專題11 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值(最值)、結(jié)合單調(diào)性與不等式的成立情況求參數(shù)范圍是高考命題的熱點(diǎn)。2常與基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解析幾何、不等式、方程等交匯命題，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想的應(yīng)用。3題型主要以解答題為主，屬中高檔題。熱點(diǎn)題型一 判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性例1、【2017課標(biāo)II，】若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的極小值為（ ）A. B. C. D.1【答案】A調(diào)遞減，所以的極小值為，故選A【變式探究】設(shè)a2,0，已知函數(shù)f(x)證明f(x)在區(qū)間(1,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，)內(nèi)單調(diào)遞增?！窘馕觥吭O(shè)函數(shù)f1(x)x3(a5)x(x0)，f2(x)x3x2ax(x0)。f1(x)3x2(a5)，由于a2,0，從而當(dāng)1x0時(shí)，f1(x)3x2(a5)3a50，所以函數(shù)f1(x)在區(qū)間(1,0內(nèi)單調(diào)遞減?！咎岱置丶繉?dǎo)數(shù)法證明函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的單調(diào)性的步驟(1)求f(x)；(2)確認(rèn)f(x)在(a，b)內(nèi)的符號(hào)；(3)作出結(jié)論：f(x)0時(shí)為增函數(shù)；f(x)0時(shí)為減函數(shù)?！九e一反三】 已知函數(shù)f(x)x2ex，試判斷f(x)的單調(diào)性并給予證明?！窘馕觥縡(x)x2ex，f(x)在R上單調(diào)遞減，f(x)2xex，只要證明f(x)0恒成立即可。設(shè)g(x)f(x)2xex，則g(x)2ex，當(dāng)xln2時(shí)，g(x)0，當(dāng)x(，ln2)時(shí)，g(x)>0，當(dāng)x(ln2，)時(shí)，g(x)<0。f(x)maxg(x)maxg(ln2)2ln22<0，f(x)<0恒成立，f(x)在R上單調(diào)遞減。熱點(diǎn)題型二 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2、【2017天津，】設(shè)，已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，為的導(dǎo)函數(shù).（）求的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)，函數(shù)，求證：；（）求證：存在大于0的常數(shù)，使得對(duì)于任意的正整數(shù)，且 滿足.【答案】（）增區(qū)間是， ，遞減區(qū)間是.（）見解析；（III）見解析.【解析】（）解：由，可得，進(jìn)而可得.令，解得，或.，故當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增.因此，當(dāng)時(shí)， ，可得.令函數(shù)，則.由（）知， 在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減.因此，當(dāng)時(shí)， ，可得.所以， .（III）證明：對(duì)于任意的正整數(shù)，且，令，函數(shù).【變式探究】已知函數(shù)f(x)x3x2ax1(aR)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間?！窘馕觥縡(x)x22xa， 二次方程x22xa0的判別式44a4(1a)，若a1，則0，f(x)x22xa0，f(x)在R上單調(diào)遞增。若a1，則0，方程x22xa0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，x11，x21，當(dāng)xx1或xx2時(shí)，f(x)0；當(dāng)x1xx2時(shí)，f(x)0，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，1)和(1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，1)?！咎岱置丶?求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的“兩個(gè)方法”方法一(1)確定函數(shù)yf(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)yf(x)；(3)解不等式f(x)0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；(4)解不等式f(x)0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間。方法二(1)確定函數(shù)yf(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)yf(x)，令f(x)0，解此方程，求出在定義區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根；(3)把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)(即f(x)的無定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間；(4)確定f(x)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)符號(hào)判定函數(shù)在每個(gè)相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性?！九e一反三】 設(shè)f(x)a(x5)26lnx，其中aR，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線與y軸相交于點(diǎn)(0,6)。(1)確定a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值。16a8a6，故a。(2)由(1)知，f(x)(x5)26lnx(x0)，f(x)x5。令f(x)0，解得x12，x23。當(dāng)0x2或x3時(shí)，f(x)0，故f(x)在(0,2)，(3，)上為增函數(shù)；當(dāng)2x3時(shí)，f(x)0，故f(x)在(2,3)上為減函數(shù)。由此可知f(x)在x2處取得極大值f(2)6ln2，在x3處取得極小值f(3)26ln3。熱點(diǎn)題型三 已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍 例3【2017課標(biāo)1，】已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）的定義域?yàn)椋?，（）若，則，所以在單調(diào)遞減.（）若，則由得.當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，所以在單【變式探究】函數(shù)f(x)ax33x23x(a0)。