12.6離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布基礎知識自主學習課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎知識基礎知識自主學習自主學習1.離散型隨機變量的均值與方差離散型隨機變量的均值與方差知識梳理若離散型隨機變量X的分布列為P(Xai)pi(i1,2，r).(1)均值EX ，均值EX刻畫的是 .(2)方差DX 為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值EX的 .a1p1a2p2arprX取值的“中心位置”E(XEX)2平均偏離程度2.二項分布的均值、方差二項分布的均值、方差若XB(n，p)，則EX ，DX .3.正態(tài)分布正態(tài)分布(1)XN(，2)，表示X服從參數(shù)為 的正態(tài)分布.(2)正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)圖像關于 對稱； 決定函數(shù)圖像的“胖”“瘦”；P(X) ；P(2X2) ；P(3X0)的大小95.4%68.3%99.7%判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)隨機變量的均值是常數(shù)，樣本的平均數(shù)是隨機變量，它不確定.()(2)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量的平均程度越小.()(3)正態(tài)分布中的參數(shù)和完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)是正態(tài)分布的均值，是正態(tài)分布的標準差.()(4)一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布.()(5)均值是算術平均數(shù)概念的推廣，與概率無關.()思考辨析思考辨析 考點自測1.(教材改編)某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：答案解析已知的均值E8.9，則y的值為A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.978910Px0.10.3y 答案解析2.設隨機變量的分布列為P(k) (k2,4,6,8,10)，則D等于A.8 B.5C.10 D.12 3.已知隨機變量X8，若XB(10,0.6)，則隨機變量的均值E及方差D分別是A.6和2.4 B.2和2.4C.2和5.6 D.6和5.6答案解析DX100.6(10.6)2.4，設隨機變量X的均值及方差分別為EX，DX，因為XB(10,0.6)，所以EX100.66，故EE(8X)8EX2，DD(8X)DX2.4.4.設樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x10的均值和方差分別為1和4，若yixia(a為非零常數(shù)，i1,2，10)，則y1，y2，y10的均值和方差分別為_.答案解析1a,45.某班有50名學生，一次考試的數(shù)學成績服從正態(tài)分布N(100,102)，已知P(90100)0.3，估計該班學生數(shù)學成績在110分以上的人數(shù)為_.答案解析10題型分類題型分類深度剖析深度剖析題型一離散型隨機變量的均值、方差題型一離散型隨機變量的均值、方差命題點命題點1求離散型隨機變量的均值、方差求離散型隨機變量的均值、方差例例1(2016山東)甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分.已知甲每輪猜對的概率是 ，乙每輪猜對的概率是 ，每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響.假設“星隊”參加兩輪活動，求：(1)“星隊”至少猜對3個成語的概率； 解答記事件A：“甲第一輪猜對”，記事件B：“乙第一輪猜對”，記事件C：“甲第二輪猜對”，記事件D：“乙第二輪猜對”，記事件E：“星隊至少猜對3個成語”.由事件的獨立性與互斥性，(2)“星隊”兩輪得分之和X的分布列和均值EX.解答由題意，得隨機變量X可能的取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨立性與互斥性，得可得隨機變量X的分布列為X012346P命題點命題點2已知離散型隨機變量的均值與方差，求參數(shù)值已知離散型隨機變量的均值與方差，求參數(shù)值例例2設袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分.(1)當a3，b2，c1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機會均等)2個球，記隨機變量為取出此2球所得分數(shù)之和，求的分布列； 解答由題意得2,3,4,5,6，所以的分布列為23456P 解答由題意知的分布列為123P解得a3c，b2c，故abc321.離散型隨機變量的均值與方差的常見類型及解題策略(1)求離散型隨機變量的均值與方差.可依題設條件求出離散型隨機變量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解.(2)由已知均值或方差求參數(shù)值.可依據(jù)條件利用均值、方差公式得出含有參數(shù)的方程(組)，解方程(組)即可求出參數(shù)值.(3)由已知條件，作出對兩種方案的判斷.可依據(jù)均值、方差的意義，對實際問題作出判斷.思維升華跟蹤訓練跟蹤訓練1(2015四川)某市A，B兩所中學的學生組隊參加辯論賽，A中學推薦了3名男生、2名女生，B中學推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學生一起參加集訓.