第七章第七章 圖形的變化圖形的變化 第一節(jié)第一節(jié) 尺規(guī)作圖、視圖與投影尺規(guī)作圖、視圖與投影第一部分第一部分 教材知識梳理教材知識梳理中招考點清單考點一考點一 尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖1. 五種基本尺規(guī)作圖五種基本尺規(guī)作圖作一條線段作一條線段等于已知線等于已知線段段步驟步驟:1.作射線作射線OP;2.在在OP上截取上截取OA=a，OA即即為所求線段為所求線段作角的作角的平分線平分線步驟：步驟：1.以以O(shè)為圓心為圓心,任意長為半任意長為半徑作弧徑作弧,分別交分別交OA、OB于點于點N、M;2.分別以點分別以點M,N為圓心為圓心,以大以大于于 MN長為半徑作弧長為半徑作弧,相交于相交于點點P;3.畫射線畫射線OP,OP即為所求角即為所求角的平分線的平分線作線段的作線段的垂直平分垂直平分線線步驟步驟:1.分別以點分別以點A，B為圓心為圓心,以以大于大于 AB長為半徑長為半徑,在在AB兩側(cè)作兩側(cè)作弧；??；2.連接兩弧交點即為所求線連接兩弧交點即為所求線段的垂直平分線段的垂直平分線1212作一個角等作一個角等于已知角于已知角步驟步驟:1.在在上以上以O(shè)為圓心、為圓心、以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，交以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，交的兩邊于點的兩邊于點P、Q;2.作射作射線線OA;3.以以O(shè)為圓心為圓心,OP長為長為半徑作弧半徑作弧,交交OA于點于點M;4.以點以點M為圓心為圓心,PQ長為半徑作弧長為半徑作弧,交交前弧于點前弧于點N;5.過點過點N作射線作射線OB,BOA即為所求角即為所求角過一過一點作點作已知已知直線直線的垂的垂線線過直過直線外線外一點一點作已作已知直知直線的線的垂線垂線步驟：步驟：1.在直線另一側(cè)取點在直線另一側(cè)取點M；2.以以P為圓心，以為圓心，以PM長為半徑畫長為半徑畫弧，交直線于弧，交直線于A、B兩點；兩點；3.分別分別以以A、B為圓心，以大于為圓心，以大于 AB長為半徑畫弧，交點長為半徑畫弧，交點M同側(cè)于點同側(cè)于點N；4. 連接連接PN，則直線，則直線PN即為所即為所求垂線求垂線過直過直線上線上一點一點作已作已知直知直線的線的垂線垂線步驟：步驟：1.以點以點O為圓心，任意長為圓心，任意長為半徑向點為半徑向點O兩側(cè)作弧，交直線兩側(cè)作弧，交直線于于A、B兩點；兩點；2.分別以點分別以點A、B為為圓心，以大于圓心，以大于 AB長為半徑向長為半徑向直線兩側(cè)作弧，交點分別為直線兩側(cè)作弧，交點分別為M、N；3.連接連接MN，則，則MN即為所求即為所求垂線垂線12122. 其他作圖其他作圖(2011版新課標(biāo)新增內(nèi)容版新課標(biāo)新增內(nèi)容) (1)會利用基本作圖作三角形：已知三邊、兩邊及其夾角、會利用基本作圖作三角形：已知三邊、兩邊及其夾角、 兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高線作等兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高線作等 腰三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形腰三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形.(2)會利用會利用 基本作圖完成：過不在同一直線上的三點作圓；作三角基本作圖完成：過不在同一直線上的三點作圓；作三角 形的外接圓、內(nèi)切圓；作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形形的外接圓、內(nèi)切圓；作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形.