(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)，求a的取值范圍?！窘馕觥?1)f(x)3ax26x3，f(x)0的判別式36(1a)。若a1，則f(x)0，且f(x)0當(dāng)且僅當(dāng)a1，x1。故此時(shí)f(x)在R上是增函數(shù)。由于a0，故當(dāng)a1時(shí)，f(x)0有兩個(gè)根；x1，x2。若0a1，則當(dāng)x(，x2)或x(x1，)時(shí)f(x)0，故f(x)分別在(，x2)，(x1，)是增函數(shù)；數(shù)；當(dāng)x(x1，x2)時(shí)f(x)0，故f(x)在(x1，x2)是增函數(shù)。(2)當(dāng)a0，x0時(shí)，f(x)3ax26x30，故當(dāng)a0時(shí)，f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)。當(dāng)a0時(shí)，f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f(1)0且f(2)0，解得a0。綜上，a的取值范圍是(0，)。 【提分秘籍】已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)范圍的兩個(gè)方法(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：yf(x)在(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集。(2)轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題來求解：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則f(x)0；若函數(shù)單調(diào)遞減，則f(x)0”。提醒：f(x)為增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f(x)0。應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略，否則漏解?！九e一反三】 已知函數(shù)f(x)x3mx23m2x1，mR。(1)當(dāng)m1時(shí)，求曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程；(2)若f(x)在區(qū)間(2,3)上是減函數(shù)，求m的取值范圍?！窘馕觥?1)當(dāng)m1時(shí)，f(x)x3x23x1，又f(x)x22x3，所以f(2)5。又f(2)，熱點(diǎn)題型四 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值例4、【2017山東】已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）令，討論的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時(shí)求出極值.【答案】（1） （2）見解析【解析】（）由題意又，所以，因此 曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即 .（）由題意得 ，因?yàn)?，令則由 得 ， 當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增.所以 當(dāng)時(shí)取得極大值.極大值為，當(dāng)時(shí)取到極小值，極小值是 ；當(dāng)時(shí)， ，數(shù)有極大值，也有極小值，極大值是極小值是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值， 極大值是；極小值是.【變式探究】已知函數(shù)f(x)x1(aR，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))。(1)若曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線平行于x軸，求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值?！咎岱置丶壳蠛瘮?shù)f(x)極值的步驟(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f(x)；(3)解方程f(x)0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢驗(yàn)f(x)在f(x)0的根x0左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在x0處取極大值，如果左負(fù)右正，那么f(x)在x0處取極小值?！九e一反三】 設(shè)f(x)2x3ax2bx1的導(dǎo)數(shù)為f(x)，若函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，且f(1)0。(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值。熱點(diǎn)題型五 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值例5、已知函數(shù)f(x)lnxax(aR)。(1)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a0時(shí)，求函數(shù)f(x)在1,2上的最小值。【解析】(1)f(x)a(x0)，當(dāng)a0時(shí)，f(x)a0，即函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，)。當(dāng)a0時(shí)，令f(x)a0，可得x，當(dāng)0x時(shí)，f(x)0；當(dāng)x時(shí)，f(x)0，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為。(2)由(1)知，當(dāng)1，即a1時(shí)，【提分秘籍】求函數(shù)f(x)在a，b上的最大值和最小值的步驟(1)求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b)；(3)將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值?！九e一反三】 設(shè)函數(shù)f(x)alnxbx2(x0)，若函數(shù)f(x)在x1處與直線y相切。(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)求函數(shù)f(x)在上的最大值。【解析】(1)f(x)2bx， 函數(shù)f(x)在x1處與直線y相切，解得熱點(diǎn)題型六 函數(shù)極值與最值的綜合問題 例6、【2017江蘇】 已知函數(shù)有極值,且導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn).（極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值） （1）求關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域； （2）證明：; （3）若,這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于，求的取值范圍.【答案】（1），定義域?yàn)?（2）見解析（3）.【解析】（1）由，得.當(dāng)時(shí)， 有極小值.因?yàn)榈臉O值點(diǎn)是的零點(diǎn).