第2講 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例一、選擇題1有五組變量：汽車的重量和汽車每消耗1升汽油所行駛的平均路程；平均日學(xué)習(xí)時間和平均學(xué)習(xí)成績；某人每日吸煙量和身體健康情況；圓的半徑與面積；汽車的重量和每千米耗油量其中兩個變量成正相關(guān)的是()A B C D解析 由變量的相關(guān)關(guān)系的概念知，是正相關(guān)，是負(fù)相關(guān)，為函數(shù)關(guān)系，故選C.答案 C2已知x，y取值如下表：x014568y1.31.85.66.17.49.3從所得的散點(diǎn)圖分析可知：y與x線性相關(guān)，且0.95xa，則a()A1.30 B1.45 C1.65 D1.80解析依題意得，×(014568)4，×(1.31.85.66.17.49.3)5.25.又直線0.95xa必過樣本中心點(diǎn)(，)，即點(diǎn)(4,5.25)，于是有5.250.95×4a，由此解得a1.45，選B.答案B3在研究吸煙與患肺癌的關(guān)系中，通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得“吸煙與患肺癌有關(guān)”的結(jié)論，并且有99%以上的把握認(rèn)為這個結(jié)論是成立的，則下列說法中正確的是()A100個吸煙者中至少有99人患有肺癌B1個人吸煙，那么這人有99%的概率患有肺癌C在100個吸煙者中一定有患肺癌的人D在100個吸煙者中可能一個患肺癌的人也沒有解析統(tǒng)計的結(jié)果只是說明事件發(fā)生可能性的大小，具體到一個個體不一定發(fā)生答案D4某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954根據(jù)上表可得回歸方程x中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報廣告費(fèi)用為6萬元時銷售額為 ()A63.6萬元 B65.5萬元C67.7萬元 D72.0萬元解析3.5(萬元)，42(萬元)，429.4×3.59.1，回歸方程為9.4x9.1，當(dāng)x6(萬元)時，9.4×69.165.5(萬元)答案B5為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機(jī)抽取5對父子的身高數(shù)據(jù)如下：父親身高x/cm174176176176178兒子身高y/cm175175176177177則y對x的線性回歸方程為 ()Ayx1 Byx1Cy88x Dy176解析由題意得176(cm)，176(cm)，由于(，)一定滿足線性回歸方程，經(jīng)驗(yàn)證知選C.答案C6已知數(shù)組(x1，y1)，(x2，y2)，(x10，y10)滿足線性回歸方程bxa，則“(x0，y0)滿足線性回歸方程bxa”是“x0，y0”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析x0，y0為這10組數(shù)據(jù)的平均值，又因?yàn)榫€性回歸方程bxa必過樣本中心(，)，因此(，)一定滿足線性回歸方程，但滿足線性回歸方程的除了(，)外，可能還有其他樣本點(diǎn)答案B二、填空題7已知施化肥量x與水稻產(chǎn)量y的試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表，則變量x與變量y是_相關(guān)(填“正”或“負(fù)”).施化肥量x15202530354045水稻產(chǎn)量y330345365405445450455解析因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)圖能直觀地反映兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系，所以畫出散點(diǎn)圖如圖所示：通過觀察圖象可知變量x與變量y是正相關(guān) 答案正8考古學(xué)家通過始祖鳥化石標(biāo)本發(fā)現(xiàn)：其股骨長度x(cm)與肱骨長度y(cm)的線性回歸方程為1.197x3.660，由此估計，當(dāng)股骨長度為50 cm時，肱骨長度的估計值為_ cm.解析根據(jù)線性回歸方程1.197x3.660，將x50代入得y56.19，則肱骨長度的估計值為56.19 cm.答案56.199某醫(yī)療研究所為了檢驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把500名使用血清的人與另外500名未使用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設(shè)H0：“這種血清不能起到預(yù)防感冒的作用”，利用2×2列聯(lián)表計算得K23.918，經(jīng)查臨界值表知P(K23.841)0.05.則下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是_有95%的把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”；若某人未使用該血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；這種血清預(yù)防感冒的有效率為95%；這種血清預(yù)防感冒的有效率為5%.解析 K23.918>3.841，而P(K23.841)0.05，所以有95%的把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”；但檢驗(yàn)的是假設(shè)是否成立和該血清預(yù)防感冒的有效率是沒有關(guān)系的，不是同一個問題，不要混淆，正確序號為.答案 10某數(shù)學(xué)老師身高176 cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173 cm、170 cm和182 cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測他孫子的身高為_ cm.解析由題意父親身高x cm與兒子身高y cm對應(yīng)關(guān)系如下表：x173170176y170176182則173，176，(xi)(yi)(173173)×(170176)(170173)×(176176)(176173)(182176)18，(xi)2(173173)2(170173)2(176173)218.1. 1761733.線性回歸直線方程xx3.可估計孫子身高為1823185(cm)答案185三、解答題7某班主任對全班50名學(xué)生進(jìn)行了作業(yè)量多少的調(diào)查數(shù)據(jù)如下表：認(rèn)為作業(yè)多認(rèn)為作業(yè)不多合計喜歡玩游戲189不喜歡玩游戲815合計(1)請完善上表中所缺的有關(guān)數(shù)據(jù)；(2)試通過計算說明在犯錯誤的概率不超過多少的前提下認(rèn)為喜歡玩游戲與作業(yè)量的多少有關(guān)系？附：P(K2k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828K2解(1)認(rèn)為作業(yè)多認(rèn)為作業(yè)不多合計喜歡玩游戲18927不喜歡玩游戲81523合計262450(2)將表中的數(shù)據(jù)代入公式K2得到K2的觀測值k5.059>5.024，查表知P(K25.024)0.025，即說明在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為喜歡玩游戲與作業(yè)量的多少有關(guān)系8下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對照數(shù)據(jù).x3456y2.5344.5(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程x；(3)已知該廠技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？(參考數(shù)值：3×2.54×35×46×4.566.5)解(1)由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點(diǎn)圖如圖所示(2)由對照數(shù)據(jù)，計算得：86，4.5(噸)，3.5(噸)已知iyi66.5，所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為：0.7，3.50.7×4.50.35.因此，所求的線性回歸方程為0.7x0.35.(3)由(2)的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗，得降低的生產(chǎn)能耗為：90(0.7×1000.35)19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)5某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日溫差x/101113128發(fā)芽數(shù)y/顆2325302616該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)的概率；(2)若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程x.解(1)設(shè)抽到不相鄰兩組數(shù)據(jù)為事件A，因?yàn)閺?組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有10種情況，每種情況都是等可能出現(xiàn)的，其中抽到相鄰兩組數(shù)據(jù)的情況有4種，所以P(A)1.(2)由數(shù)據(jù)，求得12，27.11×2513×3012×26977,112132122434，由公式，求得， 3.所以y關(guān)于x的線性回歸方程為x3.6有甲、乙兩個班級進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績后，得到如下的列聯(lián)表.優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10乙班30合計105已知從全部105人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為.(1)請完成上面的列聯(lián)表；(2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，能否認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”；(3)若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生中抽取一人：把甲班優(yōu)秀的10名學(xué)生從2到11進(jìn)行編號，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為被抽取人的序號試求抽到6號或10號的概率附K2，P(K2k)0.050.01k3.8416.635解(1)優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班104555乙班203050合計3075105(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到k6.1093.841，因此有95%的把握認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”(3)設(shè)“抽到6號或10號”為事件A，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為(x，y)，則所有的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(6,6)，共36個事件A包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8個，P(A).