考點二考點二 幾何體的三視圖幾何體的三視圖(高頻考點高頻考點)1. 三視圖的定義及畫法三視圖的定義及畫法定義定義在正面內(nèi)由前向后觀察物體的視圖叫做在正面內(nèi)由前向后觀察物體的視圖叫做_在側(cè)面內(nèi)由左向右觀察物體的視圖叫做在側(cè)面內(nèi)由左向右觀察物體的視圖叫做_在水平面內(nèi)由上向下觀察物體的視圖叫做在水平面內(nèi)由上向下觀察物體的視圖叫做_三視三視圖的圖的畫法畫法主視圖與俯視圖要長主視圖與俯視圖要長_主視圖與左視圖要高主視圖與左視圖要高_(dá)左視圖與俯視圖要寬左視圖與俯視圖要寬_看得見的部分的輪廓線畫成看得見的部分的輪廓線畫成_看不看不見的輪廓線畫成見的輪廓線畫成_主視圖主視圖左視圖左視圖俯視圖俯視圖對正對正平齊平齊相等相等實線實線虛線虛線失分點失分點15 混淆三視圖中的實線與虛線混淆三視圖中的實線與虛線判斷：判斷：左邊立體圖形的主視圖如右圖所示左邊立體圖形的主視圖如右圖所示( )2. 常見幾何體的三視圖常見幾何體的三視圖幾何體幾何體主視圖主視圖左視圖左視圖俯視圖俯視圖 圓圓柱柱正正方方體體幾何體幾何體主視圖主視圖左視圖左視圖俯視圖俯視圖 圓圓錐錐球球1. 常見幾何體的展開圖常見幾何體的展開圖 正方體的展開圖是六個正方體的展開圖是六個_； 棱柱體的展開圖是兩個多邊形與多個矩形；棱柱體的展開圖是兩個多邊形與多個矩形； 圓錐體的展開圖是一個圓與一個圓錐體的展開圖是一個圓與一個 _； 圓柱體的展開圖是兩個圓柱體的展開圖是兩個 _與一個矩形與一個矩形.正方形正方形扇形扇形圓圓11 11 12 12 考點三考點三 立體圖形的展開與折疊立體圖形的展開與折疊2. 正方體的展開圖的常見類型正方體的展開圖的常見類型 “一四一一四一”型：型： 【溫馨提示溫馨提示】“1”與與“6”相對相對;“2”與與“4”相對；相對；“3”與與“5”相對相對.“一三二一三二”型：型： 【溫馨提示溫馨提示】“1”與與“5”相對；相對；“2”與與“4”相對；相對；“3”與與“6”相對相對. 【溫馨提示溫馨提示】“1”與與“4”相對；相對；“2”與與“5”相對；相對；“3”與與“6”相對相對.“二二二二二二”型：型： 【溫馨提示溫馨提示】“1”與與“3”相對；相對；“2”與與“5”相對；相對；“4”與與“6”相對相對.“三三三三”型：型：?？碱愋推饰鲱愋鸵活愋鸵?幾何體三視圖的判斷幾何體三視圖的判斷 (15哈爾濱哈爾濱)如圖所示的幾何體是由五個小正方體組如圖所示的幾何體是由五個小正方體組合而成的，它的主視圖是合而成的，它的主視圖是 ( )例例1【解析解析】本題考查小正方體組合體的主視圖本題考查小正方體組合體的主視圖.主視圖是在正主視圖是在正面從前往后觀察物體得到的平面圖形，該幾何體由前往后面從前往后觀察物體得到的平面圖形，該幾何體由前往后看，從左往右共有三列，最左側(cè)有一層，中間有一層，最看，從左往右共有三列，最左側(cè)有一層，中間有一層，最右側(cè)有兩層，則該幾何體的主視圖為三列，從左往右依次右側(cè)有兩層，則該幾何體的主視圖為三列，從左往右依次有有1個小正方形，個小正方形，1個小正方形，個小正方形，2個小正方形個小正方形.【答案答案】A【方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)】小正方塊組成幾何體的三視圖判斷方法：小正方塊組成幾何體的三視圖判斷方法：(1)判斷主視圖時，從前往后看，幾何體從左往右有幾列，判斷主視圖時，從前往后看，幾何體從左往右有幾列，每一列最高有幾層，對應(yīng)到主視圖中即有幾列，每一列即每一列最高有幾層，對應(yīng)到主視圖中即有幾列，每一列即有幾個正方形，并注意每列中正方形的擺放位置；有幾個正方形，并注意每列中正方形的擺放位置；(2)判斷判斷左視圖時，從左往右看，幾何體從左往右有幾列，每一列左視圖時，從左往右看，幾何體從左往右有幾列，每一列最高有幾層，對應(yīng)到左視圖中即有幾列，每一列即有幾個最高有幾層，對應(yīng)到左視圖中即有幾列，每一列即有幾個正方形，并注意每列中正方形的擺放位置；正方形，并注意每列中正方形的擺放位置；(3)判斷俯視圖判斷俯視圖時，從上往下看，幾何體從前往后有幾行，每一行有幾個，時，從上往下看，幾何體從前往后有幾行，每一行有幾個，對應(yīng)到俯視圖即有幾行，每一行即有幾個正方形，并注意對應(yīng)到俯視圖即有幾行，每一行即有幾個正方形，并注意每行中正方形的擺放位置每行中正方形的擺放位置 