所以，又，故.因?yàn)橛袠O值，故有實(shí)根，從而，即.時(shí)， ，故在R上是增函數(shù)， 沒有極值；時(shí)， 有兩個(gè)相異的實(shí)根， .列表如下x+00+極大值極小值（3）由（1）知， 的極值點(diǎn)是，且， .從而記， 所有極值之和為，因?yàn)榈臉O值為，所以， .因?yàn)椋谑窃谏蠁握{(diào)遞減.因?yàn)?，于是，?因此a的取值范圍為.【提分秘籍】求一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值和在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值時(shí)，方法是不同的。求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過單調(diào)性和極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值。【舉一反三】 已知函數(shù)f(x)(4x24axa2)，其中a0。(1)當(dāng)a4時(shí)，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若f(x)在區(qū)間1,4上的最小值為8，求a的值?！窘馕觥?1)當(dāng)a4時(shí)，由f(x)0得x或x2，由f(x)0得x或x(2，當(dāng)14時(shí)，即8a2時(shí)，f(x)在1,4上的最小值為f0，不符合題意。當(dāng)4時(shí)，即a8時(shí)，f(x)在1,4上的最小值可能在x1或x4處取得，而f(1)8，由f(4)2(6416aa2)8得a10或a6(舍去)，當(dāng)a10時(shí)，f(x)在(1,4)單調(diào)遞減，f(x)在1,4上的最小值為f(4)8，符合題意。綜上有，a10。熱點(diǎn)題型七 利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題例7、某村莊擬修建一個(gè)無蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度)。設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米。假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建筑成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000元(為圓周率)。(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大?！窘馕觥?1)因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為100×2rh200rh元，底面的總成本為160r2元，所以蓄水由此可知，V(r)在r5處取得最大值，此時(shí)h8，即當(dāng)r5，h8時(shí)，該蓄水池的體積最大?！咎岱置丶坷脤?dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的四個(gè)步驟(1)分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)。(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)，解方程f(x)0。(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和f(x)0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值。(4)回歸實(shí)際問題作答?！九e一反三】 請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒。如圖所示，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒。E、F在AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)。設(shè)AEFBx(cm)。(1)若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問x應(yīng)取何值？(2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值。熱點(diǎn)題型八 利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題例8、設(shè)函數(shù)f(x)x2exxex。(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng)x2,2時(shí)，不等式f(x)m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍?！窘馕觥?1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，)，因?yàn)閒(x)xex(exxex)x(1ex)，由f(x)x(1ex)0得x0，f(x)0得x0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，0)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，)。(2)由(1)知，f(x)在0,2上單調(diào)遞減，在2,0)上單調(diào)遞增，又f(2)2，f(2)2e2，且22e2，所以x2,2時(shí)，f(x)min2e2，故m2e2時(shí)，不等式f(x)m恒成立。【提分秘籍】利用導(dǎo)數(shù)解決參數(shù)問題主要涉及以下方面(1)已知不等式在某一區(qū)間上恒成立，求參數(shù)的取值范圍：一般先分離參數(shù)，再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題求解。(2)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍：轉(zhuǎn)化為f(x)0(或f(x)0)恒成立的問題。(3)已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍：利用函數(shù)的單調(diào)性、極值畫出函數(shù)的大致圖象，數(shù)形結(jié)合求解?！九e一反三】 設(shè)函數(shù)f(x)tx22t2xt1(xR，t0)。(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)2tm對(duì)t(0,2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍?！窘馕觥?1)f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)，當(dāng)xt時(shí)，f(x)取最小值f(t)t3t1，熱點(diǎn)題型九 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題例9、已知函數(shù)f(x)axex(a0)。(1)若a，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)1a1e時(shí)，求證：f(x)x。【解析】(1)當(dāng)a時(shí)，f(x)xex。f(x)ex，令f(x)0，得xln2。當(dāng)xln2時(shí)，f(x)0；當(dāng)xln2時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，ln2)，單調(diào)遞減區(qū)間為(ln2，)。 (2)證明：法一：令F(x)xf(x)ex(a1)x，()當(dāng)a1時(shí)，F(xiàn)(x)ex0，f(x)x成立。()當(dāng)1a1e時(shí)，F(xiàn)(x)ex(a1)exeln(a1)，當(dāng)xln(a1)時(shí)，F(xiàn)(x)0；當(dāng)xln(a1)時(shí)，F(xiàn)(x)0，F(xiàn)(x)在(，ln(a1)上單調(diào)遞減，F(xiàn)(x)0，即f(x)x成立。綜上，當(dāng)1a1e時(shí)，有f(x)x。【提分秘籍】利用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式f(x)g(x)在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)g(x)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h(x)0，其中一個(gè)重要技巧就是找到函數(shù)h(x)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的一個(gè)突破口?！九e一反三】 已知函數(shù)f(x)x2ax3(a0)，函數(shù)g(x)f(x)ex(x1)，函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)為g(x)。(1)求函數(shù)f(x)的極值；(2)若ae。求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；求證：x0時(shí)，不等式g(x)1lnx恒成立。x(1，)時(shí)，h(x)0，h(x)是增函數(shù)，h(x)h(1)10，則在(0，)上，g(x)0；在(，0)上，g(x)0，函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，)， 1.【2017浙江，7】函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)y=f(x)的圖像可能是【答案】D【解析】原函數(shù)先減再增，再減再增，且由增變減時(shí)，極值點(diǎn)大于0，因此選D【考點(diǎn)】 導(dǎo)函數(shù)的圖象2.【2017課標(biāo)1，文14】曲線在點(diǎn)（1，2）處的切線方程為_【答案】【解析】設(shè)，則，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)幾何意義3.【2017課標(biāo)1，文21】已知函數(shù)=ex(exa)a2x（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求a的取值范圍【答案】（1）當(dāng)，在單調(diào)遞增；當(dāng)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)應(yīng)用4.【2017課標(biāo)II，文21】設(shè)函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.【答案】（）在 和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（） f(x)<0所以f(x)在（-，-1-），（-1+，+）單調(diào)遞減，在（-1-，-1+）單調(diào)遞增(2) f (x)=(1+x)（1-x）ex當(dāng)a1時(shí)，設(shè)函數(shù)h(x)=（1-x）ex，h(x)= -xex0（x0），因此h(x)在0，+)單調(diào)遞減，而h(0)=1，故h(x)1，所以f(x)=（x+1）h(x)x+1ax+1當(dāng)0a1時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）=ex-x-1，g（x）=ex-10（x0），所以g（x）在在0，+)單調(diào)遞增，而g(0)=0，故exx+1當(dāng)0x1，取則當(dāng) 綜上，a的取值范圍1，+）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立5.【2017課標(biāo)3，文21】已知函數(shù)=lnx+ax2+(2a+1)x（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)a0時(shí)，證明【答案】（1）當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）詳見解析在單調(diào)遞減.（2）由（1）知，當(dāng)a0時(shí)，f（x）在取得最大值，最大值為.所以等價(jià)于，即.設(shè)g（x）=lnx-x+1，則.當(dāng)x（0,1）時(shí)， ；當(dāng)x（1，+）時(shí)， .所以g（x）在（0,1）單調(diào)遞增，在（1，+）單調(diào)遞減.故當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得最大值，最大值為g（1）=0.所以當(dāng)x0時(shí)，g（x）0.從而當(dāng)a0時(shí)， ，即.【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)證不等式6.【2017山東，文20】（本小題滿分13分）已知函數(shù).,(I)當(dāng)a=2時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(II)設(shè)函數(shù),討論的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時(shí)求出極值.【答案】(I),（2）(II)無極值；極大值為,極小值為；極大值為,極小值為.令，則，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .（1）當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ， ， 單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， ， ， 單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， ， ， 單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)取到極大值，極大值是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是，極小值是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是，極小值是.【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用7.【2017北京，文20】已知函數(shù)（）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值【答案】()；（）最大值1；最小值. 【考點(diǎn)】1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.8.【2017江蘇，20】 已知函數(shù)有極值,且導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn).（極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值） （1）求關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域； （2）證明：; （3）若,這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于，求的取值范圍.【答案】（1），定義域?yàn)?（2）見解析（3）.【解析】（1）由，得.x+00+極大值極小值故的極值點(diǎn)是.從而，因此，定義域?yàn)?（2）由（1）知， .設(shè)，則.當(dāng)時(shí)， ，從而在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋?，故，?因此.【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值及零點(diǎn)1.【2016高考江蘇卷】（本小題滿分16分）已知函數(shù).設(shè).（1）求方程的根;（2）若對(duì)任意,不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；（3）若，函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求的值?！敬鸢浮浚?）0 4（2）1【解析】（1）因?yàn)椋?方程，即，亦即，所以，于是，解得.由條件知.因?yàn)閷?duì)于恒成立，且，所以對(duì)于恒成立.而，且，若，則，于是，又，且函數(shù)在以和為端點(diǎn)的閉區(qū)間上的圖象不間斷，所以在和之間存在的零點(diǎn)，記為. 因?yàn)?，所以，又，所以與“0是函數(shù)的唯一零點(diǎn)”矛盾.若，同理可得，在和之間存在的非0的零點(diǎn)，矛盾.因此，.于是，故，所以.2.【2016高考天津理數(shù)】（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù),，其中(I)求的單調(diào)區(qū)間；(II) 若存在極值點(diǎn)，且，其中，求證：；（）設(shè)，函數(shù)，求證：在區(qū)間上的最大值不小于.【答案】（）詳見解析（）詳見解析（）詳見解析【解析】00單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.（）證明：因?yàn)榇嬖跇O值點(diǎn)，所以由（）知，且，由題意，得，即，進(jìn)而.又，所以.（2）當(dāng)時(shí)，由（）和（）知， 所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此3.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】設(shè)函數(shù)，其中，記的最大值為（）求；（）求；（）證明【答案】（）；（）；（）見解析【解析】（）. （）當(dāng)時(shí)，時(shí)，取得極小值，極小值為令，解得（舍去），（）當(dāng)時(shí)，在內(nèi)無極值點(diǎn)，所以（）當(dāng)時(shí)，由，知又，所以綜上， （）由（）得.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，所以.當(dāng)時(shí)，所以. 4【2016高考浙江理數(shù)】（本小題15分）已知，函數(shù)F（x）=min2|x1|，x22ax+4a2，其中minp，q= （I）求使得等式F（x）=x22ax+4a2成立的x的取值范圍；（II）（i）求F（x）的最小值m（a）；（ii）求F（x）在區(qū)間0,6上的最大值M（a）.【答案】（I）；（II）（i）；（ii）5.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】()討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時(shí)，； ()證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值.設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域【答案】（）詳見解析；（）.【解析】（）的定義域?yàn)?因此在處取得最小值，最小值為于是，由單調(diào)遞增所以，由得因?yàn)閱握{(diào)遞增，對(duì)任意存在唯一的使得所以的值域是綜上，當(dāng)時(shí)，有，的值域是 6.【2016年高考北京理數(shù)】（本小題13分）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，（1）求，的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間.【答案】（），；（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為.【解析】（1）根據(jù)題意求出，根據(jù)，求，的值；（2）由題意知判斷，即判斷的單調(diào)性，知，即，由此求得的單調(diào)區(qū)間.【2015高考新課標(biāo)2，理12】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則使得成立的的取值范圍是（ ）A BC D【答案】A【解析】記函數(shù)，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減；又因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，故函數(shù)是偶函數(shù)，所以在單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則，綜上所述，使得成立的的取值范圍是，故選A【2015高考新課標(biāo)1，理12】設(shè)函數(shù)=,其中a1，若存在唯一的整數(shù)，使得0，則的取值范圍是（ ）(A)-，1） (B)-，） (C)，） (D)，1）【答案】D【2015高考新課標(biāo)2，理21】（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)()證明：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（）若對(duì)于任意，都有，求的取值范圍【答案】()詳見解析；（）【解析】()若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（）由()知，對(duì)任意的，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在處取得【2015江蘇高考，17】（本小題滿分14分）某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為，山區(qū)邊界曲線為C，計(jì)劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測得點(diǎn)M到的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)N到的距離分別為20千米和2.5千米，以所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，假設(shè)曲線C符合函數(shù) （其中a，b為常數(shù)）模型. （1）求a，b的值；（2）設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t.請(qǐng)寫出公路l長度的函數(shù)解析式，并寫出其定義域；當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長度最短？