻率相位初相ATfx2.用五點法畫yAsin(x)一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個關(guān)鍵點，如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A03.由ysin x的圖像變換得到y(tǒng)Asin(x)(其中A0，0)的圖像1函數(shù)yAsin(x)k圖像平移的規(guī)律：“左加右減，上加下減”2由ysin x到y(tǒng)sin(x)(0，0)的變換：向左平移個單位長度而非個單位長度一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)利用圖像變換作圖時“先平移，后伸縮”與“先伸縮，后平移”中平移的單位長度一致()(2)將y3sin 2x的圖像左移個單位后所得圖像的解析式是y3sin.()(3)ysin的圖像是由ysin的圖像向右平移個單位得到的()(4)函數(shù)yAcos(x)的最小正周期為T，那么函數(shù)圖像的兩個相鄰對稱中心之間的距離為.()答案(1)×(2)×(3)(4)二、教材改編1y2sin的振幅、頻率和初相分別為()A2,4，B2，C2，D2,4，C由題意知A2，f，初相為.2為了得到函數(shù)y2sin的圖像，可以將函數(shù)y2sin 2x的圖像()A向右平移個單位長度B向右平移個單位長度C向左平移個單位長度D向左平移個單位長度Ay2sin2sin 2.3如圖，某地一天從614時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)yAsin(x)b，則這段曲線的函數(shù)解析式為_y10sin20，x6,14從圖中可以看出，從614時的是函數(shù)yAsin(x)b的半個周期所以A×(3010)10，b×(3010)20，又×146，所以.又×1022k，kZ，取，所以y10sin20，x6,144某地農(nóng)業(yè)監(jiān)測部門統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：該地區(qū)近幾年的生豬收購價格每四個月會重復(fù)出現(xiàn)下表是今年前四個月的統(tǒng)計情況：月份x1234收購價格y(元/斤)6765選用一個函數(shù)來近似描述收購價格(元/斤)與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系為_y6cosx設(shè)yAsin(x)B(A0，0)，由題意得A1，B6，T4，因為T，所以，所以ysin6.因為當(dāng)x1時，y6，所以6sin6，結(jié)合表中數(shù)據(jù)得2k，kZ，可取，所以ysin66cos x.(對應(yīng)學(xué)生用書第68頁)考點1函數(shù)yAsin(x)的圖像及變換(1)yAsin(x)的圖像可用“五點法”作簡圖得到，可通過變量代換zx計算五點坐標(biāo)(2)由函數(shù)ysin x的圖像通過變換得到y(tǒng)Asin(x)圖像有兩條途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”已知函數(shù)y2sin.(1)用“五點法”作出它在一個周期內(nèi)的圖像；(2)一題多解說明y2sin的圖像可由ysin x的圖像經(jīng)過怎樣的變換而得到解(1)描點畫出圖像，如圖所示：(2)法一：把ysin x的圖像上所有的點向左平移個單位長度，得到y(tǒng)sin的圖像；再把ysin的圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)sin的圖像；最后把ysin上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，即可得到y(tǒng)2sin的圖像法二：將ysin x的圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)sin 2x的圖像；再將ysin 2x的圖像向左平移個單位長度，得到y(tǒng)sinsin的圖像；再將ysin的圖像上所有點的縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，即得到y(tǒng)2sin的圖像三角函數(shù)圖像變換中的三個注意點(1)變換前后，函數(shù)的名稱要一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為同名函數(shù)；(2)要弄清變換的方向，即變換的是哪個函數(shù)的圖像，得到的是哪個函數(shù)的圖像，切不可弄錯方向；(3)要弄準變換量的大小，特別是平移變換中，函數(shù)yAsin x到y(tǒng)Asin(x)的變換量是|個單位，而函數(shù)yAsin x到y(tǒng)Asin(x)時，變換量是個單位1.