如圖是小李書桌上放的一本書，則這本書的俯如圖是小李書桌上放的一本書，則這本書的俯視圖是視圖是( )拓展題拓展題1【解析解析】俯視圖是從上往下看得到的圖形，從上面往下觀俯視圖是從上往下看得到的圖形，從上面往下觀 察這本書得到這本書的俯視圖為察這本書得到這本書的俯視圖為A選項所示選項所示.A 如圖，如圖，ABCD,以點以點A為圓心，小于為圓心，小于AC長為半徑作圓長為半徑作圓弧，分別交弧，分別交AB、AC于于E、F兩點，再分別以點兩點，再分別以點E、F為圓心，為圓心，大于大于 EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線，作射線AP，交，交CD于點于點M.若若ACD=120,則則MAB的度數(shù)為的度數(shù)為_.例例2例例2題圖題圖 12類型二類型二 與尺規(guī)作圖相關(guān)的計算與尺規(guī)作圖相關(guān)的計算【解析解析】ABCD，ACD+CAB=180，又，又ACD=120，CAB=60，由作法知，由作法知，AM是是CAB的平分線，的平分線，MAB= CAB=30.12【答案答案】30例例2題圖題圖 【方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)】解決此類問題應(yīng)熟練掌握兩點內(nèi)容：掌解決此類問題應(yīng)熟練掌握兩點內(nèi)容：掌握五種基本尺規(guī)作圖，一般考查握五種基本尺規(guī)作圖，一般考查3種，即作角的平分線、種，即作角的平分線、線段的垂直平分線和高線；掌握等腰三角形的性質(zhì)、線段的垂直平分線和高線；掌握等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)及定角平分線的性質(zhì)、平行線性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)及定理理.解決問題時，先通過分析作法，得出相應(yīng)的作圖，再解決問題時，先通過分析作法，得出相應(yīng)的作圖，再結(jié)合作圖以及已知圖形性質(zhì)，利用三角形內(nèi)角和、直角結(jié)合作圖以及已知圖形性質(zhì)，利用三角形內(nèi)角和、直角三角形性質(zhì)或等腰三角形三線合一的性質(zhì)求解三角形性質(zhì)或等腰三角形三線合一的性質(zhì)求解. 如圖，在如圖，在ABC中，分別以點中，分別以點A和和B為圓心，大為圓心，大于于 AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N，作直線，作直線MN，交交BC于點于點D，連接，連接AD.若若ADC的周長為的周長為10，AB=7，則，則ABC的周長為的周長為_.拓展題拓展題2拓展題拓展題2圖圖 12【解析解析】在在ABC中，分別以點中，分別以點A和和B為圓心，大于為圓心，大于 AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N，作直線，作直線MN，交，交BC于點于點D，連接，連接ADMN是是AB的垂直平分線，的垂直平分線，AD=BD，ADC的周長為的周長為10，AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10，AB=7，ABC的周長為：的周長為：AC+BC+AB=10+7=1712拓展題拓展題2圖圖 【答案答案】17類型三類型三 根據(jù)三視圖確定小正方塊的個數(shù)根據(jù)三視圖確定小正方塊的個數(shù) 如圖，是由一些大小相同的小正方體組成的幾何體的如圖，是由一些大小相同的小正方體組成的幾何體的主視圖和俯視圖，設(shè)組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)為主視圖和俯視圖，設(shè)組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)為n，則則n的最小值為的最小值為_.