求出最短長度.【答案】（1）（2）定義域?yàn)椋住窘馕觥抗?，設(shè)，則令，解得當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)從而，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，也是最小值，所以，此時(shí)答：當(dāng)時(shí)，公路的長度最短，最短長度為千米（2014·四川卷）已知函數(shù)f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)g(x)在區(qū)間0，1上的最小值；(2)若f(1)0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)有零點(diǎn)，求a的取值范圍【解析】解：(1)由f(x)exax2bx1，得g(x)f(x)ex2axb.所以g(x)ex2a.當(dāng)x0，1時(shí)，g(x)12a，e2a當(dāng)a時(shí)，g(x)0，所以g(x)在0，1上單調(diào)遞增，因此g(x)在0，1上的最小值是g(0)1b；當(dāng)a時(shí)，g(x)0，所以g(x)在0，1上單調(diào)遞減，因此g(x)在0，1上的最小值是g(1)e2ab；當(dāng)<a<時(shí)，令g(x)0，得xln(2a)(0，1)，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間0，ln(2a)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(ln(2a)，1上單調(diào)遞增，故g(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)由(1)知，當(dāng)a時(shí)，g(x)在0，1上單調(diào)遞增，故g(x)在(0，1)內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a時(shí)，g(x)在0，1上單調(diào)遞減，故g(x)在(0，1)內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，都不合題意所以<a<.此時(shí)g(x)在區(qū)間0，ln(2a)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(ln(2a)，1上單調(diào)遞增因此x1(0，ln(2a)，x2(ln(2a)，1)，必有g(shù)(0)1b>0，g(1)e2ab>0.（2014·安徽卷）設(shè)函數(shù)f(x)1(1a)xx2x3，其中a0.(1)討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性；(2)當(dāng)x0，1時(shí) ，求f(x)取得最大值和最小值時(shí)的x的值【解析】解： (1)f(x)的定義域?yàn)?，)，f(x)1a2x3x2.令f(x)0，得x1，x2，x1<x2，所以f(x)3(xx1)(xx2)當(dāng)x<x1或x>x2時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x1<x<x2時(shí)，f(x)>0.故f(x)在和 內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增(2)因?yàn)閍>0，所以x1<0，x2>0，當(dāng)a4時(shí)，x21.由(1)知，f(x)在0，1上單調(diào)遞增，（2014·北京卷）已知函數(shù)f(x)xcos xsin x，x.(1)求證：f(x)0；(2)若a<<b對(duì)x恒成立，求a的最大值與b的最小值【解析】解：(1)證明：由f(x)xcos xsin x得f(x)cos xxsin xcos xxsin x.因?yàn)樵趨^(qū)間上f(x)xsin x<0，所以f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減從而f(x)f(0)0.(2)當(dāng)x>0時(shí)，“>a”等價(jià)于“sin xax>0”，“<b”等價(jià)于“sin xbx<0”令g(x)sin xcx，則g(x)cos xc.當(dāng)c0時(shí)，g(x)>0對(duì)任意x恒成立當(dāng)c1時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意x，g(x)cos xc<0，所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而g(x)<g(0)0對(duì)任意x恒成立當(dāng)0<c<1時(shí)，存在唯一的x0使得g(x0)cos x0c0.g(x)與g(x)在區(qū)間上的情況如下：x(0，x0)x0g(x)0g(x)因?yàn)間(x)在區(qū)間(0，x0)上是增函數(shù)，所以g(x0)>g(0)0.進(jìn)一步，“g(x)>0對(duì)任意x恒成立”當(dāng)且僅當(dāng)g1c0，即0<c.綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)c時(shí)，g(x)>0對(duì)任意x恒成立；當(dāng)且僅當(dāng)c1時(shí)，g(x)<0對(duì)任意x恒成立所以，若a<<b對(duì)任意x恒成立，則a的最大值為，b的最小值為1.（2014·福建卷）已知函數(shù)f(x)exax(a為常數(shù))的圖像與y軸交于點(diǎn)A，曲線yf(x)在點(diǎn)A處的切線斜率為1.(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值；(2)證明：當(dāng)x>0時(shí)，x2<ex；(3)證明：對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當(dāng)x(x0，)時(shí)，恒有x2<cex.由(1)得，g(x)f(x)f(ln 2)2ln 4>0，故g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(0)1>0，所以當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>g(0)>0，即x2<ex.(3)證明：若c1，則excex.又由(2)知，當(dāng)x>0時(shí)，x2<ex.故當(dāng)x>0時(shí)，x2<cex.取x00，當(dāng)x(x0，)時(shí)，恒有x2<cex.若0<c<1，令k>1，要使不等式x2<cex成立，只要ex>kx2成立而要使ex>kx2成立，則只要x>ln(kx2)，只要x>2ln xln k成立令h(x)x2ln xln k，則h(x)1.方法三：(1)同方法一(2)同方法一(3)首先證明當(dāng)x(0，)時(shí)，恒有x3<ex.證明如下：令h(x)x3ex，則h(x)x2ex.由(2)知，當(dāng)x>0時(shí)，x2<ex，從而h(x)<0，h(x)在(0，)上單調(diào)遞減，所以h(x)<h(0)1<0，即x3<ex.取x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有x2<x3<ex.因此，對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在x0，當(dāng)x(x0，)時(shí)，恒有x2<cex.