要得到函數(shù)ysin的圖像，只需將函數(shù)ycos 5x的圖像()A向左平移個單位B向右平移個單位C向左平移個單位D向右平移個單位B函數(shù)ycos 5xsinsin 5，ysinsin 5，設(shè)平移個單位，則，解得，故把函數(shù)ycos 5x的圖像向右平移個單位，可得函數(shù)ysin的圖像2若把函數(shù)ysin的圖像向左平移個單位長度，所得到的圖像與函數(shù)ycos x的圖像重合，則的一個可能取值是()A2B.C.D.Aysin和函數(shù)ycos x的圖像重合，可得2k，kZ，則6k2，kZ.2是的一個可能值3將函數(shù)f(x)sin的圖像向左平移(0)個單位后，得到的圖像關(guān)于直線x對稱，則的最小值為_把函數(shù)f(x)sin的圖像向左平移(0)個單位后，可得ysinsin的圖像，所得圖像關(guān)于直線x對稱，4×4k(kZ)，(kZ)，0，min.考點2由圖像確定yAsin(x)的解析式確定yAsin(x)B(A0，0)的解析式的步驟(1)求A，B，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A，B.(2)求，確定函數(shù)的周期T，則.(3)求，常用方法有：代入法：把圖像上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖像的最高點或最低點代入五點法：確定值時，往往以尋找“五點法”中的特殊點作為突破口具體如下：“第一點”(即圖像上升時與x軸的交點)為x0；“第二點”(即圖像的“峰點”)為x；“第三點”(即圖像下降時與x軸的交點)為x；“第四點”(即圖像的“谷點”)為x；“第五點”(即圖像上升時與x軸的交點)為x2.(1)函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖像如圖所示，則f(x)_.(2)(2019·重慶六校聯(lián)考)函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖像如圖所示，則f_.(1)2sin(2)(1)由題圖可知，A2，T2，所以2，由五點作圖法可知2×，所以，所以函數(shù)的解析式為y2sin.(2)由函數(shù)的圖像可得A，×，可得2，則2×2k(kZ)，又0，所以，故f(x)sin，所以f.一般情況下，的值是唯一確定的，但的值是不確定的，如果求出的的值不在指定范圍內(nèi)，可以通過加減的整數(shù)倍達到目的在用“零點”求時，務(wù)必關(guān)注三角函數(shù)在該點附近的圖像變化趨勢1. (2019·開封模擬)如果存在正整數(shù)和實數(shù)使得函數(shù)f(x)sin2(x)的圖像如圖所示(圖像經(jīng)過點(1,0)，那么的值為()A1B2C3D4B因為f(x)sin2(x)cos 2(x)，所以函數(shù)f(x)的最小正周期T，由題圖知1，且1，即T2，又為正整數(shù)，所以的值為2，故選B.2. (2019·合肥模擬)函數(shù)f(x)Asin(x)的圖像如圖所示，則下列說法正確的是()A在區(qū)間上單調(diào)遞減B在區(qū)間上單調(diào)遞增C在區(qū)間上單調(diào)遞減D在區(qū)間上單調(diào)遞增B由題意得，A2，T4×，故2.當(dāng)x時取得最大值2，所以22sin，且|，所以，所以函數(shù)的解析式為f(x)2sin.當(dāng)x時，2x，又由正弦函數(shù)ysin x的圖像與性質(zhì)可知，函數(shù)ysin x在上單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增當(dāng)x時，2x，由函數(shù)ysin x的圖像與性質(zhì)知此區(qū)間上不單調(diào)，故選B.3.已知函數(shù)f(x)sin(x)的部分圖像如圖所示，且f(0)，則圖中m的值為_因為f(0)sin ，且|，所以，所以f(x)sin，所以f(m)sin，所以m2k，kZ，所以m2k，kZ.又周期T2，所以0m2，所以m.考點3三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用已知函數(shù)f(x)sin(0)的圖像與x軸相鄰兩個交點的距離為.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若將f(x)的圖像向左平移m(m0)個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖像恰好經(jīng)過點，求當(dāng)m取得最小值時，g(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間解(1)函數(shù)f(x)的圖像與x軸相鄰兩個交點的距離為，得函數(shù)f(x)的最小正周期為T2×，得1，故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)sin.