例例3例例3題圖題圖 【解析解析】先根據(jù)俯視圖可知底層先根據(jù)俯視圖可知底層有有6個小正方體，再由主視圖可知個小正方體，再由主視圖可知有兩層，第二層至少有有兩層，第二層至少有2個小正方體，則組成個小正方體，則組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)最少有這個幾何體的小正方體的個數(shù)最少有6+2=8個個.8【方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)】根據(jù)三視圖確定組成幾何體的小正方塊個數(shù)，根據(jù)三視圖確定組成幾何體的小正方塊個數(shù)，首先由俯視圖來確定幾何體的最底層形狀首先由俯視圖來確定幾何體的最底層形狀(打基礎(chǔ)打基礎(chǔ)),其次由其次由主視圖在俯視圖的基礎(chǔ)上累加小正方塊主視圖在俯視圖的基礎(chǔ)上累加小正方塊(瘋狂蓋瘋狂蓋)，最后由，最后由左視圖來排除多余的小正方塊左視圖來排除多余的小正方塊(拆違章拆違章)，即可確定，即可確定.在解題在解題中，也可根據(jù)主視圖和左視圖，在俯視圖中標(biāo)數(shù)字的方法中，也可根據(jù)主視圖和左視圖，在俯視圖中標(biāo)數(shù)字的方法求解求解. 類型四類型四 幾何體的展開圖幾何體的展開圖 (15漳州漳州)如下左圖是一個長方體包裝盒，則它的平面如下左圖是一個長方體包裝盒，則它的平面展開圖是展開圖是( )例例4【解析解析】根據(jù)長方體與其展開圖的關(guān)系可知，長方體的展根據(jù)長方體與其展開圖的關(guān)系可知，長方體的展開圖應(yīng)該是上下各有一個小矩形，中間有開圖應(yīng)該是上下各有一個小矩形，中間有4個矩形，其中長個矩形，其中長方體中相對的兩個面全等且在展開圖中沒有公共邊，由此方體中相對的兩個面全等且在展開圖中沒有公共邊，由此只有只有A選項符合選項符合.A【方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)】針對正方體的展開圖，應(yīng)熟練掌握正方體展針對正方體的展開圖，應(yīng)熟練掌握正方體展開圖的四種類型開圖的四種類型.解決這種類型試題的一般方法有兩種：一解決這種類型試題的一般方法有兩種：一是根據(jù)正方體展開圖的特點，判斷兩個面是不是相對面，是根據(jù)正方體展開圖的特點，判斷兩個面是不是相對面，其根據(jù)是：展開圖的對面之間不能有公共邊或公共頂點，其根據(jù)是：展開圖的對面之間不能有公共邊或公共頂點，通過空間想象得出答案；二是通過動手折疊或展開正方體通過空間想象得出答案；二是通過動手折疊或展開正方體確定正確結(jié)果確定正確結(jié)果 (15南陽模擬南陽模擬)如圖，把左邊的圖形折起來得到如圖，把左邊的圖形折起來得到正方體，則下列正方體可能正確的是正方體，則下列正方體可能正確的是( )拓展題拓展題3【解析解析】根據(jù)圖形可知標(biāo)有橫線的兩個面為相對面，且都根據(jù)圖形可知標(biāo)有橫線的兩個面為相對面，且都與標(biāo)有圓圈的面為相鄰面，且橫線平行于標(biāo)有圓圈的面與與標(biāo)有圓圈的面為相鄰面，且橫線平行于標(biāo)有圓圈的面與標(biāo)有橫線的面的公共邊，結(jié)合選項，故選標(biāo)有橫線的面的公共邊，結(jié)合選項，故選C.C類型五類型五 三視圖的相關(guān)計算三視圖的相關(guān)計算 (15呼和浩特呼和浩特)如圖是某幾何體的三視圖，根據(jù)圖中如圖是某幾何體的三視圖，根據(jù)圖中所標(biāo)的數(shù)據(jù)求得該幾何體的體積為所標(biāo)的數(shù)據(jù)求得該幾何體的體積為( )A. 236 B. 136 C. 132 D. 120 例例5例例5題圖題圖 【解析解析】本題考查根據(jù)三視圖還原幾何體并計算本題考查根據(jù)三視圖還原幾何體并計算. 