（2014·湖北卷）為圓周率，e2.718 28為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求e3，3e，e，e，3，3這6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)；(3)將e3，3e，e，e，3，3這6個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列，并證明你的結(jié)論【解析】解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)因?yàn)閒(x)，所以f(x).當(dāng)f(x)>0，即0<x<e時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)f(x)<0，即x>e時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減即<.在上式中，令x，又<e，則ln<，從而2ln <，即得ln >2.由得，eln >e>2.7×>2.7×(20.88)3.024>3，即eln >3，亦即ln e>ln e3，所以e3<e.又由得，3ln >6>6e>，即3ln >，所以e<3. 綜上可得，3e<e3<e<e<3<3，即這6個(gè)數(shù)從小到大的順序?yàn)?e，e3，e，e，3，3.（2014·湖南卷）已知常數(shù)a0，函數(shù)f(x)ln(1ax).(1)討論f(x)在區(qū)間(0，)上的單調(diào)性；(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且f(x1)f(x2)0，求a的取值范圍(2)由(*)式知，當(dāng)a1時(shí)，f(x)0，此時(shí)f(x)不存在極值點(diǎn)，因而要使得f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，必有0<a<1.又f(x)的極值點(diǎn)只可能是x12和x22，且由f(x)的定義可知，x>且x2，所以2>，22，解得a.此時(shí)，由(*)式易知，x1，x2分別是f(x)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)而f(x1)f(x2)ln(1ax1)ln(1ax2)ln1a(x1x2)a2x1x2ln(2a1)2ln(2a1)22.令2a1x.由0<a<1且a知，當(dāng)0<a<時(shí)，1<x<0；當(dāng)<a<1時(shí)，0<x1.（2014·江西卷）已知函數(shù)f(x)(x2bxb)(bR)(1)當(dāng)b4時(shí)，求f(x)的極值；(2)若f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求b的取值范圍【解析】解：(1)當(dāng)b4時(shí)，f(x)，由f(x)0，得x2或x0.所以當(dāng)x(，2)時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(2，0)時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，故f(x)在x2處取得極小值f(2)0，在x0處取得極大值f(0)4.(2)f(x)，易知當(dāng)x時(shí)，<0，依題意當(dāng)x時(shí)，有5x(3b2)0，從而(3b2)0，得b.所以b的取值范圍為. （2014·遼寧卷）當(dāng)x2，1時(shí)，不等式ax3x24x30恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A5，3 B. C6，2 D4，3【答案】C【解析】當(dāng)2x<0時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為a，令f(x)(2x<0)，則f(x)，故f(x)在2，1上單調(diào)遞減，在(1，0)上單調(diào)遞增，此時(shí)有a2.當(dāng)x0時(shí)，g(x)恒成立當(dāng)0<x1時(shí)，a，令個(gè)g(x)(0<x1)，則g(x)，故g(x)在(0，1上單調(diào)遞增，此時(shí)有a6.綜上，6a2.（2014·全國卷）函數(shù)f(x)ln(x1)(a>1)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)a11，an1ln(an1)，證明：<an.當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)>f(0)0，即ln(x1)>(x>0)又由(1)知，當(dāng)a3時(shí)，f(x)在0，3)是減函數(shù)當(dāng)x(0，3)時(shí)，f(x)<f(0)0，即ln(x1)<(0<x<3)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明<an.(i)當(dāng)n1時(shí)，由已知<a11，故結(jié)論成立(ii)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)結(jié)論成立，即<ak.（2014·新課標(biāo)全國卷）已知函數(shù)f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0>0，則a的取值范圍是()A(2，) B(1，)C(，2) D(，1)【答案】C【解析】當(dāng)a0時(shí)，f(x)3x21，存在兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，故a0.由f(x)3ax26x0，得x0或x. 若a<0，則函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)為x0，且f(x)極大值f(0)1，極小值點(diǎn)為x，且f(x)極小值f，此時(shí)只需>0，即可解得a<2；若a>0，則f(x)極大值f(0)1>0，此時(shí)函數(shù)f(x)一定存在小于零的零點(diǎn)，不符合題意綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，2)（2014·新課標(biāo)全國卷）設(shè)函數(shù)f(x)aexln x，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為ye(x1)2.(1)求a，b；(2)證明：f(x)>1.【解析】解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)aexln xexex1ex1.由題意可得f(1)2，f(1)e，故a1，b2.(2)證明：由(1)知，f(x)exln xex1，從而f(x)>1等價(jià)于xln x>xex.設(shè)函數(shù)g(x)xln x，則g(x)1ln x，所以當(dāng)x時(shí)，g(x)<0；當(dāng)x時(shí)，g(x)>0.故g(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而g(x)在(0，)上的最小值為g.（2014·新課標(biāo)全國卷）已知函數(shù)f(x)exex2x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)g(x)f(2x)4bf(x)，當(dāng)x0時(shí)，g(x)0，求b的最大值；(3)已知1.414 21.414 3，估計(jì)ln 2的近似值(精確到0.001)【解析】解：(1)f(x)exex20，當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)，等號(hào)成立，所以f(x)在(，)上單調(diào)遞增(2)g(x)f(2x)4bf(x)e2xe2x4b(exex)(8b4)x，g(x)2e2xe2x2b(exex)(4b2) 2(exex2)(exex2b2)(i)當(dāng)b2時(shí)，g(x)0，等號(hào)僅當(dāng)x0時(shí)成立，所以g(x)在(，)上單調(diào)遞增而g(0)0，所以對(duì)任意x>0，g(x)>0.