由于集訓后隊員水平相當，從參加集訓的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊.(1)求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率；解答因此，A中學至少有1名學生入選代表隊的概率為(2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，設X表示參賽的男生人數(shù)，求X的分布列和均值. 解答根據(jù)題意，X的可能取值為1,2,3，所以X的分布列為X123P題型二均值與方差在決策中的應用題型二均值與方差在決策中的應用例例3(2016全國乙卷)某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù). 解答(1)求X的分布列；由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2，0.4,0.2,0.2，從而P(X16)0.20.20.04，P(X17)20.20.40.16，P(X18)20.20.20.40.40.24，P(X19)20.20.220.40.20.24，P(X20)20.20.40.20.20.2，P(X21)20.20.20.08，P(X22)0.20.20.04.所以X的分布列為X16171819202122P0.04 0.16 0.24 0.240.20.08 0.04(2)若要求P(Xn)0.5，確定n的最小值； 解答由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值為19.(3)以購買易損零件所需費用的均值為決策依據(jù)，在n19與n20之中選其一，應選用哪個？ 解答記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元).當n19時，EY192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044 040；當n20時，EY202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 080.可知當n19時所需費用的均值小于n20時所需費用的均值，故應選n19.隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定.思維升華針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由.解答若按“項目一”投資，設獲利為X1萬元，則X1的分布列為若按“項目二”投資，設獲利X2萬元，則X2的分布列為X25003000PX1300150P所以EX1EX2，DX1DX2，這說明雖然項目一、項目二獲利相等，但項目一更穩(wěn)妥.綜上所述，建議該投資公司選擇項目一投資. 題型三正態(tài)分布的應用題型三正態(tài)分布的應用A.P(Y2)P(Y1)B.P(X2)P(X1)C.對任意正數(shù)t，P(Xt)P(Yt)D.對任意正數(shù)t，P(Xt)P(Yt)答案解析對于A項，因為正態(tài)分布曲線關于直線x對稱，所以10.5P(Y2)，故A項錯誤；對于B項，因為X的正態(tài)分布密度曲線比Y的正態(tài)分布密度曲線更“瘦高”，所以12.所以P(X1)P(X2)，故B項錯誤；對于C項，由圖像可知，在y軸的右側(cè)某處，顯然滿足P(Xt)P(Yt)，故C項錯誤；對于D項，在y軸右側(cè)作與x軸垂直的一系列平行線，可知在任何情況下，X的正態(tài)分布密度曲線與x軸之間圍成的圖形面積都大于Y的正態(tài)分布密度曲線與x軸之間圍成的圖形面積，即對任意正數(shù)t，P(Xt)P(Yt)，故D項正確.(2)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖： 解答由知，ZN(200,150)，從而P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.682 6. 解答()某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù)，利用()的結(jié)果，求EX.由()知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值位于區(qū)間(187.8，212.2)的概率為0.682 6，依題意知XB(100,0.682 6)，所以EX1000.682 668.26. 解答解決正態(tài)分布問題有三個關鍵點：(1)對稱軸x；(2)標準差；(3)分布區(qū)間.利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由，分布區(qū)間的特征進行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注意只有在標準正態(tài)分布下對稱軸才為x0.思維升華 跟蹤訓練跟蹤訓練3(2015山東)已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0，32)，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為(附：若隨機變量服從正態(tài)分布N(，2)，則P()68.26%，P(22)95.44%.)A.4.56% B.13.59%C.27.18% D.31.74%答案解析由正態(tài)分布的概率公式知P(33)0.682 6，P(6P(2).從回答對題數(shù)的均值考查，兩人水平相當；從回答對題數(shù)的方差考查，甲較穩(wěn)定；從至少正確回答2題的概率考查，甲獲得通過的可能性大.因此可以判斷甲的通過能力較強. 