觀察三視觀察三視圖可知該幾何體為兩個連接的圓柱，大圓柱的底面直徑為圖可知該幾何體為兩個連接的圓柱，大圓柱的底面直徑為8，高為高為8，則這個大圓柱的體積為，則這個大圓柱的體積為(82)28=128，小圓柱，小圓柱的底面直徑為的底面直徑為4，高為，高為2，則小圓柱的體積為，則小圓柱的體積為(42)22=8，該幾何體的體積為，該幾何體的體積為128+8=136.【答案答案】B【方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)】由三視圖還原幾何體或進(jìn)行相關(guān)計算時，關(guān)由三視圖還原幾何體或進(jìn)行相關(guān)計算時，關(guān)鍵是正確還原幾何體的圖形，再由圖形本身的特點來計算鍵是正確還原幾何體的圖形，再由圖形本身的特點來計算.(1)對于常見的幾何體的還原，一般可以通過識記，正確理對于常見的幾何體的還原，一般可以通過識記，正確理解正方體、圓柱、圓錐、球體與它們的三視圖之間的關(guān)系，解正方體、圓柱、圓錐、球體與它們的三視圖之間的關(guān)系，熟練掌握給出幾何體得到三視圖或者給出三視圖得到幾何熟練掌握給出幾何體得到三視圖或者給出三視圖得到幾何體兩者之間的轉(zhuǎn)化；體兩者之間的轉(zhuǎn)化；(2)對于非常見的幾何體，可以通過俯視圖得出幾何體底面對于非常見的幾何體，可以通過俯視圖得出幾何體底面的基本形狀，再由主視圖和左視圖得出幾何體的圖形，并的基本形狀，再由主視圖和左視圖得出幾何體的圖形，并對比三視圖來判斷所得幾何體是否正確，注意三視圖中的對比三視圖來判斷所得幾何體是否正確，注意三視圖中的虛、實線及其位置；虛、實線及其位置；(3)由幾何體的三視圖及其所標(biāo)尺寸，計算幾何體的表面積由幾何體的三視圖及其所標(biāo)尺寸，計算幾何體的表面積或體積問題，關(guān)鍵是先還原幾何體，得出幾何圖形，再將或體積問題，關(guān)鍵是先還原幾何體，得出幾何圖形，再將三視圖中的尺寸對應(yīng)標(biāo)注在幾何體上，最后利用幾何體相三視圖中的尺寸對應(yīng)標(biāo)注在幾何體上，最后利用幾何體相關(guān)計算公式求解關(guān)計算公式求解.如：常見幾何體的體積或表面積計算公式如：常見幾何體的體積或表面積計算公式.幾何體幾何體計算公式計算公式長方體長方體表面積表面積S=2ab+2bc+2ac(a、b、c分別為長方分別為長方體的長、寬、高體的長、寬、高)體積體積V=abc(a、b、c分別為長方體的分別為長方體的長、寬、高長、寬、高)正方體正方體表面積表面積S=6a2(a為正方體的棱長為正方體的棱長) 體積體積 V=a3(a為正方體的棱長為正方體的棱長)圓柱圓柱表面積表面積S=2r2+2rh(r為圓柱底面圓半徑，為圓柱底面圓半徑，h為圓柱的高為圓柱的高) 體積體積V=r2h=Sh(r為圓柱底面圓面半徑，為圓柱底面圓面半徑，S為圓柱的底面圓面積，為圓柱的底面圓面積，h為圓柱為圓柱的高的高) 已知一個幾何體的三視圖如圖所示，其中主視已知一個幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖和俯視圖都是矩形，左視圖是直角三角形，則它的表面圖和俯視圖都是矩形，左視圖是直角三角形，則它的表面積等于積等于_.拓展題拓展題4圖圖 拓展題拓展題4【解析解析】由主視圖和俯視圖可判斷出這個幾何體為柱體，由主視圖和俯視圖可判斷出這個幾何體為柱體，根據(jù)左視圖可得此幾何體為三棱柱，表面展開圖由根據(jù)左視圖可得此幾何體為三棱柱，表面展開圖由3個矩個矩形和形和2個三角形組成，矩形的長與寬分別是個三角形組成，矩形的長與寬分別是8，4；8，3；8，5三角形為直角三角形，兩直角邊分別為三角形為直角三角形，兩直角邊分別為3，4，斜邊為，斜邊為5，表面積為：表面積為：38+48+58+2 34=108.12【答案答案】108