(ii)當(dāng)b>2時(shí)，若x滿足2<exex<2b2，即0<x<ln(b1)時(shí)，g(x)<0.而g(0)0，因此當(dāng)0<x<ln(b1)時(shí)，g(x)<0.綜上，b的最大值為2.(3)由(2)知，g(ln)2b2(2b1)ln 2.當(dāng)b2時(shí)，g(ln)46ln 2>0，ln 2>>0.692 8；當(dāng)b1時(shí)，ln(b1)ln，g(ln)2(32)ln 2<0，ln 2<<0.693 4.所以ln 2的近似值為0.693.（2014·山東卷）設(shè)函數(shù)f(x)k(k為常數(shù)，e2.718 28是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)當(dāng)k0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在(0，2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求k的取值范圍【解析】解：(1)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)k.所以函數(shù)yg(x)的最小值為g(ln k)k(1ln k)函數(shù)f(x)在(0，2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)解得e<k<.綜上所述，函數(shù)f(x)在(0，2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍為.（2014·陜西卷）設(shè)函數(shù)f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)(1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN，求gn(x)的表達(dá)式；(2)若f(x)ag(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)設(shè)nN，比較g(1)g(2)g(n)與nf(n)的大小，并加以證明由可知，結(jié)論對(duì)nN成立(2)已知f(x)ag(x)恒成立，即ln(1x)恒成立設(shè)(x)ln(1x)(x0)，則(x)，當(dāng)a1時(shí)，(x)0(僅當(dāng)x0，a1時(shí)等號(hào)成立)，(x)在0，)上單調(diào)遞增，又(0)0，證明如下：方法一：上述不等式等價(jià)于<ln(n1)，在(2)中取a1，可得ln(1x)>，x>0.令x，nN，則<ln.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n1時(shí)，<ln 2，結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)結(jié)論成立，即<ln(k1)那么，當(dāng)nk1時(shí)，<ln(k1)<ln(k1)lnln(k2)，即結(jié)論成立由可知，結(jié)論對(duì)nN成立方法二：上述不等式等價(jià)于<ln(n1)，在(2)中取a1，可得ln(1x)>，x>0.令x，nN，則ln>.故有l(wèi)n 2ln 1>，ln 3ln 2>，ln(n1)ln n>，上述各式相加可得ln(n1)>，（2014·天津卷）設(shè)f(x)xaex(aR)，xR.已知函數(shù)yf(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，且x1<x2.(1)求a的取值范圍； (2)證明：隨著a的減小而增大； (3)證明：x1x2隨著a的減小而增大【解析】解：(1)由f(x)xaex，可得f(x)1aex.下面分兩種情況討論：(i)a0時(shí)，f(x)>0在R上恒成立，可得f(x)在R上單調(diào)遞增，不合題意 (ii)a>0時(shí)，由f(x)0，得xln a. 當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，ln a)ln a(ln a，)f(x)0f(x)ln a1這時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，ln a)；單調(diào)遞減區(qū)間是(ln a，)于是，“函數(shù)yf(x)有兩個(gè)零點(diǎn)”等價(jià)于如下條件同時(shí)成立：f(ln a)>0；存在s1(，ln a)，滿足f(s1)<0；存在s2(ln a，)，滿足f(s2)<0.由f(ln a)>0，即ln a1>0，解得0<a<e1.而此時(shí)，取s10，滿足s1(，ln a)，且f(s1)a<0；取s2ln，滿足s2(ln a，)，且f(s2)<0.故a的取值范圍是(0，e1)(2)證明：由f(x)xaex0，有a.設(shè)g(x)，由g(x)，知g(x)在(，1)上單調(diào)遞增，在(1，令h(x)，x(1，)，則h(x).令u(x)2ln xx，得u(x).當(dāng)x(1，)時(shí)，u(x)>0.因此，u(x)在(1，)上單調(diào)遞增，故對(duì)于任意的x(1，)，u(x)>u(1)0，由此可得h(x)>0，故h(x)在(1，)上單調(diào)遞增因此，由可得x1x2隨著t的增大而增大而由(2)，t隨著a的減小而增大，所以x1x2隨著a的減小而增大（2014·浙江卷）已知函數(shù)f(x)x33|xa|(aR)(1)若f(x)在1，1上的最大值和最小值分別記為M(a)，m(a)，求M(a)m(a)；(2)設(shè)bR，若f(x)b24對(duì)x1，1恒成立，求3ab的取值范圍【解析】解：(1)因?yàn)閒(x)所以f(x)由于1x1，(i)當(dāng)a1時(shí)，有xa，m(a)a33a2.(iii)當(dāng)a1時(shí)，有xa，故f(x)x33x3a，此時(shí)f(x)在(1，1)上是減函數(shù)，因此，M(a)f(1)23a，m(a)f(1)23a，故M(a)m(a)(23a)(23a)4.綜上，M(a)m(a)(2)令h(x)f(x)b，則h(x)h(x)因?yàn)閒(x)b24對(duì)x1，1恒成立，即2h(x)2對(duì)x1，1恒成立，所以由(1)知，(i)當(dāng)a1時(shí)，h(x)在(1，1)上是增函數(shù)，h(x)在1，1上的最大值是h(1)43ab，最小值是h(1)43ab，則43ab2且43ab2，矛盾(ii)當(dāng)1<a時(shí)，h(x)在1，1上的最小值是h(a)a3b，最大值是h(1)43ab，所以a3b2且43ab2，從而2a33a3ab6a2且0a.令t(a)2a33a，則t(a)33a2>0，t(a)在上是增函數(shù)，故t(a)>t(0)2，因此23ab0.(iii)當(dāng)<a<1時(shí)，h(x)在1，1上的最小值是h(a)a3b，最大值是h(1)3ab2，所以a3b2且3ab22，解得<3ab0；(iv)當(dāng)a1時(shí)，h(x)在1，1上的最大值是h(1)23ab，最小值是h(1)23ab，所以3ab22且3ab22，解得3ab0.綜上，得3ab的取值范圍是23ab0.（2014·重慶卷）已知函數(shù)f(x)ae2xbe2xcx(a