(2)將f(x)的圖像向左平移m(m0)個單位長度得到函數(shù)g(x)sinsin的圖像，根據(jù)g(x)的圖像恰好經(jīng)過點，可得sin0，即sin0，所以2mk(kZ)，m(kZ)，因為m0，所以當(dāng)k0時，m取得最小值，且最小值為.此時，g(x)sin.因為x，所以2x.當(dāng)2x，即x時，g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)2x，即x時，g(x)單調(diào)遞增綜上，g(x)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間是和.研究yAsin(x)的性質(zhì)時可將x視為一個整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合思想進行解題1.(2019·全國卷)若x1，x2是函數(shù)f(x)sin x(0)兩個相鄰的極值點，則()A2B. C1D.A由題意及函數(shù)ysin x的圖像與性質(zhì)可知，T，T，2.故選A.2(2019·天津高考)已知函數(shù)f(x)Asin(x)(A0，0，|)是奇函數(shù)，將yf(x)的圖像上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為g(x)若g(x)的最小正周期為2，且g，則f()A2BC.D2Cf(x)Asin(x)為奇函數(shù)， k，kZ，又|，0，f(x)Asin x，則g(x)Asin.由g(x)的最小正周期T2，得1，2.又gAsin A，A2，f(x)2sin 2x，f2sin ，故選C.課外素養(yǎng)提升邏輯推理與數(shù)學(xué)運算三角函數(shù)中的確定方法(對應(yīng)學(xué)生用書第70頁)數(shù)學(xué)運算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，通過運算可促進學(xué)生思維的發(fā)展；而邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式運算和推理貫穿于探究數(shù)學(xué)問題的始終，可交替使用，相輔相成三角函數(shù)的周期T與的關(guān)系【例1】為了使函數(shù)ysin x(0)在區(qū)間0,1上至少出現(xiàn)50次最大值，則的最小值為()A98B.C.D100B由題意，至少出現(xiàn)50次最大值即至少需用49個周期，所以T·1，所以.評析解決此類問題的關(guān)鍵在于結(jié)合條件弄清周期T與所給區(qū)間的關(guān)系，從而建立不等關(guān)系三角函數(shù)的單調(diào)性與的關(guān)系【例2】一題多解若f(x)2sin x(0)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是_法一：因為x(0)，所以x，因為f(x)2sin x在上是增函數(shù)，所以故0.法二：畫出函數(shù)f(x)2sin x(0)的圖像如圖所示要使f(x)在上是增函數(shù)，需(0)，即0.法三：由2kx2k(kZ)得x(kZ)，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)，由題意(kZ，0)，從而有即0.評析根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，確定函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，根據(jù)函數(shù)f(x)2sin x(0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，建立不等式，即可求的取值范圍【例3】(1)已知f(x)sin xcos x，若函數(shù)f(x)圖像的任何一條對稱軸與x軸交點的橫坐標(biāo)都不屬于區(qū)間(，2)，則的取值范圍是_(結(jié)果用區(qū)間表示)(2)已知函數(shù)f(x)2sin x在區(qū)間上的最小值為2，則的取值范圍是_(1)(2) (1)f(x)sin xcos xsin，令xk(kZ)，解得x(kZ)當(dāng)k0時，即，當(dāng)k1時，2，即.綜上，.(2)顯然0，分兩種情況：若0，當(dāng)x時，x.因函數(shù)f(x)2sin x在區(qū)間上的最小值為2，所以，解得.若0，當(dāng)x時，x，因函數(shù)f(x)2sin x在區(qū)間上的最小值為2，所以，解得2.綜上所述，符合條件的實數(shù)2或.評析這類三角函數(shù)題除了需要熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的單調(diào)性外，還必須知曉一個周期里函數(shù)最值的變化，以及何時取到最值，函數(shù)取到最值的區(qū)間要求與題目給定的區(qū)間的關(guān)系如何.