12分 返回求離散型隨機變量的均值和方差問題的一般步驟：第一步：確定隨機變量的所有可能值；第二步：求每一個可能值所對應的概率；第三步：列出離散型隨機變量的分布列；第四步：求均值和方差；第五步：根據(jù)均值、方差、進行判斷，并得出結(jié)論(適用于均值、方差的應用問題)；第六步：反思回顧.查看關鍵點、易錯點和答題規(guī)范. 返回課時作業(yè)課時作業(yè)1.(2016鄭州一模)某班舉行了一次“心有靈犀”的活動，教師把一張寫有成語的紙條出示給A組的某個同學，這個同學再用身體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學.若小組內(nèi)同學甲猜對成語的概率是0.4，同學乙猜對成語的概率是0.5，且規(guī)定猜對得1分，猜不對得0分，則這兩個同學各猜1次，得分之和X(單位：分)的均值為A.0.9 B.0.8 C.1.2 D.1.1答案解析123456789由題意得X0,1,2，則P(X0)0.60.50.3，P(X1)0.40.50.60.50.5，P(X2)0.40.50.2，EX10.520.20.9.1234567892.(2017蕪湖質(zhì)檢)若XB(n，p)，且EX6，DX3，則P(X1)的值為A.322 B.24C.3210 D.28 答案 解析1234567893.設隨機變量XN(，2)，且X落在區(qū)間(3，1)內(nèi)的概率和落在區(qū)間(1,3)內(nèi)的概率相等，若P(X2)p，則P(0X2)p，P(2x2)12p，123456789答案解析 答案 解析20記此人三次射擊擊中目標次數(shù)為X，得分為Y，123456789123456789 答案 解析2(1)2x設“至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么123456789解答(2)設系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機變量，求的分布列及均值E.123456789解答由題意，得隨機變量可能的取值為0,1,2,3，123456789所以，隨機變量的分布列為 0123P故隨機變量的均值1234567897.(2016汕尾調(diào)研)為了解某市高三學生身高情況，對全市高三學生進行了測量，經(jīng)分析，全市高三學生身高X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(160，2)，已知P(X150)0.2，P(X180)0.03.(1)現(xiàn)從該市高三學生中隨機抽取一名學生，求該學生身高在區(qū)間170,180)的概率；解答123456789由全市高三學生身高X服從N(160，2)，P(X150)0.2，得P(160X170)P(150X160)0.50.20.3.因為P(X180)0.03，所以P(170X180)0.50.30.030.17.故從該市高三學生中隨機抽取一名學生，該學生身高在區(qū)間170,180)的概率為0.17.123456789(2)現(xiàn)從該市高三學生中隨機抽取三名學生，記抽到的三名學生身高在區(qū)間150,170)的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和均值E.解答123456789所以P(0)(10.6)30.064，P(1)30.6(10.6)20.288，P(2)30.62(10.6)0.432，P(3)0.630.216.所以的分布列為因為P(150X170)P(150X160)P(160XE(3X2)，所以他們都選擇方案甲進行抽獎時，累計得分的均值較大.記“這2人的累計得分X3”為事件A，則事件A包含有“X0”，“X2”，“X3”三個兩兩互斥的事件，123456789(2)設小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計得分為X1，都選擇方案乙所獲得的累計得分為X2，則X1，X2的分布列如下：123456789X1024PX2036P因為EX1EX2，123456789所以他們都選擇方案甲進行抽獎時，累計得分的均值較大.*9.為回饋顧客，某商場擬通過模擬兌獎的方式對1 000位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元，求：顧客所獲的獎勵額為60元的概率；顧客所獲的獎勵額的分布列及均值； 解答123456789設顧客所獲的獎勵額為X.依題意，得X的所有可能取值為20,60.123456789所以顧客所獲的獎勵額的均值為X2060P123456789故X的分布列為(2)商場對獎勵總額的預算是60 000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設計，并說明理由. 解答123456789根據(jù)商場的預算，每個顧客的平均獎勵額為60元，所以，先尋找均值為60元的可能方案.對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10,10,10,50)的方案，因為60元是面值之和的最大值，所以均值不可能為60元；如果選擇(50,50,50,10)的方案，因為60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能為60元.123456789因此可能的方案是(10,10,50,50)，記為方案1.對于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，記為方案2.以下是對兩個方案的分析.對于方案1，即方案(10,10,50,50)，設顧客所獲的獎勵額為X1，則X1的分布列為X12060100P123456789對于方案2，即方案(20,20,40,40)，設顧客所獲的獎勵額為X2，則X2的分布列為X2406080P123456789由于兩種方案的獎勵額的均值都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1的小，所以應該選擇方案2.123456789