新編高考數學復習資料第十四節(jié)導數在研究函數中的應用(二) 基礎自測來源:1.函數f(x)的圖象如圖所示，則不等式(x3)·f(x)<0的解集為()A(1，)B(，3)C(，1)(1，)D(，3)(1,1)解析：由不等式(x3)f(x)<0得或觀察圖象可知，x<3或1<x<1.所以不等式的解集為(，3)(1,1)故選D. 答案：D2(2013·湖南師大附中月考)設函數f(x)定義在實數集上，它的圖象關于直線x1對稱，且當x1時，f(x)2xx，則有()Af f fBf f fCf f fDf f f解析：當x1時，f(x)2xln 212ln 21ln 410，故函數f(x)在1，)上單調遞增，由函數f(x)的圖象關于直線x1對稱，得fff，fff，因為，所以fff.正確選項為B.答案：B3 函數f(x)(x22x)ex的最小值為f(x0)，則x0_.解析： f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex，令f(x)0，得x±.當x(，)時，f(x)<0；當x(，)時，f(x)>0.所以當x時，函數有最小值答案：4 (2013·南寧聯考)已知函數f(x)x33axa在(0,1)內有最小值，則a的取值范圍是_解析：f(x)3x23a3(x2a)，顯然a0，f(x)3(x)(x)，由已知條件01，解得0a1.答案：(0,1)1(2012·浙江卷)設a>0，b>0，()A若2a2a2b3b，則a>bB若2a2a2b3b，則a<bC若2a2a2b3b，則a>bD若2a2a2b3b，則a<b解析：對于選項A，若2a2a2b3b，必有2a2a>2b2b.構造函數：f(x)2x2x，則f(x)2x·ln 22>0恒成立，故有函數f(x)2x2x在(0，)上單調遞增，即a>b成立其余選項用同樣方法排除故選A.答案：A2(2013·廣東卷)設函數f(x)(x1)exkx2(其中kR)(1) 當k1時，求函數f(x)的單調區(qū)間；(2) 當k時，求函數f(x)在0，k上的最大值M.解析：(1) 當k1時，f(x)(x1)exx2，f(x)ex(x1)ex2xxex2xx(ex2)，令f(x)0，得x10，x2ln 2，當x變化時，f(x)，f(x)的變化如下表：x(，0)0(0，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)來源:學§科§網0來源:0f(x)極大值極小值上表可知，函數f(x)的遞減區(qū)間為(0，ln 2)，遞增區(qū)間為(，0)，(ln 2，)(2)f(x)ex(x1)ex2kxxex2kxx(ex2k)，令f(x)0，得x10，x2ln (2k)，令g(k)ln (2k)k，則g(k)10，所以g(k)在上遞增，所以g(k)ln 21ln 2ln e0，從而ln (2k)k，所以ln (2k)0，k，所以當x(0，ln (2k)時，f(x)0；當x(ln (2k)，)時，f(x)0；所以Mmaxf(0)，f(k)max1，(k1)ekk3，令h(k)(k1)ekk31，則h(k)k(ek3k)，令(k)ek3k，則(k)ek3e30，所以(k)在上遞減，而 ·(1)·(e3)0，所以存在x0使得(x0)0，且當k時，(k)0，當k(x0,1)時，(k)0，所以(k)在上單調遞增，在(x0,1)上單調遞減因為h0，h(1)0，所以h(k)0在上恒成立，當且僅當k1時取得“”綜上，函數f(x)在0，k上的最大值M(k1)ekk3.來源: 答案：見解析 1(2012·廣東金山一中等三?？记皽y試)函數y在區(qū)間(0,1)上()A是減函數 B是增函數C有極小值 D有極大值解析：f(x)，當x(0,1)和x(1，e)時，f(x)<0；當xe時，f(x)0；當x(e，)時，f(x)>0.在區(qū)間(0,1)上，f(x)是減函數，當xe時，f(x)有極小值f(e)e. 故選A.答案：A2(2013·揭陽一模)已知函數f(x)ln x，g(x)f(x)ax2bx，函數g(x)的圖象在點(1，g(1)處的切線平行于x軸(1)確定a與b的關系；(2)試討論函數g(x)的單調性；(3)證明：對任意nN*，都有 成立 解析：(1)依題意得g(x)ln xax2bx，來源:則g(x)2axb，由函數g(x)的圖象在點(1，g(1)處的切線平行于x軸得：g(1)12ab0， b2a1. (2)由(1)得g(x)，函數g(x)的定義域為(0，)，當a0時，2ax10在(0，)上恒成立，由g(x)0得0x1，由g(x)0得x1，即函數g(x)在(0,1)上單調遞增，在(1，)單調遞減；當a0時，令g(x)0得x1或x，若1，即a時，由g(x)0得x1或0x，由g(x)0得x1，即函數g(x)在，(1，)上單調遞增，在單調遞減；來源:若1，即0 a時，由g(x)0得x或0x1，由g(x)0得1x，即函數g(x)在(0,1)，上單調遞增，在單調遞減；若1，即a時，在(0，)上恒有g(x)0，即函數g(x)在(0，)上單調遞增，綜上得：當a0時，函數g(x)在(0,1)上單調遞增，在(1，)單調遞減；當0a時，函數g(x)在(0,1)單調遞增，在單調遞減；在上單調遞增；當a時，函數g(x)在(0，)上單調遞增，當a時，函數g(x)在上單調遞增，在單調遞減；在(1，)上單調遞增證明：(3)由(2)知當a1時，函數g(x)ln xx23x在(1，)單調遞增，ln xx23xg(1)2，即ln xx23x2(x1)(x2)，來源:令x1，nN*，則ln，來源:ln ln ln ln，來源:ln n，i = 1即ln (1n) . 來源: 答案：見解析