第2 2課時圓與圓的位置關(guān)系1.了解兩個圓的位置關(guān)系有相離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含五種情況.2.會根據(jù)兩圓方程判斷兩圓的位置關(guān)系.3.能利用兩圓的位置關(guān)系解決相關(guān)問題.【做一做1】 圓A:x2+y2+4x+2y+1=0與圓B:x2+y2-2x-6y+1=0的位置關(guān)系是()A.相交B.相離C.相切D.內(nèi)含解析:圓A的圓心為(-2,-1),半徑為2;圓B的圓心為(1,3),半徑為3,兩圓心間的距離d=5=2+3,所以兩圓相切.答案:C【做一做2】 試判斷圓O1:x2+y2-2x=0和圓O2:x2+y2+4y=0的位置關(guān)系.解:將兩圓的方程分別配方得(x-1)2+y2=1和x2+(y+2)2=4,兩圓圓心分別為O1(1,0),O2(0,-2),半徑分別為r1=1,r2=2,|O1O2|=,又1=r2-r1 r1+r2=3,故兩圓相交.題型一題型二題型三題型四【例1】 已知圓C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0與圓C2:x2+y2+2x=0.(1)當(dāng)m=1時,判斷圓C1與圓C2的位置關(guān)系;(2)是否存在m使得圓C1與圓C2內(nèi)含?分析:(1)參數(shù)m的值已知,求解時可先找出圓心及半徑,再比較兩圓的圓心距d與r1+r2,|r1-r2|的大小關(guān)系.(2)假設(shè)存在m使得圓C1與圓C2內(nèi)含,則圓心距d|r1-r2|.題型一題型二題型三題型四解:(1)m=1,兩圓的方程分別可化為C1:(x-1)2+(y+2)2=9,C2:(x+1)2+y2=1.又r1+r2=3+1=4,r1-r2=3-1=2,r1-r2dr1+r2.圓C1與圓C2相交.(2)假設(shè)存在m使得圓C1與圓C2內(nèi)含,即(m+1)2r1+r2.圓C1與圓C2相離.題型一題型二題型三題型四分析:由所求圓和直線x+ y=0相切于點M可得到兩個條件:(1)圓心和點M的連線與切線垂直;(2)圓心到切線的距離等于圓的半徑.又由所求圓與圓x2+y2-2x=0外切可得兩圓圓心距與半徑之間的等式.考慮設(shè)出所求圓的方程,通過待定系數(shù)法求解.題型一題型二題型三題型四反思反思處理兩圓相切問題,首先必須準(zhǔn)確把握是內(nèi)切還是外切,若只是告訴兩圓相切,則必須分兩圓內(nèi)切和兩圓外切兩種情況討論;其次根據(jù)兩圓相切,列出兩圓的圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系式.題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練2】 已知圓O1:x2+y2-2x-4y-15=0和O2:x2+y2-4x-8y+15=0,求圓O1,O2的公切線方程.題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四【例3】 已知兩圓x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0.(1)試判斷兩圓的位置關(guān)系;(2)如果兩圓相交,求公共弦所在直線的方程;(3)如果兩圓相交,求公共弦的長度.題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四反思反思1.求圓的弦長,一般運用垂徑定理構(gòu)造直角三角形,利用半徑、弦心距求出半弦長,即得弦長.2.求兩圓的公共弦長及公共弦所在直線的方程一般常用如下方法.題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練3】 已知圓C1:x2+y2+2x+2y-2=0,圓C2:x2+y2-2ax-2by+a2-1=0,當(dāng)a,b變化時,圓C2始終平分圓C1的周長,求圓C2的面積最小時的方程.解:將兩圓方程相減,得到兩圓相交弦所在的直線方程,即2(1+a)x+2(1+b)y-a2-1=0,由于圓C2始終平分圓C1的周長,因此點C1一定在相交弦所在直線上,所以2(1+a)(-1)+2(1+b)(-1)-a2-1=0,題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四由整理得a2-4a+3=0,解得a=1或a=3;由整理得a2-4a+7=0,此方程無解.所以所求圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=1或(x-3)2+(y-1)2=1.綜上,所求圓的方程為(x-5)2+(y-1)2=1或(x+1)2+(y-1)2=1或(x-2- )2+(y+1)2=1或(x-2+ )2+(y+1)2=1或(x-1)2+(y-1)2=1或(x-3)2+(y-1)2=1.題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練4】 與圓(x-2)2+(y+1)2=4相切于點(4,-1),且半徑為1的圓的方程為()A.(x-5)2+(y+1)2=1B.(x-3)2+(y+1)2=1C.(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1D.(x+5)2+(y-1)2=1或(x+3)2+(y+1)2=1題型一題型二題型三題型四由,解得a=3,b=-1.故所求圓的方程為(x-3)2+(y+1)2=1.綜上所述,所求圓的方程為(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.故選C.答案:C1 2 3 4 51.圓C1:(x-1)2+(y-2)2=4與圓C2:(x+2)2+(y+2)2=9的位置關(guān)系是()A.相離B.外切C.相交D.內(nèi)切答案:B1 2 3 4 5答案:A 1 2 3 4 53.圓O1:x2+y2+4x-4y+7=0與圓O2:x2+y2-4x+10y+13=0的公切線的條數(shù)是()A.1B.2C.3D.4則dr1+r2,所以兩圓相離,因此它們有4條公切線.答案:D1 2 3 4 54.已知兩圓C1:x2+y2=10,C2:x2+y2-2x+2y-14=0,則兩圓的公共弦所在直線的方程為. 解析:兩圓的方程相減,可得公共弦所在直線的方程為x-y+2=0.答案:x-y+2=01 2 3 4 55.已知兩圓M:x2+y2=10和N:x2+y2+2x+2y-14=0.(1)求兩圓的公共弦所在直線的方程;(2)求過兩圓交點且圓心在x+2y-3=0上的圓的方程.故兩圓的交點為A(-1,3),B(3,-1),由直線方程的兩點式可得兩圓公共弦所在的直線方程為x+y-2=0.1 2 3 4 5